“平行四邊形面積”的教學猜想與驗證

　　探究是建立在問題的基礎上的，所以通過什么樣的問題來引起學生對平行四邊形面積的學習興趣，就成為教師開展教學工作時的首要任務。能夠作為對“平行四邊形面積”進行探究的出發點就是：長方形面積=長×寬。由此可以看出，學生對平行四邊形的面積并非是一無所知的，畢竟長方形是一種特殊的平行四邊形，這樣就產生了第一個探究性問題：能否從長方形面積的計算公式出發，推導出平行四邊形面積的計算公式。
　　作為一種特殊的平行四邊形，長方形的長與寬并不僅僅代表平行四邊形的鄰邊，也可以指代特殊平行四邊形的底和高。由此可以得出兩個猜想：
　　（1）平行四邊形面積=一邊長×鄰邊長。
　　（2）平行四邊形面積=底×高。
　　我們從長方形面積出發，獲得了上述兩個猜想，它們對于長方形這種特殊的平行四邊形而言無疑是正確的，但是否適用于一般的平行四邊形則需要進一步驗證，而驗證過程就是對推論進行證明或推翻的深入探究過程。
　　在教學中，很多學生會提出第一個推論，他們認為，通過對構成長方形的邊進行移動，就可以獲得平行四邊形，因此平行四邊形的面積理應為一組鄰邊的乘積。當然，學生很快就發現這一推論是錯誤的。不過在這一過程中，學生卻能夠掌握“舉出一個反例，來推翻不成立的猜想”這種重要的學習方法。
　　在筆者的小學教育實踐中，尚未發現一例提出第二種推論的學生。在課堂教學中，很多教師都會采用讓學生動手折疊、割補圖形的方法讓學生掌握長方形可由平行四邊形轉化這一內容，進而發現原平行四邊形底、高與新長方形長、寬之間的對應關系，最終得出平行四邊形的面積計算公式。這種探究方法實際上就是將特殊歸為一般，將未知轉為已知的思考過程。通過這一過程，學生對平行四邊形面積計算公式的理解完全可以上升到探究認識的水平。
　　小學教育除了要推動學生在某一學科學習能力的發展外，也應注意對一般發展進行促進。對于小學數學教育而言，除了要幫助學生理解和掌握相關的數學知識，還要促進學生在學習能力、創造能力、思維能力、情感態度等方面的發展。按照這種觀點，如果數學探究過程僅以學生對某一知識點的理解和掌握為中心，那么這種探究就是不完善的。學生無法從所經歷的探究過程中獲得有關科學方法的引導，也就無法形成有關“如何進行數學探究”的更高等級的學習思想。
　　相對而言，將猜想、驗證的過程內化在有關平行四邊形面積的教學活動中，將探究的方式與對象有機地結合到一起，無疑是一種更加理想、更具創新性的教學設計。不過，此種教學設計是否符合小學生認知能力發展的實際情況，是否能夠將教學設計轉變成具體的課堂現實則需要通過創造具體、真實的教學案例進行研究和驗證。
　　期望學生從已經掌握的長方形面積的計算公式出發，在脫離教師指導和幫助的情況下獨立完成第二種猜想在大多數情況下都是不現實的，其原因在于小學生尚不擁有足夠的圖形分析經驗。長方形是平行四邊形概念上的外延，因此長方形的長、寬可以理解為它的底與高，但是小學生大多會將它們看做不同的概念，無法自覺地將其聯系在一起。正是受這種因素的影響，在對學生的探究性學習進行引導的同時，教師還必須給學習方式的傳授留有余地，即教師可以將第二種猜想作為一種學習方式傳授給學生，向他們展示這種猜想的思維過程，使學生能夠體會到這種思維方式的依據、合理性以及對今后學習的重要意義。學生的學習不能單純模仿，但是也不能脫離模仿，教師的工作就是要將模仿轉變為向知識的發展和創造提供便利的階梯。很多時候，教師的示范都是最好的指導方式，其所發揮的積極作用是其他指導方法所無法取代的。
　　在有關平行四邊形面積的傳統課堂教育中，有很多教師無法很好地應用圖形的變式發展，有利于學生數學思維深化的探究性學習無法得到有效開展。如果我們能夠在學生獨立探究、自主發現的基礎上，設置相應的問題來引導其進一步深入探究，不是會收到更好的教育價值和意義嗎？例如，教師可以提出這樣的問題：能否通過割補的方式將下面的平行四邊形轉變為長方形，并使生成的長方形的長與寬分別與平行四邊形的短邊和對應的高相等？
　　這一問題的難點在于，無法從平行四邊形中尋找到較短邊上的高，只切割一次無法得到符合要求的長方形，學生因此會在如何割補上花費一番心思。在這個思考、操作、探索的過程中，學生的空間智慧和關于圖形變換的經驗都會得到有效提