數(shù)學(xué)思想在初中因式分解中的應(yīng)用

古往今來(lái)，數(shù)學(xué)具有極其重要的作用，而學(xué)習(xí)、研究數(shù)學(xué)的人最感興趣的莫過(guò)于數(shù)學(xué)的探索與思維方法了。古今中外許多數(shù)學(xué)家也正是通過(guò)巧妙地運(yùn)用各種方法，在數(shù)學(xué)史上寫了一頁(yè)又一頁(yè)的創(chuàng)造性篇章。可以說(shuō)，學(xué)生、教師、數(shù)學(xué)愛(ài)好者都渴望得到一把打開(kāi)數(shù)學(xué)大門的“鑰匙”。而在初中階段因式分解也特別重要，在初中階段的分式、二次根式及一元二次方程等單元的學(xué)習(xí)中，均要用到因式分解的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解題，現(xiàn)從聯(lián)想法、設(shè)想法、歸納法、輔助元法、特定常數(shù)法、換元法等一些數(shù)學(xué)方法在因式分解過(guò)程的運(yùn)用中做了一系列的歸納，以便幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)與探索。

一、聯(lián)想法

發(fā)散性思維是從某些已知的知識(shí)，猜想某一些新知識(shí)的思維形式，其思維猶如從一點(diǎn)發(fā)散開(kāi)來(lái)的樹(shù)圖。而聯(lián)想是發(fā)散性思維的重要形式，是一種由此及彼的創(chuàng)造性思考方法。聯(lián)想可能失敗，也可能成功，這就要在聯(lián)想的基礎(chǔ)上做進(jìn)一步研究，聯(lián)想要以豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)作為基礎(chǔ)，知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)在大腦中的記憶猶如存儲(chǔ)于圖書(shū)館或計(jì)算機(jī)中的資料，聯(lián)想猶如資料的聯(lián)用。因此，平時(shí)必須注意知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的積累、整理，這樣才能遇到問(wèn)題時(shí)有較為廣泛的聯(lián)想面以增加聯(lián)想成功的可能。

實(shí)際上，平時(shí)做課后練習(xí)就是依靠對(duì)課堂講授知識(shí)的聯(lián)想來(lái)解決的，也可以說(shuō)考試是考查學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)過(guò)的方法、問(wèn)題的聯(lián)想能力，因此聯(lián)想對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)并想在數(shù)學(xué)上有所創(chuàng)造的人來(lái)說(shuō)是非常重要的。也特別要注意聯(lián)想可能是全局性的，也可能是非全局性的，有些問(wèn)題往往是從局部特征、局部形式、局部關(guān)系著眼進(jìn)行聯(lián)想，從而開(kāi)拓思路，找到解決問(wèn)題的途徑。

二、設(shè)想法

設(shè)想是一種假設(shè)性構(gòu)想法，它常常含有猜想的成分，但它又與猜想不完全相同。例如，最簡(jiǎn)單的設(shè)想是設(shè)想問(wèn)題已經(jīng)解決，這種設(shè)想就不是一種具有充實(shí)內(nèi)容的猜想。一般常根據(jù)研究對(duì)象的特性和研究要求，運(yùn)用自己的想象力提出設(shè)想，然后利用既定設(shè)想進(jìn)行探索，而創(chuàng)造性設(shè)想往往能使數(shù)學(xué)探索取得巨大成功。

對(duì)解題模型的設(shè)想主要是指對(duì)解題結(jié)構(gòu)的模型的設(shè)想。一般當(dāng)有了對(duì)解題模型的設(shè)想以后，常運(yùn)用湊合法，通過(guò)證實(shí)設(shè)想來(lái)解決問(wèn)題。對(duì)解題模型的設(shè)想實(shí)質(zhì)上是一種構(gòu)造性猜想，因此又稱構(gòu)造法，在思維上常借助于類比、聯(lián)想、歸納等，數(shù)學(xué)上常用構(gòu)造結(jié)論的辦法來(lái)證明數(shù)學(xué)命題。

三、歸納法

從一些關(guān)于個(gè)別特殊事物或現(xiàn)象的判斷，推出關(guān)于此類事物或現(xiàn)象的普遍性判斷稱為歸納推理或歸納法。這是一種從特殊到一般的推理，有時(shí)也稱為一般化，其前提是關(guān)于個(gè)別特殊事物或現(xiàn)象的判斷，其結(jié)論是關(guān)于此類事物或現(xiàn)象總體的判斷。歸納法能夠幫助我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律，提供研究的線索和方向，在數(shù)學(xué)上常常運(yùn)用歸納法來(lái)探討未知的定理。枚舉歸納法是根據(jù)對(duì)于某類事物或現(xiàn)象的一些個(gè)別特殊對(duì)象的考察，發(fā)現(xiàn)它們都具有某種性質(zhì)，從而得出關(guān)于這類事物或現(xiàn)象都具有此種性質(zhì)的一般結(jié)論。這種歸納法稱為普通歸納法，它的結(jié)論是猜想，不一定真實(shí)，所以是一種不完全歸納法，一般不與完全歸納法相混淆時(shí)簡(jiǎn)稱為歸納法。枚舉歸納法是對(duì)于無(wú)窮多特殊情況進(jìn)行一一列舉、尋找規(guī)律性東西的一種普通歸納法。科學(xué)上許多真理的發(fā)現(xiàn)都是依賴于歸納法，既是枚舉歸納法，實(shí)際上枚舉歸納法是數(shù)學(xué)上最引人入勝的探索方法之一。如整式的因式分解x-1=x-1，x2-1=（x-1）（x+1），x3-1=（x-1）（x2+x+1），x4-1=（x-1）（x+1）（x2+1），x5-1=（x-1）（x4+x3+x2+x+1），發(fā)現(xiàn)右邊各因式中各項(xiàng)系數(shù)都是1，于是提出猜想：“二項(xiàng)式必能分解成系數(shù)都是1的質(zhì)因式的連乘積”。經(jīng)過(guò)研究，直到n=102，這個(gè)猜想都是成立的，但最后有人找到n=105時(shí)，xn-1不再能分解為系數(shù)都是1的質(zhì)因式的乘積，因此上述猜想被推翻。

四、輔助元法

為了尋求問(wèn)題的解決途徑，給問(wèn)題的轉(zhuǎn)化創(chuàng)造必要的條件，常常引進(jìn)一個(gè)或幾個(gè)起連接作用的輔助元素；把分散的條件集中起來(lái)，或者把隱含的條件顯示出來(lái)，或者把條件和結(jié)果聯(lián)系起來(lái)，或者轉(zhuǎn)繁難為簡(jiǎn)易，從而達(dá)到轉(zhuǎn)化問(wèn)題找出解決途徑的目的。所以輔助元法也是一種轉(zhuǎn)化的方法。輔助元素一般是通過(guò)分析條件和特征，從解決問(wèn)題的需要角度來(lái)確定的。由于輔助元素的不同而有各種形式的輔助元法，一般輔助元素有輔助未知數(shù)、輔助變量、輔助線、輔助角、輔助平面、參數(shù)、輔助函數(shù)等等。輔助未知數(shù)，實(shí)際意義講一般是常量，當(dāng)然從數(shù)學(xué)角度也可作變量，而輔助變量是以一個(gè)或多個(gè)變量作為輔助元素，其應(yīng)用范圍要比輔助未知數(shù)廣泛。

五、待定常數(shù)法

有些數(shù)學(xué)問(wèn)題，其結(jié)果的形式是已知的或可以預(yù)先推定的，即可以事先按照已獲知識(shí)寫出問(wèn)題結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式，而有些表達(dá)式中含有一個(gè)或多個(gè)（也可以是無(wú)窮多個(gè)）參數(shù)尚待確定，這些參數(shù)稱為待定常數(shù)。一旦把待定常數(shù)確定出來(lái)，問(wèn)題也就解決了。求待定常數(shù)的方法是根據(jù)它應(yīng)滿足的條件列出待定常數(shù)之間的關(guān)系式，然后解出待定常數(shù)。從先確定問(wèn)題結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式來(lái)講，這是一種倒推法，而從按已知條件求解決待定常數(shù)來(lái)說(shuō)又是一種順推法。因此，待定常數(shù)法實(shí)質(zhì)上是倒推法和順推法結(jié)合起來(lái)的一種方法。

六、換元法

引入一個(gè)或幾個(gè)新“元”代換問(wèn)題中原來(lái)的“元”，使以新元為基礎(chǔ)的問(wèn)題比較容易，解決以后將結(jié)果倒回去恢復(fù)原來(lái)的元，即可“蛻”得原問(wèn)題的結(jié)果。這種解決問(wèn)題的方法稱為換元法。換元法的基本思路是通過(guò)變量代換，化繁為簡(jiǎn)，化難為易，使問(wèn)題發(fā)生有利的轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到解題的目的。換元法中的“元”一般作變量理解，但也可以作廣泛的理解，如“元”可以表示常數(shù)、代數(shù)式、函數(shù)等。

（作者單位 新疆維吾爾自治區(qū)克州阿克陶實(shí)驗(yàn)中學(xué)）