分類思想在初中數學教學中的滲透

摘 要：數學分類討論思想是根據數學本質屬性的相同點和不同點，將數學研究對象分為不同種類的一種數學思想。由于“分類討論”思想是中學數學中一個很重要的數學思想方法，對培養學生思維的條理性、縝密性，提高學生全面、周密地分析問題和解決問題的素質和能力起到十分關鍵的作用，故“分類討論”思想在初中數學教學中占有重要地位。

關鍵詞：分類思想；原則；方法

分類思想不像一般數學知識那樣，通過幾節課的教學就可掌握。它根據學生的年齡特征，學生在學習各階段的認識水平和知識特點，逐步滲透，螺旋上升，不斷地豐富自身的內涵。一個數學問題是否要分類及如何分類，這種經驗的積累是十分重要的。一般情況下，當被研究的問題包含有多種可能的情況，導致我們不能將它們一概而論時，就迫使我們要對可能出現的所有情況來分類討論，得出各種情況下相應的結論，而后進行綜合。分類討論一般應遵循以下的原則：（1）對問題中的某些條件進行分類，要遵循同一標準；（2）分類要完整，不重復，不遺漏；（3）有時分類并不是一次完成，還需進行逐級分類，對于不同級的分類，其分類標準不一定統一。

數學思想方法是在數學知識的發生和應用的過程中形成和發展的，因此，我們要有機地利用數學學習過程進行滲透，不斷加以歸納、提煉、強化。這就要求教師認真鉆研教材，從整體出發，有計劃、有目的地結合數學知識的學習，進行數學思想的教學。比如學習分類思想，要明確分類思想方法具體分散在哪些章節的哪些知識的教學中，不失時機地引導學生建立分類討論的思想，揭示分類討論思想的本質，使學生能夠自覺合理地運用分類討論思想解決相應的數學問題，形成能力。

一、把握契機，培養分類思想

初中課本中很多定義、定理、公式本身是分類定義、分類概括的，教師在教學過程中要有意識地讓學生在學習中逐漸體會分類討論的思想。七年級數學課本在引入負數后即對有理數進行分類：將有理數分為正數、零、負數或將有理數分為整數、分數，讓學生辨別不同分類的依據，初步體會分類要不重復、不遺漏、標準不同則分類不同的基本原則。此時可提出問題“-a一定是負數嗎？”啟發學生分a>0，a=0，a<0三種情況考慮。

在日常教學中，這種有序的、有目的滲透，使學生在學習過程中逐步領悟出和接受解決問題中分類討論的思想，明確分類討論的思想是解決某些數學問題的一種重要、有用的思想方法。

二、學習分類方法，增強思維的縝密性

在教學中滲透分類思想時，應讓學生了解，所謂分類就是選取適當的標準，根據對象的屬性，不重復、不遺漏地劃分為若干類，而后對每一子類的問題加以解答。掌握合理的分類方法，就成為解決問題的關鍵所在。

1.根據定義進行分類

有些數學概念是分類定義的，解答此類題，一般按概念的分類形式進行分類。

例1.a=3，b=2，且a>b，則a+b=（ ）

A.5或-1 B.-5或1

C.5或1 D.-5或-1

此題是按絕對值的意義進行分類的。

2.根據字母的不同取值進行分類

對于具體問題如函數、方程、不等式的解、代數式的值等，它們隨著題中所給字母的不同取值而變化，這時要對字母的取值進行討論。

例2.一次函數y=kx+b的自變量的取值范圍是-3≤x≤6，相應函數值的取值范圍是-5≤y≤-2，則這個函數的解析式 。

分析：本題要考慮k的取值情況，要分為k>0和k<0兩種情況。

解：當k>0時，圖像經過（-3，-5）（6，-2），解得y=x-4；當k<0時，圖像經過（-3，-2）（6，-5），解得y=-x-3

3.根據圖形的特征或相互間的關系進行分類

例3.已知在△ABC中，∠A=80°，當∠B= 度時，△ABC是等腰三角形？

分析：本題沒有明確哪個角是頂角，故要分∠A、∠B、∠C分別為頂角三種情況討論。

例4.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，底邊長為a，則其腰上的高是 。

分析：本題根據圖形的特征，把等腰三角形分為銳角三角形和鈍角三角形兩類作高CD。

4.根據條件的不確定性分類

有些題目中的條件開放，以致求解結果不唯一，若對這類問題考慮不全面，時常會發生漏解情況。

例5.二次函數y=a（x-1）2+m的圖像過哪幾個象限？

這道題勢必要考慮圖像的開口方向，又要考慮對稱軸和頂點的位置。要對字母a和m分類，怎么分，則應由學生討論，互相補充，互相評價，逐步完善。

此題是初中數學的常見習題，在教學中引導學生思考此類問題，一方面滲透分類思想，一方面通過具體的實例使學生體會分類的實質為：化繁為簡，將一個復雜的問題分為幾個簡單的問題，分而解之；其次，有時分類并不是一次就可完成，需逐級分類。

三、應用分類討論，提高解題能力

在解題教學中，通過分類討論還有利于幫助學生概括、總結出規律性的東西，從而加強學生思維的條理性、縝密性。一般來講，利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類：其一是涉及代數式或函數或方程中，根據字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內討論解決問題；其二是根據幾何圖形的點和線出現不同位置的情況，逐一討論解決問題。

以上僅僅是我們在教學中碰到的一些相對簡單的運用分類討論思想解決問題的實例。應用分類討論思想，往往會使一些錯綜復雜的問題變得簡單，解題思路變得清晰，解題步驟簡潔明了。在初中數學教學中使用分類討論的思想研究和解決問題，有助于學生發現解題思路和掌握技能技巧，做到舉一反三，觸類旁通；有助于培養學生學習數學的興趣；有助于學生數學思維的發展，為學生今后的學習奠定堅實的基礎。

（作者單位 江蘇省常州市北郊初級中學）