激活數學課堂從改編教材例題做起

摘 要：以浙教版九年級上冊數學教材第三章《圓的基本性質》為例，針對教材中比較難被中學生接受的幾道例題，通過設計變式題組的方式將教材例題進行改編，讓新問題的設問過程更符合學生認知由易到難的基本規律。

關鍵詞：教材例題；變式題組；數學本質

1.前言

數學課的課堂效率在很大程度上取決于學生聽課時的參與程度，而九年級數學教材中復雜的例題居多，綜合要求也很高，那學生的積極性又該如何調動呢？我想不妨把例題作巧妙的改編，把它“變”成一個與原例題本質相同的變式題組，通過題組中一系列小問題的探究和解決，讓大部分學生都有一展身手的機會，并通過變式問題的對比，揭示數學問題的本質規律。運用這樣的教學方式，使一題多變，多題重組，給人以新鮮感，能夠喚起學生的好奇心和求知欲，激活我們的數學課堂。

2.巧“變”例題的策略分析

浙教版九年級上冊數學教材中的第三章內容，是初中階段學生第一次接觸到圓的知識，因此，很多學生出現不適應的情況，即使是平面幾何基礎很好的學生也會覺得解題很陌生。教材中有幾個例題要么就是問題情境較復雜，要么就是問題的切入點很難找。為了讓學生能夠盡快地掌握與圓有關的解題技巧，我把學生較難把握的例題作了適當的改編，在本文中我列舉了三種改編例題的策略，每種策略以一個教材例題的改編過程為例進行分析說明，同時對每一個小問題的設計意圖也作了說明，每題的最后還對問題的實質作了總結，以幫助學生掌握規律。

2.1策略一：先抽去問題的復雜情境，簡化數學問題，最后將數學知識與實際情境再結合

原題（教材第85頁）例4：我國著名的引灤工程的主干線輸水管的直徑為2.5 m，設計流量為12.73 m3/s，如果水管截面中水面面積如圖3-44所示，其中∠AOB=45°，那么水的流速應達到多少m/s？（精確到0.01 m/s）

教師在講解本例題時，如果將這道例題原封

不動地搬上課堂，那么學生審完題之后，首先難住學生的不是這道題中求弓形面積的問題，而是本題的問題情境，即流量、流速為何意義，它們與本題圖形有什么關系。再者，教材對這節內容的例題設置中，有關弓形面積計算的例題就只有這一個。而這道例題一出現便包含了較復雜的弓形面積計算問題，學生不容易接受。因此，在提出這個例題前，最好先把問題中有關流量、流速的問題情境去掉，預設一個較簡單的求弓形面積的小題，等學生已經熟練掌握求弓形面積的方法后再來求原來的問題。

設計如下：

例4：我國著名的引灤工程的主干線輸水管的直徑為2.5 m，水管截面中水面面積如圖3-44（1）所示，其中∠AOB=90°，

（1）求水管截面中水面面積為多少？（精確到0.001 m2）？

學生根據經驗，馬上能得出：S陰影=S扇形OAB-S△AOB

這個小題的設計保證了大部分同學對解這道例題的信心，同時激發了他們的學習興趣，希望知道接下去的問題會是怎么樣的。

（2）如果水面AB上漲到圓心O以上，即如圖3-44（2）所示，其中∠AOB=45°，則此時水管截面中水面面積變為多少？（精確到0.001 m2）

根據第一小題經驗，學生知道求弓形AB的面積可以通過扇形OAB的面積減去△OAB的面積，于是就想到：

S陰影=S圓面-S弓形AB=S圓面-（S扇形OAB-S△AOB）

本小題的難點在于怎么求△OAB的面積。教師在講解時要分析透徹，指出關鍵是求出以OA或OB為底時對應邊上的高，要充分利用45°角組成的等腰直角三角形的三邊關系。其實學生做完第（2）小題等于已經把這道例題的難點解決了，原例題無非就是多了一個實際的問題情境，只要教師對流量和流速稍作解釋，學生就可以理解流速該怎么求。

（3）如果在（2）的情況下，設計的管道的流量為12.73 m3/s，那么水的流速應達到多少？（精確到0.01 m/s）

對于最后一小題，無非是一個求水的流速的關系式。學生需要弄明白，教師可以讓學生觀察流速和流量的單位，從兩個量單位之間的聯系去思考如何求流速，即流速=■。到此學生可以輕松地解決原本挺復雜的一道例題，如此設計既增強了學生解題的信心，又提高了課堂效率。

2.2策略二：擴充說明問題情境，幫助學生理解問題，層層引導，各個擊破

原題（教材第79頁）例3：如圖3-35，有一個弓形的暗礁區，弓形所含的圓周角∠C=50°，問船在航行時怎樣才能保證不進入暗礁區？

本例題是一個有實際情境的數學問題，由于例題對情境的描述過于簡單，所以，應加以擴充說明，比如，燈塔的作用是幫助船只在航行過程中把握方向，船只上的船員可以通過測量船到兩燈塔的角度來判斷他們的航向是否正確。這一點說明后學生大致能理解本道例題的出題意圖應該是讓他們判斷∠ASB的大小。為了讓學生全面掌握此題中涉及的數學知識，我設計了3個小題，分別為點S在弓形區域邊界上、點S在弓形區域內、點S在弓形區域外三種情況，讓學生自己去判斷、自己去探索，最后再總結出規律。

設計如下：

例3：如圖3-35為船在海面上航行過程的示意圖，用S表示船所在的位置，A、B表示海面上兩個固定的燈塔，暗礁分布在經A、B兩點的一個弓形區域內，弓形所含的圓周角∠C=50°。航行過程中，船長常常通過測量船到兩燈塔A、B的張角∠ASB的大小來確定是否會進入暗礁區。

（1）當船剛好駛入弓形區域邊界上的點P1處時，如圖3-35（1），請問此時船到兩個燈塔的張角∠AP1B為多少度？

連接P1B后，學生根據在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等，馬上給出答案為50°，緊接著教師可以提問：假如船只進入了暗礁區，那又該怎么思考，于是自然過渡到第（2）小題。

（2）假設船現處于弓形區域內的點P2處，如圖3-35（2），請問此時船到兩燈塔的張角∠AP2B的大小如何？

連接P2B后可發現∠AP2B為△P2CB的一個外角，根據三角形的外角大于任意一個和它不相鄰的內角，大部分學生都能想到∠AP2B應大于∠C，即∠AP2B>50°。教師還應該指出，假如船在弓形區域內的任意位置點P3處，你能否證明∠AP3B也大于50°，方法其實跟前面的一樣，就是要多構造一個過P3點的圓周角。通過這樣的問題設計，學生的認知由特殊到了一般，更加深了他們對問題實質的理解。

（3）如果現在你是船長，你會下怎么樣的指令，以保證你的船不會進入弓形暗礁區？

在（1）（2）兩個小題中學生已基本掌握了當船在弓形區域邊界上及內部時張角大小的判斷方法，所以，很容易就想到只要保證∠ASB<∠AP1B，即當∠ASB<50°時，船必在弓形暗礁區外。

2.3策略三：將原例題舉一反三，一題多變，將問題引申得更深一些。

原題（教材第64頁）例2：一條排水管的截面如圖3-14所示。已知排水管的半徑OB=10，水面寬AB=16，求截面圓心O到水面的距離OC。

設計如下：

例2：一條排水管的截面如圖3-14所示，（1）若已知排水管的半徑OB=10，水面寬AB=16，求截面圓心O到水面的距離OC。

第（1）小題即為原題，學生完成后教師可提出這樣的設問：如果現在已知半弦、弦心距和半徑這三個量中的任意兩個，能否求出第三個量？學生都認為能。于是再問：下面的問題中這三個量只有一個量知道，我們又該怎么求其余兩個量？

（2）若已知排水管中水面寬AB=16，水面到排水管截面最低點的距離為2，即圖3-14（1）中CD=2，求排水管的半徑OB的長。

解決本小題，可設OB=x，而OC=OD-CD=x-2，于是根據勾股定理可列出關于x的方程，解出x。最后教師作出總結，當弦心距、半弦長、圓的半徑這三個量中，已知其中的一個量，只要再知道其余兩個量之間的數量關系，就可以利用方程思想把其余兩個量都求出來。但是有很多問題中，一個圓當中不止一條弦，當出現多條弦時就需要構造多個直角三角形，于是就可提出下面這個問題。

（3）若已知排水管中原來水面寬度AB=16，現水面上漲至如圖3-14（2）中CD的位置，且CD=10■，水面上漲的高度為11，求排水管的半徑。

到此，學生對于這一類題有了全面的認識，解題策略也就成竹在胸了。

3.對巧“變”例題進行教學的反思

經過對這種教學模式的實踐和深入研究，我認為它既有優點又有缺點，所以，在一節課中要合理分配時間，在一段時間內或者說對少數例題做適當改編后進行教學是有效的，同時也可分配一些時間設置一些完全由學生自己去動手解決的問題，教師不要做過多的干涉，最好能讓學生自己來分析最后的解題過程。如果能這樣進行教學，既能提高大部分學生學習的積極性，又能滿足少數尖子生的優越感，讓整個班級更和諧，讓數學課堂氣氛更活躍，學生的思維才能更靈活。

（作者單位 浙江省諸暨市濱江中學）