例談導(dǎo)數(shù)在高職數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

摘要：導(dǎo)數(shù)是高職數(shù)學(xué)教學(xué)中的一部分內(nèi)容。它的引入使相應(yīng)的一些數(shù)學(xué)方法和解題手段更加的豐富和精妙。導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)最（極）值，不等式證明以及曲線切線問(wèn)題等方面的問(wèn)題中，都是有力的工具。其方法與傳統(tǒng)的常規(guī)方法相比，更具有明顯優(yōu)勢(shì)。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；單調(diào)性；最值；不等式；切線方程

中圖分類號(hào)：G718.5

導(dǎo)數(shù)是高職數(shù)學(xué)教學(xué)中的一部分內(nèi)容，它是微積分學(xué)中的最基本概念。它是對(duì)函數(shù)性質(zhì)研究的有力工具。在函數(shù)的單調(diào)性、最值等方面，導(dǎo)數(shù)都提供了快捷便利的研究方法。甚至在不等式的證明中，導(dǎo)數(shù)也能打開(kāi)一條新的途徑。下面通過(guò)一些典型例題的解答簡(jiǎn)單闡述導(dǎo)數(shù)的工具作用。

一、導(dǎo)數(shù)在證明函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)單調(diào)區(qū)間方面的應(yīng)用

利用拉格朗日中值定理，可以證明定理：設(shè) 在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，那么（1）如果在（a，b）內(nèi)有 ，則 在內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)；（2）如果在（a，b）內(nèi)有 ，則 在（a，b）內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)。利用這一定理，可以快速地判斷函數(shù)單調(diào)性并求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間。

【例1】求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間

解：該函數(shù)的定義域?yàn)镽，得一階導(dǎo)函數(shù)數(shù) 。令 ，得駐點(diǎn) 。當(dāng) 時(shí)， ，因此 在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng) 時(shí)， ，因此 在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞增。

點(diǎn)評(píng) 通過(guò)傳統(tǒng)方法來(lái)證明單調(diào)性和求解單調(diào)區(qū)間，化簡(jiǎn)證明過(guò)程相當(dāng)?shù)姆爆崗?fù)雜。而使用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決，過(guò)程就會(huì)非常簡(jiǎn)潔。

二、導(dǎo)數(shù)在證明不等式的中的應(yīng)用

利用單調(diào)性證明不等式的成立的過(guò)程，首先需要構(gòu)造函數(shù) ，根據(jù)題目給定的范圍 ，求解出 在范圍 上的單調(diào)性，而后利用單調(diào)性得到不等式，從而來(lái)解決原不等式的證明。

【例2】證明：當(dāng) 時(shí)，不等式 的成立

解：構(gòu)造函數(shù) ，定義域?yàn)?。對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得 。因?yàn)?，所以 。即當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 為增函數(shù)。所以 ，有 ，故可得 ，即不等式 的成立。

點(diǎn)評(píng) 本例在構(gòu)造函數(shù)式是直接根據(jù)不等式構(gòu)造的。但有些不等式的證明，需要將不等式作適當(dāng)變形后才能找到構(gòu)造的函數(shù)。

【例3】已知 ，且 為正整數(shù)，求證：

分析：由于 ，且 為正整數(shù)，所以

故，構(gòu)造函數(shù) ，利用其單調(diào)性可以證明

解：設(shè) ，求導(dǎo)得

∵ ∴ ， ∴ 即

∴

即 在 上單調(diào)遞減

∵ ∴ ，即不等式得證。

點(diǎn)評(píng) “構(gòu)造函數(shù)”是利用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決不等式證明問(wèn)題的主要途徑。

三、導(dǎo)數(shù)在解決最值問(wèn)題中的應(yīng)用

利用導(dǎo)數(shù)解決最值問(wèn)題中，主要依靠函數(shù)的極值來(lái)解決。函數(shù)的極值是一個(gè)局部概念，僅與極值點(diǎn)左、右兩邊近旁的函數(shù)值比較。整個(gè)函數(shù)的定義域內(nèi)可以有多個(gè)極值，且極小值也有可能大于極大值。所以在閉區(qū)間內(nèi)的函數(shù)的最值可以定義為：

最大值=max{極大值，端點(diǎn)函數(shù)值} 最小值=min{極小值，端點(diǎn)函數(shù)值} （3.1）

利用導(dǎo)數(shù)求解最值問(wèn)題的步驟可以歸納為：

1）令 ，在題目給定的區(qū)間內(nèi)，解得駐點(diǎn)

2）求駐點(diǎn)左右的區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性。若左增右減，則駐點(diǎn)處為極大值；若左減右增，則駐點(diǎn)為極小值；其他情況均不為極值。此過(guò)程可以通過(guò)列表實(shí)現(xiàn)。

3）求解的閉區(qū)間端點(diǎn)出的函數(shù)值

4）根據(jù)公式（3.1）求出最值

【例4】函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)的最值

解：令 ，得 或 ，易得 是區(qū)間 內(nèi)的唯一駐點(diǎn)。

極小值為 ，端點(diǎn)值為 ， ，所以，函數(shù)最大值為max{ ， } ，最小值為min{ ， ， }= 。

點(diǎn)評(píng) 在本例中，步驟（2）中判斷極值點(diǎn)的方法可以替換為考察 的二階導(dǎo)數(shù)。當(dāng) 時(shí)， 為極小值點(diǎn)；當(dāng) 時(shí)， 為極大值點(diǎn)；當(dāng) 時(shí)， 的情況不確定。因此，【例4】中判斷極值點(diǎn)的過(guò)程可以替換為：

，

取駐點(diǎn) 時(shí)，有，

所以 是函數(shù) 在給定區(qū)間內(nèi)的極小值點(diǎn)。

此方法，在復(fù)雜度和運(yùn)算量上有一定優(yōu)勢(shì)。但是，由于 時(shí)， 的極值點(diǎn)情況不確定，所以在應(yīng)用范圍上較窄，沒(méi)有原來(lái)的方法適應(yīng)的函數(shù)更廣。

當(dāng)在利用導(dǎo)數(shù)求解實(shí)際問(wèn)題中的最值時(shí)，如果函數(shù) 在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn) ，并且從實(shí)際問(wèn)題本身又可以知道在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的最大值（最小值）確實(shí)存在，那么直接可得 就是所要求的最大值（或最小值）。

【例5】如圖所示，已知一正方形鐵皮邊長(zhǎng)為90cm，將其四個(gè)角分別截去同樣大小的一個(gè)正方形，做成一個(gè)無(wú)蓋鐵箱，問(wèn)截去的小正方形邊長(zhǎng)為多少cm，才能使無(wú)蓋鐵箱的容積達(dá)到最大？最大容積為多少？

解：設(shè)截去的小正方形邊長(zhǎng)為a cm，鐵箱容積為

由題意可知， ，求導(dǎo)可得

令 ，求得（0，45）內(nèi)的唯一的駐點(diǎn) ，此時(shí)

由于該實(shí)際問(wèn)題中最大值必定存在，所以我們可以確定：當(dāng) 時(shí)，鐵箱容積達(dá)到最大值。所以當(dāng)截去的小正方形的邊長(zhǎng)15cm時(shí)，鐵箱有最大容積為 。

點(diǎn)評(píng) 根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的條件，利用導(dǎo)數(shù)能快速求出最值。

四、導(dǎo)數(shù)對(duì)解決曲線切線問(wèn)題的應(yīng)用

在引入導(dǎo)數(shù)的過(guò)程中，我們就是從求曲線的切線問(wèn)題開(kāi)始的，割線轉(zhuǎn)化為切線的思想方法中抽象出了導(dǎo)數(shù)的概念。所以導(dǎo)數(shù)在解決曲線切線的問(wèn)題上也起到了有力的作用。

【例6】求過(guò)原點(diǎn)與曲線 相切的切線方程

解：原點(diǎn)（0，0）不在曲線上，故設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ），則有 ，該點(diǎn)處的切線斜率為 ，所以切線方程為 。由于原點(diǎn)（0，0）在切線上，代入切線方程可得 ，于是得到切點(diǎn)坐標(biāo)（ ， ）回代入切線方程可得

點(diǎn)評(píng) 利用好切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點(diǎn)處的斜率這一性質(zhì)。

通過(guò)以上例題，可以看到，導(dǎo)數(shù)在高職數(shù)學(xué)中有著廣泛的且重要的應(yīng)用。在解決函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)最（極）值，不等式證明以及曲線切線問(wèn)題等方面的問(wèn)題中，導(dǎo)數(shù)都是有力的工具。其方法與傳統(tǒng)的常規(guī)方法相比，更具有簡(jiǎn)潔的過(guò)程和明顯優(yōu)勢(shì)。另外，導(dǎo)數(shù)除了在高職數(shù)學(xué)之外，在其他專業(yè)課程也有及其重要的應(yīng)用，如在物理中，求解加速度等問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

[1]《數(shù)學(xué)》編寫(xiě)組編. 數(shù)學(xué)（第四冊(cè)）[M]. 江蘇教育出版社，2012

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編. 數(shù)學(xué)分析（第二版）[M]. 高等教育出版社，1991.