中圖分類號(hào)：G623.5

理解復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、平面向量是一一對(duì)應(yīng)的，能根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式描出其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)及向量。利用復(fù)數(shù)的幾何意義，可使兩點(diǎn)間的距離公式、常見的曲線方程及某些平面區(qū)域有簡(jiǎn)明的表達(dá)形式，為使用復(fù)數(shù)解幾何問題方便，復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合。體現(xiàn)在：

1、通過學(xué)習(xí)復(fù)平面上點(diǎn)的軌跡，進(jìn)一步使學(xué)生掌握復(fù)數(shù)及減法的代數(shù)、幾何、向量表示法及彼此之間的關(guān)系。

2、通過復(fù)數(shù)、平面上點(diǎn)及位置向量三者之間聯(lián)系及轉(zhuǎn)化的教學(xué)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行事物間普遍聯(lián)系及轉(zhuǎn)化等辯證觀點(diǎn)的教育。

3、提高學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力；培養(yǎng)對(duì)應(yīng)與運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)。

例題（1）實(shí)數(shù)m分別取什么數(shù)值時(shí)，復(fù)數(shù)z=（m2+5m+6）+（m2-2m-15）i，（1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)在x軸上方；（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線x+y+5=0上.

解析（1）由m2-2m-15>0，

得m<-3或m>5，

即當(dāng)m<-3或m>5時(shí)，z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在x軸上方.

（2）由（m2+5m+6）+（m2-2m-15）+5=0，

得m=-3-414或m=-3+414，

即當(dāng)m=-3-414或m=-3+414時(shí)，z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線x+y+5=0上.

例題（2）已知z1、z2∈C ，且 ，

若 ，則 的最大值是（ ）

（A）6 （B）5 （C）4 （D）3

解法1：

的最大值是4

解法2： ，

，即

表示以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓；

表示以（0，2）為圓心，以1為半徑的圓。

的最大值為兩圓上距離最大的兩點(diǎn)間的距離為4。

例題（3）若復(fù)數(shù)z滿足條件 ，

求 的最值。

解法1：（數(shù)形結(jié)合法）由 可知，z對(duì)應(yīng)于單位圓上的點(diǎn)Z；

表示單位圓上的點(diǎn)Z到點(diǎn)P（0，2）的距離。

由圖可知，當(dāng)點(diǎn)Z運(yùn)動(dòng)到A（0，1）點(diǎn)時(shí)， ，此時(shí)z=i；

當(dāng)點(diǎn)Z運(yùn)動(dòng)到B（0，-1）點(diǎn)時(shí)， ， 此時(shí)z=-i。

解法2：（不等式法）

，

解法3：（代數(shù)法）設(shè) ，則

，即

當(dāng) ，即 時(shí)， ；

當(dāng) ，即 時(shí)， =3，

解法4：（性質(zhì)法）

，即

當(dāng) ，即 時(shí)，

當(dāng) ，即 時(shí)，

例題（4）復(fù)數(shù)z1=1+2i，z2=-2+i，z3=-1-2i，它們?cè)趶?fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，求這個(gè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).

分析一：

利用 ，求點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù).

解法一：

設(shè)復(fù)數(shù)z1、z2、z3所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A、B、C，正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為x+yi（x，y∈R），是：

=（x+yi）-（1+2i）=（x-1）+（y-2）i；

=（-1-2i）-（-2+i）=1-3i.

∵ ，即（x-1）+（y-2）i=1-3i，

∴ 解得

故點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2-i.

分析二：

利用原點(diǎn)O正好是正方形ABCD的中心來解.

解法二：

因?yàn)辄c(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以原點(diǎn)O為正方形的中心，于是（-2+i）+

（x+yi）=0

∴x=2，y=-1.

故點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2-i.