“簡便運算”其實不簡單

計算由數(shù)值運算組成，每一類計算都有與之相適應的標準算法，但對于每一種情形而言不一定是最優(yōu)的方法。靈活運用一種算法和它的變式能獲得特定的最優(yōu)解法，從而超越標準算法的表面形式真正把握數(shù)學運算的精髓——蘊含的數(shù)學概念、定律和原理。當一個計算問題通過簡便運算得到靈活、快捷的解答時，這個問題就成了連接不同領域數(shù)學知識的紐帶。學生關于簡算的現(xiàn)實卻是：要么方法上“舍簡求繁”，要么混淆定律“張冠李戴”。如何讓學生學會對算式進行觀察判斷、分析思考并讓是否簡算、如何簡算這一系列從決策到行動的過程成為自覺行為？我們可以從三個層次的精細化教學策略提升學生的簡便運算能力，讓簡便運算真正成為“計算的藝術”。

一、形成簡便運算意識，在體驗中思考

簡便運算意識與能力的形成不是簡單的“積木拼裝”過程，而是一個自然“孕伏”的過程。因此，在教學中要關注知識間的相互滲透，讓學生在簡便運算這一領域能生發(fā)新的認識，視野中既見樹木又見森林，我在教學中從以下兩點做了嘗試。

1. 以“源”引新，積累簡便運算經(jīng)驗

簡算知識在四年級教材之前已有大量涉及，如一年級教材中的“一圖二式” “一圖四式”，三年級長方形周長的兩種算法等。如果在教學運算律之前作適當?shù)母行灾R滲透，就有助于提高學生為解決問題而選擇適當算法的優(yōu)化意識，提高運算能力。如在教學三年級下冊兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算“29×42”時，我將孩子們的算法充分展示：①29×6=174，174×7=1218；②29×40=1160，29×2=58，1160+58=1218；③42×20=840，42×9=378，840+378=1218。第一種解法幫助學生積累了感性的乘法交換律和乘法結合律；第二、三兩種方法實現(xiàn)口算向筆算知識的過渡，對乘法分配律進行了嘗試和運用。這類感性經(jīng)驗累積又為多位數(shù)豎式乘法的計算作了學習上的準備，又根據(jù)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理：按照十進制計數(shù)法，將ab×cd改寫成ab×（10c+d）；再根據(jù)乘法分配律，等于ab×10c+ ab×d，可以類似地拓展到多位數(shù)乘多位數(shù)的算法。這樣，課堂就實現(xiàn)了知識體系的擴容，舊知成為新知的源頭，從“源頭”出發(fā)達到融會貫通、整體把握。

2.“記”以致用，積蓄簡便運算意識

在沒有“用簡便方法計算”這樣的明確顯性要求下，很多學生不運用已有的定理、規(guī)則進行簡便計算，但并不能說明學生不想簡便運算而是缺乏簡便運算的自動化意識，想要簡算的意識成為學生的自覺行為，提升計算的效率與質量。筆者長期堅持讓學生在計算時，先觀察算式中數(shù)字的特點和運算符號，然后根據(jù)運算定律和性質判定是否可以簡算，同時讓學生熟記一些公式、數(shù)據(jù)幫助學生激活對數(shù)字敏感的神經(jīng)，記憶常見的兩數(shù)之積，如25×4=100、125×8=1000；常見的25以內的平方數(shù)，如112（121）、122（144）、132（169）、152（225）……；常見的分數(shù)與小數(shù)互化，如=0.25、=0.75、=0.125。當學生熟記了這些內容后能有效提升學生的簡便運算策略意識，如在計算4.25×4+5.75÷0.25時，有同學另辟蹊徑展示了兩種算法①4.25×4+5.75÷0.25=4.25×4+（5.75×4）÷（0.25×4），②4.25×4+5.75÷0.25=4.25×4+5.75×（1÷0.25），這兩種方法體現(xiàn)了極佳的數(shù)感，將數(shù)字的特殊性與所儲備的商不變規(guī)律、乘法結合律、乘法分配律等知識有機結合實現(xiàn)了簡算。此時，大腦儲藏室中的枯燥算式得以致用，學生利用個體經(jīng)驗進行思考，在碰撞和共享中不斷拓寬自己的思維、審視自己的思維、修正自己的思維。

二、積累簡便運算經(jīng)驗，在理解中提升

在實際教學中，教材呈現(xiàn)的內容比較單一，素材也較少，一眼可窺全貌。但是，如何透過簡單的知識點直達本質，就需要借助生活背景，細化教學過程讓原本單一、量少的知識豐盈起來。

1.精細教學過程，促進意義理解

如在“運用乘法分配律進行簡算”的教學中借助學生已有的購物經(jīng)驗出示問題情境：夾克衫65元，褲子35元，買5件夾克衫和5條褲子，一共需要多少元？這樣的問題并沒有給學生帶來多大的智力挑戰(zhàn)，有的學生列出算式65×5+35×5，分別算出夾克衫和褲子各需要多少錢，再算出一共需要多少元；有的學生列出算式（65+35）×5，先算出一套衣服的價錢，再算出5套需要多少錢。在學生展示計算的過程中，學生很快發(fā)現(xiàn)后一種解法中夾克衫跟褲子的單價正好湊成整百數(shù)，顯然是一種優(yōu)化的簡便計算方法。我在表面看似順利的教學流程框架下舍棄了“用這個例子較快概括出一般結論，然后通過練習應用這一規(guī)律”的通常做法，而是將這一過程精細化，引導 學生觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想、例證、概括，把“乘法分配律”的獲得過程，納入學生自己的認知結構。第一步，在觀察例題解答過程后呈現(xiàn)15×26+15×14○15×（26+14），讓學生利用猜想比較大小；第二步，擦除左半部分，請學生獨立計算15×（26+14）；第三步，對部分學生的兩種計算過程進行比較，有學生計算15×26+15×14時轉化為15×（26+14）；第四步，請學生舉例，同桌互算；第五步，利用大量算式所積累的感性認識，提煉概括出數(shù)學模型，這一階段我接受了學生創(chuàng)造的“（○+□）×△=○×△+□×△”等看似低級的方法，其實抽象程度跟“（a+b）×c=a×c+b×c”是一樣的，唯一的區(qū)別在于后者是世界公認和通用的。第六步，練習拓展，得出若干個數(shù)的和與一個數(shù)相乘的積，等于和中的每一個加數(shù)與這個數(shù)相乘，再把所得的積加起來，即（a1+a2+…+an）×b= a1×b+a2b+…+an×b。

學生經(jīng)歷這樣的六步過程，簡單的知識變得豐滿，對乘法分配律有了更深的理解，而不只是停留在表面。

2.精細悟錯過程，提升內涵理解

現(xiàn)行教材中關于計算教學的內容，只是要求說出而不需寫出，而文字更能幫助學生對計算過程的理解、內化，最終形成正確的認識。如有學生計算16×（125+25）=16×125+25，假如畫個“×”，讓學生自己訂正，正確的答案馬上會送到老師手中，但這種簡單的處理只能治標，學生更深層次的偏差并未得到矯正。為了避免在簡算過程中，不經(jīng)細致觀察、分析，漫無目的，只取形似盲目套用定律的現(xiàn)象，我在教學中將學生常犯的錯編制成文字題。如：

16×（125+25）

=16×125+25……⑴

=2000+25……⑵

=2025……⑶

⑴上述解題過程，從哪一步開始出現(xiàn)錯誤？請寫出代號________________。

⑵錯誤的原因是________________。

⑶正確的過程是________________。

學生的錯，尤其是認真思考后的錯誤，總會在大腦中留下較深的印象，時間一長，正確的、錯誤的表象混在一起，再犯錯誤在所難免，對于這種情況不妨“矯枉過正”，我讓學生在自己的“錯”中糾錯、悟錯、改錯，經(jīng)歷“錯處——錯因——結論”的過程，同時學會正確處理這類問題的步驟和方法，教會學生自我審視、檢驗解題的一般過程。

三、孕育簡便運算策略，在對比中感悟

比較是把一些事物的個別屬性加以分析綜合，而后確定它們之間同異的邏輯思維過程，一方面，比較可以對選擇何種簡便運算策略進行感知、分析、綜合；另一方面，它又為實施簡便運算策略的抽象過程提供了依據(jù)。

⒈根據(jù)教學目標，確定比較對象

在簡便運算教學中，一些知識的差異性往往被它們的相似性、相近性掩蓋，在思想上容易泛化為同類知識，此時的辨異比較，可以顯示知識間的差異，更有利于把握知識間的內在聯(lián)系。

如在學習了乘法分配律的標準形態(tài)后，教材練習中呈現(xiàn)了256×7-56×7，部分學生根據(jù)四則運算順序作出解答，沒有意識到a×c-b×c=（a-b）×c與a×c+b×c=（a+b）×c存在共性，針對這部分學生讓其完成下面的計算練習：12×（40+5）和12×（40-5），適時提供以下板書：

利用乘法的意義是表示幾個相同加數(shù)連加，是一種特殊的加法，再結合加法運算律引導學生一一觀察，通過橫向對比分析，異中求同，形成概括性認識，從而對利用乘法分配律簡算這一概念的內涵理解逐漸清晰，認知結構得以完善。

⒉根據(jù)教學內容，確定比較參照點

簡便運算的知識以各種形式、各種結構聯(lián)系在一起，學生在知識的建構過程中常常會發(fā)生認識上的偏差，此時，根據(jù)知識間的特點、學生的學習狀況，選擇合適的參照點“求同”或“辨異”，有利于學生歸納和概括，如計算45×99和45×101，根據(jù)學生的計算過程，在黑板上呈現(xiàn)如下板書。

45×99[99個45相加]

=45×（100-1）[（100-1）個45相加]

=45×100-45×1[100個45-1個45]

=4455

45×101[101個45相加]

=45×（100+1）[（100+1）個45相加]

=45×100+45×1[100個45+1個45]

=4545

這一板書的小字說明，實際提供了幾個幾相加這一比較參照點，99和101都接近100這一共同點充分暴露并聚焦，學生就能順利地理解，這一類題可以結合乘法分配律及類推出來的性質選擇簡便的方法計算。

有時，事物的共性隱伏于一類知識內，習慣于從表面現(xiàn)象認識事物的小學生一時看不出知識的潛在共性，誤認為它們是各自獨立的，此時組織的異中求同比較，有利于挖掘和顯露知識共性，使學生的理解深刻化。