機械工程研究生“有限單元法”課程教學探討

摘要：有限元法已成為工程分析中強有力的數值分析工具，在多數工科院校中，“有限單元法”已經普遍作為研究生課程中一門重要的的學位課。實踐證明，通過教學改革加強基礎理論教學、工程概念，增強學生通用軟件編寫能力，探討通用有限元分析軟件應用與工程實際問題的解決對學生系統掌握該課程的理論和方法具有積極的作用，提高了學生利用有限元方法解決實際工程問題的能力，為本專業的學習打下了良好的基礎。

關鍵詞：有限元教學；工程應用；教學改革

作者簡介：劉義（1974-），男，山東平原人，河南科技大學機電工程學院，講師；薛玉君（1971-），男，河南焦作人，河南科技大學機電工程學院，教授。（河南洛陽471003）

基金項目：本文系河南省教育科學“十一五”規劃課題（課題編號：[2010]-JkGHAG-0188）的研究成果。

中圖分類號：G642.0#8195;#8195;#8195;#8195;#8195;文獻標識碼：A#8195;#8195;#8195;#8195;#8195;文章編號：1007-0079（2012）16-0040-02

機械工程專業研究生需要掌握計算機科學等現代科學技術的理論方法，研究各種機械系統、結構及其元件的工作原理、運動和動力學性能、模擬仿真及優化的理論方法，振動與噪聲、摩擦、磨損與潤滑、傳動、創新發明與設計及計算方法等。作為一種相對成熟的數值計算方法——有限元方法成為機械工程專業研究生進行機械設計、解決工程實際問題必不可少的工具之一，因而有限單元法普遍列入了研究生的學位課程。同時有限元法是一個龐大和復雜的理論體系，需要有較深厚的數學力學基礎知識，學生在一定時間內掌握有限元法比較困難，因此如何提高有限元法教學效果成為一個急需解決的問題。

一、傳統教學方法存在的問題

教學方式的改革是我國當前高教改革的重要內容之一。在有限元傳統的接受式教學模式中，課程的“教”和“學”的內容都是預先設定好的，而且內容多是前人的經驗積累；大多數的授課教師在教學過程中往往只注重于傳統理論知識的講解，這在一定程度上不利于啟發教學對象的創新性思維。有限元方法作為一門同工程實踐聯系較強的課程，應該注重培養學生解決實際工程問題的能力，而不僅僅只是局限于理論知識的灌輸。只有讓學生在自己動手解決實際工程問題的過程中，體驗到該課程強大的解決問題的能力和作用，才能夠激勵學生掌握有限元方法的熱情，調動學習的主觀能動性。因此，要將有限元教學從傳統的以教師為主體的教學模式向以學生為主體的教學模式進行轉變。在教學過程中，教師的作用更多體現在引導、組織問題的討論和啟發學生的創新性思維。只有提高學生學習的主觀能動性，才能夠獲得更好的教學效果。

“有限元方法”是在基礎力學課程中不斷發展而獨立出來的一門課程。教師在教學時，應該根據機械工程專業的研究生的培養目標，確定相應教學內容。對機械工程專業研究生來說，該課程教學內容相對多：既包括常見的平面桿系及平面應力、應變問題等二維的有限元分析的基本方法，同時，又包括三維問題的有限元分析和靜力學、動力學、線性有限元問題的分析。非線性問題是工程中最為常見的問題，非線性有限元問題的分析應該作為一個教學的重點和難點。在教學過程中應該時刻體現教學目的：不但使學生理解基礎的計算理論，而且需要加強解決問題方法和能力的訓練，從而使學生在學習該課程后，能夠用有限元的方法去解決一些常見的工程問題。傳統方法以培養學生的扎實理論知識為目的對學生進行系統的有限元理論知識講解和分析推導，而對于大多數機械工程專業非力學專業的研究生來說，由于有限元方法的理論知識包含數學、力學、材料力學、彈性力學、變分原理、線性代數、數值計算方法等多門課程的內容，理論起點較高，教學效果不太理想。因此要根據機械工程專業研究生的培養要求，探索適合培養研究生解決實際問題能力的教學方法是十分必要的。

二、加強基礎理論的教學

基礎理論知識的學習是保證良好的教學效果必不可少的。矩陣位移法作為有限元法的課程主線，是最為基礎的理論知識。矩陣位移法的基礎是線性代數的矩陣運算以及結構力學中學習到的位移法。矩陣位移法理論基礎就是加權余量法以及在彈性力學基本原理之一——變分原理。在教學過程中發現，多數學生在基礎理論知識方面存在欠缺以及遺忘的情況，因此，在教學過程中應該加強理論知識的補充，將有限元理論的基礎知識的教學提高到其應用的重視程度上，才能夠保證以后本課程的教學效果。在學習基礎理論知識的過程中，應該使學生明白如何將解題的過程采用矩陣的形式進行表達，同時如何利用計算機計算程序來實現。保證足夠的教學時間來學習和提高有限元最為基礎的礎理論知識是很有必要的，在教學的過程中，同時需要注重啟發引導和互動，強化學生對所學的基礎理論知識的理解和應用，提高學生利用基礎理論知識分析問題以及解決問題的能力，從而提高學生學習理論知識的積極性，認識到學習理論知識的作用。

三、建立有限元分析問題的思想

有限元法是一種工程實用性非常強的數值分析工具，在有限元方法的學習過程中，建立有限元分析問題的思想是很重要的。簡單說就是要明確有限元方法的實質，以及處理問題過程的步驟和注意的問題，在以往的教學中這個問題沒有得到相應的重視。

有限元法最為基礎的思想是將復雜問題用相對簡單的問題代替后進行求解，在這個過程中，有限元法將求解域劃分為許多小的互連子域（稱為有限單元），在對單元假定一個相對簡單的位移模式，從而得到每一單元近似解，在此基礎上推導求解這個域總的平衡方程，最終得到所求問題的解。有限元方法雖然應用的領域很多，但是針對不同物理性質以及數學模型的問題，有限元求解法的基本原理以及步驟大體是相同的，區別僅僅體現于不同物理模型的公式推導和運算求解方法。有限元法的基本步驟通常是相同和固定的：首先確定問題以及定義求解域；其次是將求解域離散化；再此需要確定狀態變量和控制方程，通常做法是將微分方程轉化為等價泛函形式；推導有限單元的列式，構造單元適合的近似解，得到單元矩陣；最后聯立方程組，得到總求解并對結果的合理性進行解釋。

加強學生自己動手利用高級編程語言或者數學工具對某些具體結構的問題進行有限元計算，對培養學生形成有限元分析問題的思想是必不可少的。作為教學的引導者，教師應該提供典型的有限元計算程序，并進行必要的講解，使學生在這個過程中對有限元分析問題的思想有更進一步的認識。

四、以實際工程應用為目標增加軟件教學

有限單元法是工程分析中應用最廣泛的數值方法之一，世界各國均開發了自己的大型通用有限元計算平臺。掌握一種或者多個有限元計算平臺是目前拓展有限元應用的重要途徑。目前主流的有限元軟件主要有：ABAQUS、ANSYS、MSC.MARC、ADINA等。

為提高學生的實際應用能力，可采用國際上通用的大型有限元軟件進行案例教學的方法，有針對性地提煉出工程中典型的結構作為案例，將有限元軟件的各種功能及操作貫穿在實際的結構分析中。在每個案例分析中主要側重模型建立單元網格劃分邊界條件定義和載荷施加等操作方法的講解，使學生能夠快速、有效地建立起有限元分析的思路，并能夠觸類旁通。針對不同的工況進行有效地分析，可以使學生掌握有限元軟件基本的操作過程以及一些必要的操作技巧。在教學過程中，選用的教學案例應該有針對性，比如對機械工程中常見的結構分析問題，應該包括普通的靜態分析；非線性常見的曲屈和失穩接觸分析、沖激分析、材料失效和斷裂行為等問題分析；動力學分析中的振動模態分析、瞬態動力學問題等。在熱分析問題中，應該包括穩態熱傳導分析以及對流散熱分析和熱輻射分析等；在多場耦合教學中應包括熱力耦合分析等。

五、使用多媒體教學和加強上機實踐教學

作為一種數值計算方法，有限元方法與程序設計注定在教學過程中不可避免地接觸大量的公式以及公式的推導，并且這些公式大多相當繁雜。傳統的教學模式中有大量的板書，這樣對教師來說工作量大，而學生往往對這些枯燥的數學計算不感興趣，導致教學質量不高。在規定的課時內要保證教學效果，多媒體教學為本課程的學習提供了優秀的媒介。利用多媒體技術，可以將有限元分析中的基本原理和有限元方法實現的過程更為形象生動地展現給學生，使教師有更多的時間去解釋分析問題的過程，并能和學生實現教學互動，有充足的課時針對學生學習過程中普遍出現的難點和重點進行有針對性地講解。在教學模式上應該采用多媒體教學和板書相結合，利用多媒體將抽象的理論、方法以及機械結構較為具體地展現，從而使得學生在接受知識的過程中更形象直觀，提高了教學質量。同時，利用多媒體教學，可以使得教學采用的有限元分析軟件的操作演示得以實現，能夠使得學生更為直觀地看到利用有限元分析軟件解決問題的過程，縮短了學生學習軟件的時間。

上機實踐也是進行有限元理論與操作技術教學的重要環節之一，是學生消化吸收所學知識和真正掌握有限元軟件應用的關鍵問題。只有通過上機實踐，才能夠加深學生對有限元理論知識的理解和培養學生的實際動手解決問題的能力。更為重要的是，通過上機實踐，學生才能夠真正體會用有限元方法分析問題的整個過程，并能夠在這個過程中發現問題，在獨立或者在教師的幫助下分析問題，最終通過本課程的學習，真正具備利用有限元方法解決問題的能力。

六、“有限單元法”課程的改革

通過幾年的教學實踐，在“有限元理論與應用”課程的教學改革方面筆者認為應該在以下幾個方面進行強化：

一是需要在課程內容上強化有限元方法基礎理論知識教學和適當延長教學課時，同時又要融入有限元法在工程領域的最新成果；在教學過程中提高學生學習的主動性，同時采用靈活的教學手段，著重從方法和思路方面加以講解，啟發學生的求知欲，變學生的被動學習為主動學習。

二是增強學生軟件編寫典型有限元計算通用程序的能力的訓練，使學生在自己編制有限元計算程序以及應用成熟的大型商用通用工程有限元分析問題的過程中加深利用有限元方法解決問題的思想和能力。

三是在教學過程中，適當增加大型通用有限元分析軟件操作的課時。這些軟件一方面具有強大的計算能力和前后處理及可視化能力，另一方面縮短了編寫程序的時間和維護運行程序的費用，計算的結果具有更強的可比性和說服力。

四是注重課程教學內容上教學與工程實踐的結合。教學中采用的教學實例，應該從工程實踐中精選出具有代表性的實例；讓學生參與到實際工程的數值計算中，最終實現該課程教學與工程實踐相結合的目標。

七、總結

總之，“有限單元法”是一門理論與實踐相結合的課程，不僅需要學生有系統的理論分析能力，還需要很強的工程實踐能力。因此采用多元化教學方法和手段講授有限單元法，才能夠使學生系統掌握該課程的理論和方法，并且具備獨立分析解決問題的能力，從而達到本課程教學、學習的目的。

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（責任編輯：宋秀麗）