參透本質 引領操作 高效建模

《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確地將原有的“雙基”（基礎知識和基本技能）拓展為“四基”，即增加了“基本數學思想和基本活動經驗”?；緮祵W思想有三點，即抽象、推理和建模。要在數學教學中很好地體現基本數學思想，就必須關注兒童，關注過程，讓學生真正經歷、體驗和探索再發現的過程，在經歷多次的抽象和推理后真正地建構起數學模型。

然而，當前數學教學中假建模的現象屢見不鮮。如教學人教版數學四年級下冊《搭配的規律》時，有教師先讓學生用若干個木偶和帽子的圖片分組進行搭配，之后交流兩種搭配思路（先選帽子再配木偶，或先選木偶再配帽子），并將各組的實驗數據按“木偶個數、帽子個數和搭配種數”進行列表匯總。最后讓學生在觀察列表數據中得出關系式：木偶個數×帽子個數=搭配種數。結果一位學生當場質疑：老師，個數乘個數，結果怎么會等于種數??？究其原因，許多教師常常只重視讓學生進行數學學具操作（實物的，手勢的，肢體的），而對逐步由形象走向抽象、由現象深入本質的數學語言操作（畫圖，列表，列舉，列式，畫批，寫關系式及言語表述）關注不夠或流于形式，常常由學具操作直接跳躍到抽象數量關系。正是由于缺少由淺入深、由表及里的數學語言操作活動的開展，也就在建模過程中缺少了多次逐步的抽象與推理，這樣就容易形成思維的斷層，使大多數學生只知是什么、不知為什么，或常常處于口欲言而心未達的狀態，對知識的本質內涵理解不透，對模型的意義建構領會不深，如此學到的模型就缺少了遷移性和融通性，建模過程也失去了擔當學生“成長載體”的作用。

非常巧合的是，筆者也上過《搭配的規律》，當時不僅巧妙地將學校開展的智慧節節微與口號引入課堂進行搭配操作，還通過4次變化節微與口號的個數，使學生在擺畫算中充分經歷了抽象、推理、建模的活動歷程，積累了相關的活動經驗，現將建模的主要流程與思考呈現如下。

一、教學過程：

1.在學具操作中初步感知搭配規律。

從學生真實的學校生活入手，結合學校正在開展的首居校園智慧節活動，讓學生欣賞從上千份的作品中挑選出來的3個智慧節節微和2個智慧節口號，并提問：讓你從中為智慧節選出1個節微配1個口號，你準備怎樣選配？學生自由回答后，老師問：3個節微配2個口號，一共有多少種搭配方案呢？當學生脫口說出6種后，追問：是不是6種情況呢，是怎樣進行選配呢？于是讓學生用印有節微和口號圖案的卡片進行操作驗證，集體交流時指名學生上臺演示，讓其他學生仔細觀察并表述：他是怎樣選配的？還可以怎樣選配？從而明確選配的兩種方法：先選定節微，再去配口號；或先選口號，再依次去配節微。

2.在表象操作與符號操作中逐步感悟搭配規律。

在借助擺卡片經歷了有序選配后，讓學生將卡片放回信封，然后閉上眼睛，將剛才的選配思路在腦海里再回想一遍：先選定節微依次配口號，共有6種搭配方式，或者先選定口號依次配節微，一共也是有6種搭配方式！睜開眼睛，能用筆和紙將腦海中的思路方便快捷、清楚有序地表示出來嗎？接著以4人小組為單位，完成以下活動：（1）討論用什么方法表示選配思路。（2）用選定的方法將選配思路表示出來。

由于充分相信學生，放手讓學生在小組合作的頭腦風暴中充分地挖掘創造潛能，學生表現出驚人的創造才能，想出了異彩紛呈的表示方法。除了用連線法表示選配思路外，學生們還想到了列舉法（a1，a2，b1，b2，c1，c2），除了用圖形表示節微和口號外，學生還想到了用數字、字母、文字等來表示，真正顯示出其創造才能和發散思維能力，在這一過程中，符號意識和創新思維也因其迷人的魅力而深入人心。

接下來讓學生靜心觀察所畫的這兩種選配思路，看能否從中發現什么規律？通過小組討論和集體交流，學生明白了：1個節微配2個口號有2種方法，3個節微就有3個2種！1個口號可以配3個節微，2個口號就有2個3種！算式是2×3=6（種）。

3.在變式操作中抽象概括搭配規律。

（1）顯示4個節微和2個口號，讓學生說發現的規律：1個節微可以配2個口號，4個節微就是4個2種，1個口號可以配4個節微，2個口號就是2個4種，2×4=8（種）。

（2）顯示4個節微和3個口號，并問：又增加了1個口號，可以怎樣算，你是怎樣想的？結合學生的回答，顯示4個3種，3個4種，3×4=12（種）。

至此，抽象出數學模型已是水到渠成的事，于是追問：根據選配的規律，你覺得選配的種數可以怎樣算？（板書：節微數×口號數=選配種數）

（3）最后讓學生嘗試：據統計，四年級小朋友共設計了90個節微和80個口號，還是像剛才這樣選配，一共有多少種不同的方法？學生很快算出——7200種。

教師趁熱打鐵地追問：這些規律我們是怎樣一步步地找到的呢？生：是通過擺、畫、算得來的。教師順勢總結：擺、畫、算是我們研究數學的重要方法和手段，它會幫助我們去發現數學王國里更多的規律和奧秘！

二、教學心得

1.參透知識本質是成功建模的前提。

老師如果在課前未能參透所教數學知識的本質內涵、實質聯系及系統架構，他就不可能以己之昏昏使學生昭昭。如教學“搭配規律”時，老師心中就要明晰：兩種物體A（a個）或B（b個）進行搭配，有兩種搭配方法，共a乘b種方案：（1）1個A去搭b個B，得b種搭配方法，a個A去搭配，就有a個b種：（2）1個B去搭a個A，得a種搭配方法，b個B去搭配，得b個a。搭配過程中的機會均等，且一一對應，使得搭配規律自然體現出幾個幾相加的乘法模型特征。所以，只有深入挖掘并領會了知識的本質與內在機理，才有可能引領學生入木三分地走向知識的內核，走向思維的深刻與靈活。否則，師生都只可能是隔靴搔癢式的淺嘗輒止，猶如豬八戒吃人生果——囫圇吞棗，建模必然退變為“貼模”了。

2.引領有序操作是成功建模的關鍵。

在以上的建模過程，通過學具操作、表象操作、符號操作、概括算法等“層層剝筍式”的數學操作活動，有序引領學生經歷擺圖片、說搭配思路、表征搭配思路（用數字、字母、文字、畫圖、列表，連線等）、建立乘法模型（幾個幾相加，幾乘幾）、抽象出數量關系式等過程，有意識地滲透直觀化、符號化、有序思考等思維方法，讓學生充分經歷由具體到抽象的建模過程，學生收獲的不僅僅是選配機會的均等性和選配種數的計算方法，還有不完全歸納的合情推理能力，以及凝聚其中的建模思想和擺、畫、算等逐步抽象化的建模方法。所以，成功建模的關鍵是遵循認知規律，讓學生在有序的數學操作活動中充分地經歷、體驗、探索再發現的數學化過程，在經歷多次的抽象和推理后真正地建構起數學模型，最終將復雜的知識學簡單，將簡單的知識學深厚，從而真正提升數學思維和數學素養。

總之，數學建模教學的關鍵是教師在把握知識本質和遵循認知規律的基礎上，引領學生借助學具操作、表象操作、符號操作和言語表述將知識有序地展開，將內隱的思維過程表征出來，使隱性的思維活動顯性化，變得可做、可視、可說、可聽、可寫，在主動而有序的操作與表征過程中真正體驗數學化的再創造活動，實現多次的抽象與推理，最終實現有效建模，從而扎實有效地豐富數學活動經驗、滲透數學基本思想，生成優質高效的數學課堂。

責任編輯：趙關榮