尼克松的“算24”趣題

美國(guó)總統(tǒng)尼克松在上世紀(jì)七十年代初訪問(wèn)我國(guó)時(shí)，曾到北京景山實(shí)驗(yàn)小學(xué)參觀考察。據(jù)說(shuō)當(dāng)他了解到當(dāng)時(shí)的小朋友都喜歡玩“用撲克牌算24”這個(gè)游戲后，就在五年級(jí)某個(gè)班出了一道題：“如果四張牌是三張5和一張1，請(qǐng)問(wèn)能否算出24？（思考演算的時(shí)間不超過(guò)10分鐘）”一時(shí)間，陪同的工作人員和老師也饒有興致地研究起這個(gè)貌似簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)。大人們經(jīng)過(guò)思考后，一致認(rèn)為這是個(gè)不可能解決的問(wèn)題，但有個(gè)小女孩只用了不到2分鐘，就列出了一個(gè)別出心裁的正確算式。尼克松總統(tǒng)大為驚訝，并由衷感嘆：“中國(guó)的孩子真是太聰明了，不可小視呀！”

想知道結(jié)果么？不急，我們先來(lái)了解一下“算24”這個(gè)游戲的規(guī)則：從去除大、小王的52張撲克牌中任抽四張，將牌面上的四個(gè)數(shù)（A相當(dāng)于I、J、Q、K分別相當(dāng)于11、12、13）通過(guò)四則運(yùn)算湊成24。現(xiàn)在的問(wèn)題是：為什么要用四張牌算出24呢？算24有沒(méi)有規(guī)律性的竅門？下面我們用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)分析一二。

首先必須明確四張牌代表的是1～13之間的自然數(shù)，可運(yùn)用求加、求減、求乘、求除來(lái)運(yùn)算，每個(gè)數(shù)只能使用一次，運(yùn)算時(shí)可根據(jù)需要添加括號(hào)。同一種情況有時(shí)可用幾種方法計(jì)算出24，例如四張牌為8、4、6、2，就有[（8÷4）+2]×6，8÷4×2×6，4×8-（6+2）等幾種方法。

其次來(lái)分析為什么是用四張牌“算24”，這需要對(duì)24這個(gè)數(shù)進(jìn)行分析。不難看出24=1×24=2×12=3×8=4×6，其中每一種基本形式又可以變化出多種用4個(gè)數(shù)（即四張牌數(shù)）表示的算式。例如2×12可分化成（3-1）×6×2，（3-1）×4×3，（3-1）×12×1，（4-2）×（5+7），（4÷2）×（6+6），（5-3）×（4+8），（1+1）×（3+9）等等。同樣，另外三種基本形式也可分化成若干4數(shù)運(yùn)算式。這些4數(shù)運(yùn)算式包含了1～13（A～K）的所有自然數(shù)，由此可見(jiàn)，用四張牌算出結(jié)果為24的可能性極大。而23=1×23只有一種基本形式，25=5×5=1×25也只有兩種基本形式，顯然分化成的4數(shù)運(yùn)算式較少，換句話說(shuō)，用四張牌算23或25的成功機(jī)會(huì)將大大減少，它們都不如用四張牌算24來(lái)得恰當(dāng)有趣。

接著我們?cè)賮?lái)研究一下“算24”的竅門。第一個(gè)訣竅是：并不是任意四張不同的牌都能算得24。比如8、9、10、11或1、2、3、1或5、1、1、2等，而且，四張牌的和小于9就肯定不能算出24。第二個(gè)訣竅是：四張牌相同的情況下，只有四張3、四張4、四張5、四張6，四張Q可以算出24（大家可以驗(yàn)證）。第三個(gè)訣竅是：存在肯定成功的特殊情形。比如Q（12）與三張相同的牌，就一定能算出24，因?yàn)?2×（a+a）÷a=24。對(duì)于這些特殊情形只要做強(qiáng)化記憶，就能在游戲中占得先機(jī)。類似的，我們還必須在總體上掌握一些公式化的模式，以增加勝算。

模式1：統(tǒng)籌算乘（組合因數(shù)）。比如2、5、7、8，先固定8，余下的湊成3即可，即2×5-7=3；又如1、2、4、5，分別用5-1湊成4、用4+2湊成6，問(wèn)題解決。

模式2：統(tǒng)籌算和。比如1、2、10、11，四個(gè)數(shù)相加之和正好是24；再比如4、5、7、9，先固定9，再把4、5、7湊成15，即（7-4）×5=15，問(wèn)題解決。

模式3：統(tǒng)籌算減。比如4、9、9、10，四個(gè)數(shù)的和是32，超過(guò)24，可考慮9+9+10-4=24；再比如2、5、6、8，可用5×6-（8-2）=24來(lái)解決。

模式4：統(tǒng)籌算除。比如2、3、7、10，可用（7×10+2）÷3=24解決。

在具體運(yùn)算中，以上幾個(gè)模式具有兼容性。比如模式4中的2、3、7、10，也可以用模式2的方法解決，即2×10+（7-3）=24。即便如此，在實(shí)際游戲中，有許多種情形仍讓人費(fèi)解，往往由于時(shí)間所限而被放棄。比如4、4、10、10，只要變換解題思路，就能得到（10×10-4）÷4=96÷4=24。而一些在小數(shù)或分?jǐn)?shù)范圍內(nèi)算24的情形，則更多被誤判為無(wú)解。比如2、4、10、10，可以用（4÷10+2）×10來(lái)解決；再比如2、7、7、10，可用（2+10÷7）×7來(lái)完成，這顯然需要拓寬思路和創(chuàng)新思維。

現(xiàn)在我們回過(guò)頭來(lái)再看尼克松總統(tǒng)出的那道題，那個(gè)小女孩給出的解答是（5-1÷5）×5。怎么樣？是不是挺巧妙的？