制造認知矛盾 激發學習內需

片段一：認識中位數

師：前不久，學校教師進行了1分鐘跳繩比賽，這是六年級語文組7位老師的成績：

師：第一名跳了多少個？最后一名呢？他倆各自的成績能代表語文組的整體水平嗎？

生：王老師一分鐘跳了135下，代表了最高水平，不能代表整體水平。

生：李老師一分鐘跳了111下，代表了最低水平，也不能反映語文組的整體水平。

追問：如果想了解本次比賽六年級語文組的整體水平，怎么辦？

生：算出平均數。

師：通常我們可以用平均數來表示一組數據的整體水平，接下來看看數學教師在本次比賽中的表現。

出示六年級數學組7位教師的平均成績：跳了130下。

師：從統計表中我們知道楊老師跳了124下。猜一猜，楊老師跳繩的成績在數學組中可能排在第幾名？

生：可能是最后1名。

生：也有可能是倒數第2名，楊老師的成績低于平均數。

師：大家猜的都有一定道理，可實際情況如何？讓我們來看看幾位老師的成績：

師：怎么會這樣呢？有沒有搞錯哦！但事實就是這樣。有誰知道這還沒揭曉的第一名的成績會是怎樣的？

生：第1名的成績肯定遠遠超過了平均數。

出示第1名成績：董老師跳了198下。

師：（師生用計算器當場驗證平均數）與預測大相徑庭，為什么？

生：董老師太厲害了！一下子跳了198下，拉高了平均成績！

師：是啊，在一組數據中，如果某一個或幾個數據比一般數據大得多或小得多，我們就稱這樣的數據為“極端數據”（板書：極端數據），在這里198就是極端數據。想想看，極端數據的出現對平均數產生了什么影響？

生：拉高了平均數。

師：平均數被極端數據拉高了，使高于平均數的數據只有1個，低于平均數的倒有6個，用平均數來代表數學組跳繩的整體水平，肯定不合適。你認為用哪一個數來表示數學組跳繩的水平比較合適？為什么？

生：120，因為大于120的有3個，小于120的也有3個，都是3個。

生：在這組數中，絕大多數的數據接近120，所以我也認為是120。

師：像這樣將一組數據按從大到小或者從小到大排序以后，排在中間位置的數在數學上有一個名稱叫中位數（板書課題：中位數）。這組數據的中位數就是120。

師：與中位數比，楊老師的成績怎么樣？

生：楊老師的成績高于中位數。

師：中位數120有沒有受到極端數據198的影響？

生：中位數不受極端數據的影響。在這兒，它比平均數更能代表這組數據的整體水平！

師：說得真棒！這就是中位數的特點。

師：剛才我們找到用中位數來代表數學組的跳繩水平，語文組跳繩成績的中位數能找到嗎？它能否代表語文組的整體水平呢？……

賞析：教者在本環節的開始選取了身邊鮮活的生活事例，創設1分鐘跳繩成績作為問題情境，利用學生已有知識經驗求平均數，要求學生解決代表語文組整體水平這一問題。緊接著，出示數學組7位老師的平均數130，猜猜楊老師124的名次排列。學生“理所當然”利用平均數130與124的關系，推斷楊老師的成績是后幾名了，與實際情況大相徑庭，學生原有認知產生了矛盾，引發了認知沖突。激發了探求造成偏差的原因和學習新知的自身需要。教者因勢利導地推出了不受極端數據影響，能代表整體數據的“中位數”，使學生認識了中位數，同時，初步了解了中位數的意義、特點和作用，這一環節的教學收到了較好的效果。

片段二：尋求中位數

師：剛才我們一起認識了中位數，如果給你一組數據，你能很快找出它們的中位數嗎？準備，找到了就大聲說出來。

（1）10 25 30 36 80 （齊答30）

（2）32 22 19 15 14 13 12 （齊答15）

師：接下來我們分男、女生兩大組開展找中位數的比賽，男、女生各2題，女生先來。

42 27 20 19 13 11 9 （齊答19）

85 57 50 49 43 41 39 （齊答49）

師：女同學表現很好，男同學一定有信心超過她們！

35 38 40 42 45 46 99 （齊答42）

6 10 20 16 3 （齊答20）

（男生回答后似乎發現錯了，七嘴八舌地糾錯。）

師：你們對男同學剛才的表現有什么評價？

女生：男生表現得不好，不如我們女生！

男生：老師，不公平！你忽悠我們，你給女生的數據都已經排序了，很容易找，而給我們男生的數據沒排序，不容易找。

師：從這里，我們可以知道，要找到一組數的中位數，首先應該對這組數據怎么樣？

齊：排序。（板書：排序）

師：剛才男同學輸得不服氣，接下來的數據都是經過排序后的數據，這次我們一題一題輪著來，還是女生先開始。

207 175 169 163 158 （女：69）

5 1.8 1.3 1.1 0.8 （男：1.3）

11 18 22 25 49 （女：22）

12 14 18 25

男生遲疑停頓思考片刻，男齊：16。

師：前幾題對答如流，這道題為什么要遲疑呢？再說了，題中并沒有16呀？

生：前幾題數據的個數都是奇數個，排序后中間這個數肯定是中位數，這道題數據的個數是偶數個，缺少中間的數據。

生：所以，我們要把最中間的兩個數14和18加起來，平均一下，求出中間數。

師：原來最后一組的數據和前面數據不一樣，思考一下，究竟怎樣求出一組數據的中位數呢？

生：先排序，再看數據的個數。如果是奇數個，最中間的數就是中位數；如果是偶數個，中間兩數的平均數就是中位數。（板書：先排序。奇數：最中間的數；偶數：中間兩個數的平均數。）

師：接下來，我們來找找下列數據的中位數……

賞析：在探究中位數的求法這個環節中，教者創設了男、女生搶答比賽這個熱鬧情境。在第一輪比賽中，男生受原有思維定勢影響，發生了認知偏差，并進行了糾正：要求一組數據的中位數，必須首先排序。同時在輸得不服氣的心理下，激發了要繼續比賽的熱情，即激發了進一步探究的學習內需。隨著第二輪比賽最后一題的出現，又發展了認知，找到了求中位數的正確方法，即數據奇數個是最中間的數，數據偶數個是中間兩個數的平均數。這里抓住了學生好勝心強的特點，同時也利用了學生認知上易受思維定勢影響的特點，激發學生探究的熱情和學習需求。

片段三：活用中位數

師：大剛是個電焊工，想去應聘一份工作，現在有兩家企業，這兩家企業的工作環境和工作量都差不多，到底選擇哪一家企業呢？同學們，你們覺得還要考慮哪些因素？

生：工資待遇。

師：同學們考慮得真周到。讓我們一起來看看這兩家企業的招工廣告上怎么說的：甲企業：電焊車間月人均收入是2750元；乙企業：電焊車間月人均收入是3000元。

師：你認為大剛應該選擇哪家企業？

大部分學生：乙企業。

生：不一定是乙企業。（頓時，同學們面面相覷，議論紛紛。）有些廣告可能有虛假的成分，如果有個別極端數據的工資，就會拉高平均工資。

師：他說得似乎也在理。于是，大剛通過深入了解，獲得了下列信息：

甲企業電焊車間月人均收入統計表

乙企業電焊車間月人均收入統計表

師：看到這組信息你有話要說嗎？

生1：我被廣告上的平均工資忽悠了，乙企業平均數高是因為有兩個總管的工資特高，是極端數據拉高了平均工資。

生2：我認為大剛應該選擇甲企業。

師：同意他的說法請舉手。

幾乎全班都舉手了，可是又有一位同學“不請自到”地說話了。

生：我認為，如果大剛就滿足當一般員工，理所當然選甲企業；如果他想以后晉升總管，乙企業還是不錯的選擇。

這時，教室里又議論開了。

賞析：學習數學是為生活服務的，所以把生活與教學結合起來，更能激發學生的學習需求。本環節通過一組選擇練習，要求學生根據數據特點，正確選統計量，請你參謀這個環節，可謂一波三折，認知在矛盾中不斷發展，不斷提升。從單純的平均工資看，大家同意大剛選乙企業，當一位學生質疑時，學生又急切弄清“不一定是乙企業工資高”的原因，學生的學習熱情又一次高漲起來，當甲乙兩企業工資清單出現后，學生感覺被忽悠了，同時，也看清了乙企業用平均工資3000做廣告有“虛假”成分；當又有人提出“想以后晉升總管，去乙企業還是不錯的選擇”時，教室里又議論開了。至此，討論的意義遠遠超過原本目的，已站在人的發展高度，涉及人生的價值和社會意義，這對學生的認知有了更高地提升。

◇責任編輯：谷曉華◇