巧用極端思想 妙解數學題

摘 要：本文通過一些例子和一些高考題，從數量的極端化、元素的特殊位置、圖形的特殊情況等方面來探討極端思想在解題中的一些用法，以此來擴展同學們的解題思路，培養同學們的創新思維。

關鍵詞：極端化；解題；創新；高考題

中圖分類號：G427 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2013）06-090-1

極端化解題從極端情況入手，既能很好地找到解題的突破口，進而簡化解題，提高解題速度，又能培養了學生的創新能力。

一、數量的極端化

我們在求某些范圍、近似值時，若從正面直接求解會比較困難，但從它的變化趨勢、發展規律的極端情況來解決，則容易得多。

例1.（2002年高考題）設θ∈（0，π4），則二次曲線x2cotθ-y2tanθ=1的離心率的取值范圍為（ ）。

A. （0，12） B. （12，22） C. （22，2） D. （2，+∞）

分析：由θ→π4，知cotθ→1>0，tanθ→1>0，故二次曲線是雙曲線，即e>1，選擇項中滿足的只有D。故選D。

評注：本題若從離心率的定義直接求解的話，運算量大，取極端情況估計，不必精確求出離心率。

二、元素位置的極端化

在立體幾何中，有一些點或直線是運動變化的并且趨向于某特殊位置，而所求的對象（如數值、角度等）也趨向于一個定值，對于這些問題我們可以走極端，能起到簡化的目的。

例2.（2003年高考題）已知長方體的4個頂點A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一個質點從AB的中點P0沿與AB夾角為θ的方向到BC上的點P1后依次反射到CD，DA和AB上的點是P2，P3和P4（入射角等于反射角）。設P4的坐標為（x4，0），若1

A. （13，1） B. （13，23）

C. （25，12） D. （25，23）

分析：我們可以利用幾何關系通過極端位置找出tanθ的取值范圍，根據極端的觀點令x4→1，不妨令P4與P0重合，依據入射角等于反射角，P1，P2，P3即知均為各邊中點，此時tanθ=12，而四個選項中僅有選項C與此數據有聯系，故選C。

評注：此題考查了學生處理代數與幾何問題的能力，解答時取極端位置將猜想與估算結合，培養了學生的思維能力，優化了解題過程。

三、圖形的極端化

將一些圖形極端化處理能提高我們對圖形的認識和想象力，為很快找到解題突破口打下基礎。

例3.（2005年高考題）△ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，OH=m（OA+OB+OC），則實數m= .

分析：考查極端，△ABC為直角三角形，則點O是斜邊的中點，H點為直角頂點，這時有OH=OA+OB+OC，則m=1.

評注：對于一般的三角形，本題難于下手，設三角形為特殊的直角三角形，則很快就找到解題方法。

四、狀態極端化

通過分解有關對象在運動過程中的極端狀態，進而尋求合理的解決問題的途徑。

例4.（1994年全國高中數學聯賽題）在正n棱錐中，相鄰兩側面所成的二面角的取值范圍是（ ）

A. （n-2nπ，π） B. （n-1nπ，π）

C. （0，π2） D. （n-2nπ，n-1nπ）

分析：圖中底面正n邊形固定，而棱錐的高在變化，故可將頂點S看作是運動的，設相鄰兩側面所成的二面角為θ。當S向下運動無限接近底面正邊形的中心的極端位置，θ趨于π；當S向上運動趨于無窮遠時，側棱將無限趨于與底面垂直，即正n棱錐趨于正n棱柱，此時θ無限趨于底面n正邊形的內角θ=n-2nπ，故選A。

評注：由于底面在變，二面角也在變，好多同學拿到手后無從下手，但采用極端狀態后，則簡單，易行，其計算量也大大減少。

五、問題極端化

對于具有一般性的數學問題，如在解答過程中感到“進”有困難或無路可“進”時，不妨從一般性的問題退到極端性的問題上來，往往能獲得解題的重要信息，達到簡縮思維過程、降低難度的目的。

例5.（1999年高考題）若（2x+3）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，則（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2的值為（ ）

A. 1 B. -1 C. 0 D. 2

分析：本題若是用二項式定理求出a0，a1，a2，a3，a4，在代入求值，那將是很煩，但注意到已知等式中的字母x具有一般性，欲求式可寫成（a0+a2+a4+a1+a3）（a0-a1+a2-a3+a4），我們從極端分析，令x=1得a0+a1+a2+a3+a4=（2+3）4，①

令x=-1，a0-a1+a2-a3+a4=（2-3）4②，①×②即得欲求得值為1，故選A。

極端原理在我們得解題中應用的比較廣泛。對于一些問題，只要我們在解題時開動腦筋、發揮想象，將它們極端化，那么問題便很快會得到解決。