季度降水分布函數(shù)的對比分析——以宜賓市為例

張 靜, 倪長健, 袁淑杰

(成都信息工程學(xué)院高原大氣與環(huán)境四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,四川成都610225)

降水是地面觀測中最基本的氣象要素之一,也是決定某地天氣氣候特征的關(guān)鍵因子[1]。它不僅直接影響土壤水分平衡,也間接影響太陽輻射、氣溫、濕度等天氣變量。對降水量及其分布規(guī)律的研究不僅有重要的氣候?qū)W意義,而且對農(nóng)業(yè)生產(chǎn)以及水資源的合理調(diào)度都具有一定的指導(dǎo)意義。近年來,科學(xué)工作者開展了大量的相關(guān)研究工作。胡文東[2]指出寧夏大多數(shù)氣象站的年降水量服從正態(tài)分布,而季度降水量及月降水量服從正態(tài)分布的氣象站相對較少。吳慧[3]指出海南省各站春、夏、秋季降水基本符合正態(tài)分布,冬季僅北部和東部地區(qū)符合正態(tài)分布,月降水量的正態(tài)性也隨季節(jié)而變化,且具有局地性。李偉光等[4]對?？诓煌瑫r(shí)間尺度降水量進(jìn)行了分布擬合,指出Γ分布函數(shù)對?？诓煌瑫r(shí)間尺度降水量均有較好擬合效果。在氣象變量中,干旱地區(qū)的年、季、月降水量,各種時(shí)段的最大降水量,最大風(fēng)速和極大風(fēng)速比較接近皮爾遜-Ⅲ(P-Ⅲ)分布[5]。以上研究表明,在不同地區(qū)及不同的時(shí)間尺度下,降水量服從不同的概率分布函數(shù)。

利用1960～2010年宜賓地區(qū)日降水量資料,基于正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布、伽馬分布及皮爾遜-Ⅲ分布函數(shù)進(jìn)行宜賓季度降水量擬合分布研究。在此基礎(chǔ)上,基于離差最小平方和準(zhǔn)則探討各季降水量的最優(yōu)分布函數(shù),以期為農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、水資源管理與應(yīng)用以及防災(zāi)、減災(zāi)提供一定的科學(xué)依據(jù)。

1 分布函數(shù)及參數(shù)估計(jì)方法

大多數(shù)診斷方法和預(yù)測模型都是建立在假設(shè)氣候變量是正態(tài)分布的前提下進(jìn)行的,但氣候變量并不都符合正態(tài)分布,從這個(gè)意義上講,對于氣候變量分布函數(shù)的研究還有助于提高氣候診斷預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確性。在前人研究成果的基礎(chǔ)上,文中選擇正態(tài)分布函數(shù)、對數(shù)正態(tài)分布函數(shù)、伽馬函數(shù)及皮爾遜-Ⅲ分布函數(shù)進(jìn)行宜賓市各季度降水量分布擬合研究。

1.1 分布函數(shù)的選擇

正態(tài)分布作為最常見且應(yīng)用最廣泛的隨機(jī)變量的分布,在隨機(jī)變量的分布中居于中心地位[6],其概率密度函數(shù)為:

式中,μ、σ分別為正態(tài)分布變量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

兩參數(shù)對數(shù)正態(tài)分布是常見的一種用來描述正態(tài)分布的有偏數(shù)據(jù)的分布,被廣泛地應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)、醫(yī)學(xué)、生物和材料等研究領(lǐng)域。對于 x＞0,其概率密度函數(shù)為:

式中,μ、σ分別為變量對數(shù)值的平均值與標(biāo)準(zhǔn)差。

伽馬分布模式是統(tǒng)計(jì)學(xué)基本模式之一,伽馬分布有較強(qiáng)的適應(yīng)性,可以擬合許多正偏的觀測資料,因此在統(tǒng)計(jì)氣候?qū)W,環(huán)境污染,人工控制天氣等方面被廣泛應(yīng)用。其概率密度函數(shù)為:

其中,α為伽馬分布的形狀參數(shù),α＞0;β為伽馬分布的尺度參數(shù),β＞0。

P-Ⅲ型分布常用于擬合水文變量分布,其概率密度函數(shù)為

式中,Γ(α)為 α的伽馬函數(shù);α、β、a0分別是P-III型分布函數(shù)的形狀、尺度和位置參數(shù),α＞0,β＞0。

1.2 各分布參數(shù)估計(jì)方法

極大似然估計(jì)方法是參數(shù)估計(jì)中最重要、應(yīng)用最廣泛的方法之一,選取使似然函數(shù)達(dá)到最大的數(shù)值作為參數(shù)的估計(jì)值。正態(tài)分布函數(shù)、對數(shù)正態(tài)分布函數(shù)及伽馬分布分別采用極大似然法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)[4,7-8]。由前人的研究成果表明,概率權(quán)重法用于P-Ⅲ分布的參數(shù)估計(jì)時(shí),其穩(wěn)定性優(yōu)于其他方法,因此,文中亦選用此方法進(jìn)行P-Ⅲ分布的參數(shù)估計(jì)[9]。

1.3 擬合檢驗(yàn)方法

對于氣候要素概率分布擬合試驗(yàn),可選用任何理論分布函數(shù),但只有通過擬合檢驗(yàn)的分布函數(shù),最終才能用于該氣候要素分布的擬合。常用于擬合檢驗(yàn)的方法有 χ2檢驗(yàn)和Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)。文中選用K-S檢驗(yàn)[10]進(jìn)行分布函數(shù)的擬合。對通過擬合檢驗(yàn)的分布函數(shù),基于離差最小平方和準(zhǔn)則(OLS)[11],優(yōu)選出擬合各季度降水最優(yōu)的分布函數(shù)。

2 應(yīng)用實(shí)例

利用1960～2010年季降水量資料,分別應(yīng)用正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布、伽馬分布及P-III型分布函數(shù)進(jìn)行宜賓各季降水分布擬合研究。首先,根據(jù)參數(shù)估計(jì)法求得的參數(shù)構(gòu)建出各季度降水量的分布模型。

通過得到的分布模型及實(shí)測降水概率曲線,得到宜賓市各個(gè)季度分布函數(shù)擬合圖如圖1～4所示。從圖中可以看出,不同分布函數(shù)對降水量的擬合效果不同。其中,P-III型分布函數(shù)的擬合效果相對較好,其理論頻數(shù)與實(shí)測頻數(shù)的吻合程度相當(dāng)高。相比而言,其余3種分布曲線與實(shí)測曲線的吻合度相對較低,但和實(shí)測曲線的走勢基本一致。就同一分布函數(shù)而言,其對不同季節(jié)降水量的擬合效果也存在差異。如P-Ⅲ分布和Г分布對秋季降水量的實(shí)測頻數(shù)曲線吻合度較高,而其他季節(jié)吻合度相對較低,擬合效果相對較差;而對數(shù)正態(tài)分布則與春季和冬季降水量的實(shí)測頻數(shù)曲線較為吻合,說明這兩個(gè)季節(jié)的擬合效果相對較好;正態(tài)分布則對春季及秋季降水量的擬合效果較差。除此之外,各分布對不同季節(jié)下不同降水量級的擬合程度也存在差異。春季,正態(tài)分布對降水量為80～120mm及200～360mm降水量級的頻數(shù)曲線擬合較差,而對120～200mm降水量的頻數(shù)曲線擬合較好;夏季,Г分布及對數(shù)正態(tài)分布與420～600mm降水量級下的實(shí)測頻數(shù)曲線吻合較差;秋季,4種分布函數(shù)對降水量級為200～400mm的實(shí)測頻率曲線相對擬合較差;冬季,Г分布和對數(shù)正態(tài)分布對降水區(qū)間在50～70mm的實(shí)測頻數(shù)曲線擬合較差。

圖1 春季各分布函數(shù)的擬合圖對比

圖2 夏季各分布函數(shù)的擬合圖對比

圖3 秋季各分布函數(shù)的擬合圖對比

圖4 冬季各分布函數(shù)的擬合圖對比

2.1 擬合檢驗(yàn)

從圖1～圖4可知,正態(tài)分布、伽馬分布、對數(shù)正態(tài)分布及P-Ⅲ分布函數(shù)對宜賓市季度降水量的實(shí)測曲線基本吻合。但若要將上述分布用于宜賓市季度降水量的擬合中,則還需對分布函數(shù)進(jìn)行擬合檢驗(yàn)。對于K-S檢驗(yàn),當(dāng)其統(tǒng)計(jì)量Dn小于臨界值Dαn時(shí),則表示通過檢驗(yàn)。文中選取置信水平 α=0.05,當(dāng)統(tǒng)計(jì)樣本數(shù) n=51時(shí),查表得臨界值Dαn=0.18659,若實(shí)際降水資料擬合概率分布的Dn＜Dαn,則說明擬合概率分布模型通過95%的置信度檢驗(yàn)。根據(jù)各季度降水資料及各分布函數(shù)模型,計(jì)算出的K-S檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量如表1所示。從表1可知,對于4種概率分布函數(shù),均存在Dn＜Dαn。說明4種理論分布均通過檢驗(yàn),即宜賓市季度降水量均可用正態(tài)分布、伽馬分布、對數(shù)正態(tài)分布和P-Ⅲ分布函數(shù)進(jìn)行擬合。雖然各分布都通過擬合檢驗(yàn),但由于其K-S值不一樣,各分布的檢驗(yàn)效果也存在一定的差異。如夏季對數(shù)正態(tài)分布函數(shù)、秋季的正態(tài)分布函數(shù)和Г分布、冬季的對數(shù)正態(tài)分布函數(shù)的Dn＞0.1,相對而言,上述幾種情況的分布函數(shù)對實(shí)測曲線的擬合效果更差。

表1 各季4種分布的K-S檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果

2.2 對比分析

從擬合圖及K-S的檢驗(yàn)結(jié)果可知,各分布函數(shù)均可用于宜賓市各季降水量的擬合,同時(shí),擬合效果也存在一定的差異。春季,除正態(tài)分布外,其余3種分布函數(shù)對實(shí)測曲線的擬合效果都較好;夏季,P-Ⅲ分布及正態(tài)分布的擬合效果相對較好;秋季,P-Ⅲ分布及對數(shù)正態(tài)分布的擬合效果相對較好;而冬季,P-Ⅲ分布、伽馬分布和正態(tài)分布擬合效果都較好。針對這些差異,為了進(jìn)一步判定宜賓市各季降水量的最優(yōu)擬合分布函數(shù),通過OLS準(zhǔn)則進(jìn)行宜賓各季降水量擬合的最佳分布函數(shù)分析。當(dāng)OLS值最小,則其對應(yīng)的分布就為擬合效果最佳的分布。

表2 各概率分布函數(shù)OLS方法計(jì)算結(jié)果

從表2看出:春季,伽馬分布的OLS值最小,說明在4種分布中,其能最好的擬合春季降水量分布;夏季,則是正態(tài)分布的理論曲線和實(shí)測分布曲線擬合的效果最好;對數(shù)正態(tài)分布則是對秋季降水量的最優(yōu)擬合分布函數(shù);而冬季則是P-Ⅲ分布函數(shù)的擬合效果最好。

總體而言,從擬合圖、K-S檢驗(yàn)及OLS擬合優(yōu)度檢驗(yàn)結(jié)果中可知,各分布函數(shù)對實(shí)測降水曲線的擬合效果較好,但各分布的擬合效果也存在著一定的差異。同時(shí),從3種擬合結(jié)果中得出的差異都較為一致,如春季,從擬合圖中可知正態(tài)分布的擬合效果最差,而其K-S檢驗(yàn)結(jié)果也是最差的,同時(shí),其OLS值最大,也說明該分布的擬合效果最差。

3 結(jié)論

根據(jù)四川省宜賓市的季度降水量資料,利用極大似然估計(jì)等參數(shù)估計(jì)方法,分別采用正態(tài)分布、伽馬分布、對數(shù)正態(tài)分布和P-Ⅲ分布進(jìn)行宜賓季度降水量最優(yōu)擬合分布研究,得到以下主要結(jié)論:

(1)正態(tài)分布、伽馬分布、對數(shù)正態(tài)分布及P-Ⅲ分布均可擬合宜賓市的各季降水量分布。

(2)通過對比分析可知,各季度降水量的最優(yōu)擬合分布函數(shù)不同。伽馬分布、正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布及P-Ⅲ分布分別為宜賓市春、夏、秋、冬各季降水量的最優(yōu)擬合分布函數(shù)。這一結(jié)果與一般情況下認(rèn)為P-Ⅲ分布為降水量擬合效果最優(yōu)分布函數(shù)的結(jié)論不太一致。

因此,為了預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確性,對特征變量的最優(yōu)擬合分布函數(shù)的研究很有必要,同時(shí),對不同時(shí)間尺度降水量分布函數(shù)的研究也能進(jìn)一步為農(nóng)業(yè)生產(chǎn)提供一定的指導(dǎo)依據(jù)。

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