修正的Benjamin-Bona-Mahoney方程的精確解

皮金鑫, 周鈺謙, 劉世杰

(成都信息工程學院數學學院,四川成都610225)

0 引言

非線性方程的精確解對于理解非線性模型的物理意義起到很重要的作用,所以求解非線性方程的精確解在非線性問題中越來越重要。最近,對求解非線性方程的精確解提出了許多新的方法:如齊次平衡法[1],Backlund變換方法[2],雙曲正切函數展開法[3],截斷的Painleve展開法[4],Jacobi橢圓函數展開法[5],tanh函數展開方法及其推廣方法[6-9]等。特別是王明亮提出的展開法[10],是一種更為簡潔高效求得非線性方程精確解的方法。

研究的修正的Benjamin-Bona-Mahoney(BBM)方程[11]

其中參數α為非零的實數。該方程是許多不同物理系統中出現的弱非線性色散介質中長波單向傳播的一個重要模型方程[12]。

1 預備知識

考慮非線性發展方程

其中,x,t為自變量,F為u及u的各階偏導數的多項式。為了得到方程(2)的行波解,考慮一般的行波變換u(x,t)=U(ξ),ξ=x+ct,則方程可化為

設方程(3)的解具有以下形式

其中,G(ξ)滿足二階常微分方程

由方程(5)易得,當 G′(ξ)≠0時,

首先,對方程(1)作行波變換

令 u(x,t)=U(ξ),則方程(1)可化作

平衡方程(7)中的最高倒數項U?和非線性項U2U′,得到平衡系數n=1,由方程(4),則取

將解(8)帶入方程(7)中,得到方程(7)中的各項為

利用Maple軟件求解方程(11)～(15),得到關于 a0,a1,c,λ,μ的一組解:

為了更好的理解 λ2-4μ＞0時得到的這組孤子解,考慮到相關條件a1≠0,不妨取a1=1,α=,則作出解的數值模擬圖如圖1所示。

(ⅱ)當 λ2-4μ=時,

與(1)一樣,用同樣的方法對此解作數值模擬圖。取a1=1,α=1,λ=1,C1=1,C2=1,則,作出解的數值模擬圖如圖2所示。

圖1 λ2-4μ＞0

圖2 λ2-4μ＜0

圖3 λ2-4μ＜0

3 結束語

[1] Wang M L.Solitary wave solutions for variant Boussinesq equation[J].Physics Letter A,1995,199:169-172.

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[6] 劉式適,付遵濤,劉式達.變系數非線性方程的Jacobi橢圓函數展開解[J].物理學報,2002,51:1923[7]Parkes E J,Duffy B R.An automated tanh-function method for finding solitary wave solutions to non-linearevolution equations[J].Computer Physics Communication,1996,98:288-300.

[8] 王明亮,李志斌,周宇斌.齊次平衡原則及其應用[J].蘭州大學學報,1999,98:8-16.

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