非擴張映射族和單調映射迭代算法的收斂性

史滄紅, 吳定平

(成都信息工程學院數學學院,四川成都610225)

0 引言

設H是實Hilbert空間,C是H的非空閉凸子集,映射 T:C→C,用記映射的不動點集合,如果滿足:

則稱為非擴張映射。

設H是一Hilbert空間,且 C是H的非空閉凸子集,且設 A:C→H是一映射,經典的變分不等式定義為IV(A,C),即找到 x*∈C使得:

變分不等式IV(A,C),的解集定義為Ω。A:C→H稱為α-逆-強單調映射[1-2]如果存在正實數α使得:

Yonghong Yao,Jen-Chih Yao[3]引入了一種迭代算法,通過這種迭代找到了實Hilbert空間一個非擴張映射不動點集和α-逆-強單調映射變分不等式解集的一公共元,從而建立了強收斂定理。

Tomoo Shimizu,Wataru Takahashi[4]引入了Hilbert空間中非擴張映射族的一種迭代算法,證明了這個迭代強收斂于非擴張映射族的公共不動點;首先,他們考慮了有限交換非擴張映射族的迭代算法,并且證明了這個迭代強收斂到這族映射的公共不動點;進而,他們考慮到了非擴張映射半群的迭代算法,并且這個迭代序列強收斂于非擴張映射半群的一公共不動點。

文中,基于文 Yonghong Yao,Jen-Chih Yao和Tomoo Shimizu,Wataru Takahashi,提出兩種新的迭代算法(7),(17),證明了其強收斂性,改進和推廣了文獻[3-10]等人的相應結果。

1 預備知識

設H是一實Hilbert空間,且 C是H的一非空閉凸子集,對每 x∈H,在C中存在唯一的最近點,定義為PCx,滿足:

PC:H→C稱為度量投射。易見

(1)PC:H→C是非擴張映射且滿足:

(2)對每個 x,y∈H,PCx∈C有下面的性質:

(3)對?x∈H,y∈C,?u∈C,滿足:

引理1[11]設E是一內積空間,那么對所有的 x,y,z∈E和有:

‖α x+βy+γ z‖=α‖x‖2+β ‖y‖2+γ‖z‖2-α β ‖x-y‖2-α γ‖x-z‖2-βγ‖y-z‖2.

引理2[12]設是Banach空間中的有界序列，1,假設對所有的且那么limn→∞‖yn-xn‖=0。

引理3[13]設是一非負實數序列滿足:

那么limn→∞an=0。

2 主要結論

定理1 設C是實Hilbert空間H的閉凸子集,設 A:C→H是一α-逆-強單調映射,設S,T:C→C是兩個非擴張映射滿足ST=TS且F非空,假設由下列迭代給出:

(ⅰ)αn+βn+γn=1,

(ⅱ)limn→∞αn=0,∑∞n=1αn=∞,

(ⅲ)0＜lim infn→∞βn≤lim supn→∞βn＜1,

證明 ?x,y∈C,n≥1,有

因此I-λnA是非擴張映射。設那么

而且

從而

合并式(11)和式(12),有

再從(ⅱ)和(ⅳ),有

因此

因為 αn→0和從式(14),有

從式(3),有

所以

因此

從而

因為 αn→0和且從式(15),有‖xn-yn‖→因為

由式(4),有

因此

從而

由此可見,定理1和定理2的結論改進和推廣了文獻[3-4]等的相應結果。

致謝:感謝成都信息工程學院科研項目(KYTZ201004)對本文的資助

[1] F E Browder,W V Petryshyn.Construction of fixed points of nonlinear mappings in Hilbert space[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1967,20:1977-228.

[2] F Lm,M Z Nashed.Regularization of nonlinear Ill-posed variational inequalities and convergence rates[J].Set-Valued Analysis,1998,6:313-344.

[3] Yonghong Yao,Jen-Chih Yao.On modified iterative method nonexpansive mappings and monotone mappings[J].Applied Mathematics and Computation,2007,186:1551-1558.

[4] Tomoo Shimizu,Wataru Takahashi.Strong Convergence to Common Fixed points of Families of Nonexpansive Mappings[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1997,211:71-83.

[5] Dingping Wu.Weak Convergence of Ishikawa Iteration with Error for Pseudo Contractive Mappings in Hilbert Spaces[J].Journal of Mathematics Research,2011,3(4).

[6] Dingping Wu.Asymptotically kn-strict pseudocontractive mappings in the intermediate sense[J].BCGIN,2011,EI20113814348829.

[7] Dingping Wu.The Split feasibility Problem in Hilbert Space[J].J.Engineering and Technology Research,2011.

[8] Dingping Wu.Strong Convergence Theorems for Lipschitzian Demi-cintraction[J].J.Engineering and Technology Research,2011.

[9] 王佛生,吳定平.一種求和法及其應用[J].成都信息工程學院學報,2011,26(1):57-60.

[10] Dingping Wu.Viscosity Approximation Methods for a Finite Family of Nonexpansive Non-self-mappings[J].J.Engineering and Technology Research,2011.

[11] M O Osilike,D I Igbokwe.Weak and Strong convergence theorems for fixed points of pseudocontractions and solutions of monotone type operator equations[J].Computers and Mathematical with Applications,2000,40:559-567.

[12] T Suzuki.Strong convergence of krasnoselskii and mann's type sequences for one-parameter nonexpansive semigroups without bochner integrals[J].Journal of Mathematical Analysis andApplications,2005,305:227-239.

[13] H K Xu.Viscosity approximation methods for nonexpansive mappings[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2004,298:279-291.