小波分析在地震工程中的應用

鄭永陽

（南昌市城市規劃設計研究總院，江西南昌 330038）

0 引言

在地震工程中經常會碰到非穩態的信號，傳統的傅里葉分析不能在非穩態過程分析中保留時間信息，也不能描述出時域及頻域局部性的譜進化的特征。因為將信號在整個時域中平均化了，所以譜分析不能描述非穩態信號的局部瞬時特征。例如：一個線性系統受到一個單位幅度白噪音作用和一個沖擊作用有著相同譜特征的反映，盡管兩種作用在時域上完全不同。利用傅里葉變換不能同時獲得高分辨率的時域和頻域信息，如果能夠使時間和頻率分辨率可以在時-頻平面上變化從而達到代表這個過程的多分辨率效果，那么這個缺點就得到抑制。相應地，時-頻窗口能夠自動變窄以獲得信號的高頻內容，以及變寬以獲得低頻內容。如果這個分析通過由有相對恒定帶寬的頻通濾波器組成的濾波器組來進行的話，就變成了可能。傅里葉方法是利用有限個正弦函數及余弦函數作為基函數來分解信號，而小波變換是利用一組局部化的正交基函數。在傅里葉變換代表式中，因為將譜信息平均化了，一個持續時間較短而頻率較高的內容將埋沒，而利用小波變換將通過多分辨率分析一個過程的方法保留局部瞬時信號特征，這是利用有限個正弦波基函數無法做到的。

利用小波變換分析數學信號，首先要產生一個母小波函數，然后將信號分解為由該母小波函數經過放大和移動的一組有限長度的基函數組，即在時間或空間上不同尺度和位置的小波。這個過程與傅里葉分析很相似，即母小波相當于正弦波，而在傅里葉分解中基函數為正弦函數變換的不同幅值、相位和頻率的正弦波。

1 小波分析應用

目前研究主要是利用小波進行非穩態數據的分析和模擬，利用小波分析的多尺度分解過程能夠揭露隱藏在原時間歷程中的信息，通過多種技術，利用小波系數得出有用的信號信息。小波系數同樣給出了量表圖。量表圖可以在時間-尺度域中得出信號能量，它有助于定義出隨時間變化的能量流量、譜演變，以及利用時域或頻域方法都不能很好地應用于信號的重建和模擬。通過改變小波系數低于一個特定的閾值可以減少獲得信號的噪音。在這里將提供一些方法來說明在地震工程的中小波分析應用。

小波變換是通過一系列的小波方程代表被分析的信號的好壞的一個過程。用方程代表信號的好壞程度可通過小波系數看出。系數組的結果由兩個獨立的變量聯系在一起，即膨脹系數和變換系數。變換系數代表了時間，而尺度反映了頻率的內容，大的尺度對應低的頻率。

2 小波濾波器組信號分解

離散小波變換是一種方便而有效的監測隨時間變化的動態系統的方法。傅里葉系數不含時間信息，而這些描述局部化的基函數的小波系數能夠反映出時間信息。過濾掉時間系列的倍頻器組及其小波域值和小波系數均能提供對瞬時信號的唯一分解。小波系數在特殊的倍頻程可能同樣被用于監測系統的行為，在小波域中發生的大幅度系數可能被用于識別一些孤立的沖擊事件，例如一個構筑物受到沖擊荷載。

3 功率譜密度計算

通過計算每個倍頻程的小波系數的平方和來得到譜密度。在緊支撐的離散小波轉換中，對于一個在整個頻率范圍內長度為2M的信號的譜的小波計算是由一個長度為M的向量組成的。這個頻率帶的采樣率是以Δt的時間間隔得出的，并且對于第i個層次上來說，譜的計算公式為：

對應于Si的頻率帶Di為：

在兩個過程的同譜計算中，同樣可以用兩個過程的系數積代替小波系數平方和而得到。

在離散小波轉換譜計算中能量非常接近實際信號的能量，但相對快速傅里葉轉換方法，特別是在高頻率范圍內缺少分辨率的適應能力。而當可以將連續小波變換用于更高的分辨率時，這個離散小波的問題將通過使用一個基于原母小波的稍微擴大的原型小波而克服。具體做法是用：2i+p/Pψ·[2i+p/P（n-j2i）]代替2iψ（2in-j），P是倍頻程計算的期望值，而p=0,1...P-1。于是離散小波變換將運行P次，從p為0到P-1.利用這個網格，它比倍頻程網格更稠密，就等同于ai,j系數的超采樣。

另一個選項是對倍頻程帶通數據的標準縮放技術的應用，高通濾過程被循序地轉換成低頻率，而進一步的離散小波變換可以在這些縮放的數據上基于較低的倍頻程分辨出更多的細節。這個方法類似于另一種被稱作小波包分析的技術。離散小波轉換是由一系列高通濾和低通濾組成的，在這個系列中每一個低通濾是由前一次的濾波得到的，而高通濾得到小波系數。小波包分析漸近地過濾之前的低通濾結果，同時還要過濾利用離散小波轉換遺留下來的高通濾數據，而不是利用高通濾結果去得到系數。通過離散小波轉換得到的倍頻帶數據被小波包進一步分成了子倍頻程。

4 場地振動分析

地震記錄的時間相關頻率內容提供了振動的非穩態譜特征值，即頻率相關的場地振動時間、超過一定閾值的時間、間隔時間、波形持續時間，以及計算信號燈的能量。研究者利用一種多重過濾的方法來對非穩態的場地振動記錄進行時-頻分析，就像前面所說的一樣，由于傅里葉變換有固定的時-頻關系，因此它也有缺點。利用小波分析將提高分辨率，因而使得基于小波的方法將成為地震記錄的時-頻分析的一個可選擇工具。通過小波分析可能使得對地震事件更深的理解。因為利用變化的頻率來分析一個較寬領域記錄顯得更為方便。

能夠同時保留時間和頻率信息使得小波分析成為非穩態信號模擬的有用工具。這個可以通過母非穩態信號、目標譜函數和調制器函數來分析每個倍頻程。考慮一個母非穩態信號，例如一個地震記錄，一個信號的全過程可以被模擬，而它的平均值非常類似那些母過程。

5 降噪

信號中小細節在小波轉換中表現為小幅值系數，這些低能量過程可能扭曲真實的信號。如果它們確定是由噪音產生的，可通過在小波域中消除一個幅值以下的系數來實現降噪。然后通過逆小波轉換還原一個“干凈的”或降噪的信號，一個在原始信號中沒有噪音的信號。

對于定性分析，閾值迭代增長將使信號清除到一個想要的水平，但所有的噪音降低方法都有一個同樣的問題，即消除噪音和刪除重要的低能量信息之間所做的權衡不可避免。

6 結論

由于傳統分析工具的限制，量化和模擬非穩態信號的過程顯得難于處理。例如地震記錄中的非穩態過程的分析和模擬通過離散小波轉換和連續小波轉換將它們分解為局部化基函數。隨著許多專業的越來越多的研究者發現他們專業有用的應用，小波轉換越來越廣受歡迎。本文簡要地介紹小波轉換，并給出了在地震分析中應用。

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