旋轉矢量法描述簡諧波

麻志洪 陳亞琳 賈帆豪

(浙江師范大學數理與信息工程學院 浙江 金華 321004)

1 引言

旋轉矢量法[1]是學習簡諧振動過程中較為重要的解題方法，它將簡諧振動的位移、相位、速度、加速度等變量在矢量圖中表示出來.但筆者發現，利用旋轉矢量法處理簡諧波的文章并不多見，而學生在學習簡諧波的過程中，對波的相位、時間性與空間性常感到困惑，故筆者將用旋轉矢量法直觀地描述簡諧波.

2 方法分析

2.1 機械波旋轉矢量法的引出(下文中均以波已傳至所討論的質點為例)

圖1

如圖1為旋轉矢量圖，矢端沿圓周運動的角速度為ω，設矢量與y軸的夾角為

α=ωt-kx+φ

(1)

y=Acos(ωt-kx+φ)

(2)

速度投影為

v=-Aωsin(ωt-kx+φ)

(3)

加速度投影為

a=-Aω2cos(ωt-kx+φ)

(4)

對于簡諧波，設波動方程為

y=Acos(ωt-kx+φ)

(5)

任意選定距波源右方x處的質點，則：

(1)旋轉矢量以逆時針旋轉為正，與y軸正向的夾角等于簡諧波上位于距波源x處的質點在t時刻的相位，隨著時間增長，相位增大，矢端逆時針轉動；隨著x增大，相位減小，矢端順時針轉動.

(2)旋轉矢量的長度等于波的振幅，在y軸上的投影等于波上該質點的位移.

(3)矢端速度沿y軸方向的投影即是該質點的速度.

(4)矢端加速度在y軸上投影的負值即是該質點的加速度.

(5)該質點動能與勢能的比值

對于第5點，由于位于x處的質點做類簡諧振動，以彈簧振子為例做如下推導.

由動能公式知

(6)

因為

(7)

所以有

(8)

所以

(9)

勢能

(10)

所以

(11)

(1)距離波源右方12 m處的質點N在t=3 s時的相位；

(2)質點N在t=3 s時的振動方向以及動能與勢能的比值.

圖2

由此可見，利用旋轉矢量法大大簡化了問題.

2.2 同方向同頻率簡諧波的合成

同一介質中，兩列同方向、同頻率的簡諧波可寫成如下形式

y1=A1cos(ω0t-kx+φ1)

(12)

y2=A2cos(ω0t-kx+φ2)

(13)

則波的合成

y=y1+y2

(14)

式(12)、(13)代入式(14)整理，得

y= [A1cos(-kx+φ1)+

A2cos(-kx+φ2)]cosω0t-

[A1sin(-kx+φ1)+

A2sin(-kx+φ2)]sinω0t

(15)

令

Acos(-kx+φ)=

A1cos(-kx+φ1)+A2cos(-kx+φ2)

Asin(-kx+φ)=

A1sin(-kx+φ1)+A2sin(-kx+φ2)

則

y=Acos(ω0t-kx+φ)

(16)

可見，同方向、同頻率的兩列簡諧波合成后仍為簡諧波，其中

cos(-kx+φ)=

sin(-kx+φ)=

圖3

下振動，此時動能最大，勢能為零.

圖4

該題若用代數法，因相位不同，非常繁瑣，旋轉矢量法則簡單易行，該方法還可以解決波動方程的求解等問題，這里不再繼續討論.

3 結論

利用旋轉矢量法描述簡諧波，充分體現其時間和空間周期性，并通過矢量圖將波上各質點的動能與勢能比直觀地反映出來，大大簡化了有關波動問題的解決.

參考文獻

1 趙凱華,羅蔚茵.力學.北京：高等教育出版社，2005

2 楊慶怡.用旋轉矢量描述簡諧振動.廣西大學學報(自然科學版)，2002(27)(Sup.):145～147

3 倪辛. 旋轉矢量圖與簡諧振動的關系.南京廣播電視大學學報,1999(4)

4 楊慶怡.用旋轉矢量描述波形及振動曲線與波形的轉換.見：第四屆西部二十省(區)市物理學會聯合學術交流會論文集.2008