注意保守力“做功與路徑無關”的“陷阱”

馮海燕

(大慶實驗中學 黑龍江 大慶 163316)

我們知道,保守力做功與路徑無關，只取決于初、末位置.常見的保守力場,如重力場、電場等，在無界場中學生已經運用自如，但是在有界保守力場中，如果還機械套用上述結論，就容易犯錯.在某次考試中出了如下一道題，從學生的答題情況看，結果很不理想.現具體說明.

【例1】如圖1所示，半徑R的環形塑料管豎直放置，AB為該環的水平直徑，且管的內徑遠小于環的半徑.環的AB及其以下部分處于水平向左的勻強電場中，管的內壁光滑.現將一質量為m，帶電荷量為+q的小球從管中A點由靜止釋放，已知qE=mg，求:

(1)小球釋放后，第一次和第二次經過最高點C時對管壁的壓力之比;

(2)小球釋放后，第一次經過最低點D和最高點C時對管壁的壓力之比.

圖1

常見錯誤解析：(1)小球兩次到達同一點C，其電勢能、重力勢能都相同，故動能也相同.所以,小球兩次到達C點時對管壁的壓力也相等，可得比值為1∶1.兩次均有

qE=mg

得

分析可得

對內壁有壓力.

(2)小球第一次到達D點時

qE=mg

得

小球第一次到達C點時

qE=mg

得

正確解析:(1)小球第一次到達最高點C

qE=mg

得

第二次到達最高點C

qE=mg

得

(2)小球第一次到達D點時

qE=mg

得

錯因分析:“保守力做功與路徑無關，只取決于初、末位置”適用于在保守力場區內的運動.如果有跳出場區的過程，則不再適用.在大學的電磁學教材中有如下的敘述，靜電場強沿任一閉合曲線的環路積分為零[1].可見，跳出了電場，便形成不了上述的環路積分.

有些題目，原題答案就犯了上述錯誤，若不及時更正會誤導學生.

【例2】如圖2，在xOy平面上x<0的區域內存在一垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B，OA是過原點的一條直線，與y軸正方向的夾角為θ=60°．在x>0的區域有一與OA平行的勻強電場，場強大小為E．現有一質量為m，電量為q的帶正電的粒子(重力不計)從直線OA上的某處P點由靜止釋放后，經O點進入磁場，經過一段時間后恰能垂直OA到達OA上的Q點(電場方向以及P點、Q點位置在圖中均未畫出)．求：

(1)P點的坐標；

(2)粒子從P點釋放到垂直OA到達Q點所用的時間；

(3)PQ之間的距離.

圖2

原題解析：

(3)由(1)得

設PQ之間的距離為l，在整個運動過程中，只有電場力做功，由動能定理得

解得

答案分析：本題前兩問的答案沒有問題.第(3)問中電場力做功的路徑為PQ和NO，只有QN段與MQ段所做正、負功之和為零，所以，原題答案所求為PQ與NO長度之和，而非PQ的長度.

正確解析：由題得

lNO=lMOcosθ

由(1)中各式可得

故

本題再次犯了對保守力做功與路徑無關的機械教條式的錯誤.上述兩道題可以作為反面教材，讓學生牢牢把握住保守力做功的本質特征.

參考文獻

1 梁燦彬,秦光戎，梁竹健．電磁學．北京：人民教育出版社，1980．42