質心平移定理

王光宇

(上海市松江教師進修學院附屬立達中學 上海 201600)

1 問題提出

如圖1所示，設想某人提起啞鈴處于自然狀態Ⅰ，如圖1(a).而后將啞鈴緩慢抬起處于狀態Ⅱ，如圖1(b).由狀態Ⅰ到狀態Ⅱ，人-啞鈴系統的質心發生了改變，不難想象，系統質心位移應與啞鈴質量和位移有關.那么，假如只是剛體的一部分發生了平移(簡稱“動體”)，而另一部分保持在原來的位置(簡稱“靜體”)，則剛體質心發生了位移，試問剛體質心位移與哪些因素有關？本文借用能量、力矩、動量等方法對其進行理論分析，供讀者在教學中參考.

圖1 人提起啞鈴

2 基本理論

2.1 能量法

圖2

動體平移前后剛體的重力勢能

Ep=Mgh

(1)

(2)

由式(1)、(2)得出剛體重力勢能的變化量

Mg(h′-h)=MgΔh

(3)

由于剛體重力勢能的變化主要由于動體的位置變化引起，所以，剛體重力勢能的變化量應由動體的變化確定

ΔEp=mglcosθ

(4)

由式(3)、(4)得

MgΔh=mglcosθ

即

剛體質心沿OOM方向變化量

(5)

同理，剛體質心沿垂直OOM方向變化量

(6)

2.2 力矩法

圖3

動體平移前、后剛體重力力矩

MG=MglOA

(7)

(8)

由式(7)、(8)得重力力矩變化量

(9)

由于剛體重力力矩的變化由動體位移引起，所以剛體重力力矩的變化量等于動體力矩的變化量

ΔMG=mglcosθ

(10)

由式(9)、(10)得

MgΔh∥=mglcosθ

即剛體質心位移沿OOM方向的變化量

同理，剛體質心沿垂直OOM方向變化量

2.3 動量法

圖4

(M-m)u=m(v-u)

(11)

由式(11)得

經時間t, 動體質心的相對位移為l，固連于剛體上的O點位移

(12)

將lOO′在OOM方向和垂直OOM方向分解，則剛體質心位移沿OOM方向變化量

剛體質心位移沿垂直OOM方向變化量

3 質心平移定理

3.1 質心平移定理

質心平移定理：平面剛體的一部分發生平移時，對于剛體和其移動部分，兩者質心位移方向相同，且位移比等于其質量的反比.

圖5

(13)

(14)

由式(14)得

定理得證.

討論：

(1)當m=M時，可得

即

lOO′=l

所以，當m=M時，相當于剛體發生整體平移，質心位移等于剛體的位移，如同一人站立某處，向前跨一步，仍保持原來的姿勢，質心也隨人體向前平移相同的距離.

(2)當m?M時，可得

即

lOO′=0

所以，當m?M時，平移后，剛體的質心位置幾乎沒有變化，如同一人站立，一根頭發被風吹起，頭發的位移對人體質心位移影響可以被忽略，質心位置不變.

(3) 動體沿OMO平動，即θ=0 或θ=π，可得

3.2 作圖法求剛體質心

由質心平移定理，平移后剛體的質心可通過作圖求得，步驟如下：

(3)在直線OP上求作質心點O′，滿足

4 應用舉例

【例1】如圖6所示，質量均勻分布,長度為L的直桿，繞距離右端l處彎折θ角，求彎折后桿件的質心.

圖6

由質心平移定理得，剛體質心位移與動體質心位移方向一致，位移大小為

質心由O→O′點，O沿OMO方向平移

O沿垂直OMO平移

討論：

圖7

圖8

(3) 彎折部分繞彎折點旋轉一周，質心運動軌跡.

以O點為坐標原點，以OOM為x軸，垂直OOM方向為y軸，建立平面直角坐標系，則質心參數方程

消去參數θ角，可得質心O的軌跡方程

5 結語

質心平移定理給質心位置的確定提供了又一思路，尤其是因部分平移引起的質心位置變動問題.該方法帶來了諸多便捷，通過作圖即可確定變動后的質心位置，教學或是競賽輔導中常見的大多都是規則幾何體變化而來的問題，由于剛體原質心已知，變動后的質心便可方便地確定.

參考文獻

1 程稼福．中學奧林匹克競賽物理教程力學篇．合肥：中國科技大學出版社,2002

2 舒幼生．關于質心的定義．大學物理，1987，25(2):27

3 沈晨．更高更妙的物理．杭州：浙江大學出版社,2010

4 漆安慎,杜嬋英．普通物理學教程 · 力學(第二版)．北京：高等教育出版社,2005