形似質同與形似質異

成樹明

(濱州市濱城區第一中學 山東 濱州 256600)

一題多變通常是由一道母題從題設條件的變換、數據衍變、設問轉化等角度進行變式拓展.一題多變是拓展學生思維，提高學生解題能力的有效方法.拓展后的新題與原題大多本質相同，也有本質不同的，現舉例說明如下．

【母題1】如圖1所示，一個半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O點為其球心，碗的內表面及碗口是光滑的，一質量為m的小滑塊，在水平力F的作用下靜止于P點．設滑塊所受支持力為FN．OP與水平方向的夾角為α．下列關系正確的是

圖1

分析：以小滑塊為研究對象，受重力mg，水平外力F和半球形容器的支持力FN作用，支持力的方向垂直于接觸面，放在半球形碗內的物體所受彈力方向指向球心．本題為典型的三力平衡模型，下面嘗試選擇不同方法加以解答．

方法1：正交分解

沿水平方向和豎直方向建立直角坐標系，如圖2所示.

由題意可得

FNcosα=FFNsinα=mg

聯立解得

本題答案為選項A．

圖2

方法2：拉密原理

由圖2，根據拉密原理，可得

解得

故本題答案為選項A．

圖3

方法3：三力平衡時，兩力之和與第三力等大反向

水平外力F與半球形容器的支持力FN的合力F′大小等于重力mg，方向豎直向上，如圖3所示.

由圖3可得

解得

故本題答案為選項A．

方法4：矢量三角形法

圖4

三力平衡，構建首尾相接的力的矢量三角形，如圖4所示.

由圖4可得

解得

故本題答案為選項A．

本題應用了4種方法解答，處理三力平衡問題方法比較多，也比較靈活，具體問題中可根據題目條件和解答方便選擇恰當的方法作答．

圖5

解析：以質量為m2的小球為研究對象，受重力m2g和繩子的拉力FT，二力平衡，有FT=m2g.以質量為m1的小球為研究對象，除了受重力m1g和碗的支持力FN外，還受到與水平方向成60°角的繩子的拉力FT作用，其受力情況與母題中的小滑塊類似，均為三力平衡，且重力和支持力的方向與母題相同，可用母題中提供的多種方法求解，正確答案為選項A.

【拓展2】在拓展1的基礎上，如圖6所示，當兩球處于平衡狀態時，質量為m1的小球與O點的連線與水平線的夾角為α=90°，質量為m2的小球位于水平地面上，設此時細線的拉力大小為FT，質量為m2的小球對地面的壓力大小為FN，則

C.FN=m2g

D.FN=(m2-m1)g

圖6

解析：拓展1與母題本質相同，均為三力平衡，拓展2雖與拓展1看似變化不大，但本質已發生變化.以質量為m1的小球為研究對象，豎直方向受重力m1g和碗的支持力N作用，考慮到小球處于平衡狀態，這時繩子對其拉力必為零，否則小球不可能平衡，即FT=0.再以質量為m2的小球為研究對象，由于繩子拉力為零，小球所受重力與地面的支持力二力平衡，由牛頓第三定律知，小球對地面的壓力大小為FN=m2g，故本題答案為選項C.本題考查二力平衡，而不是三力平衡.

【母題2】如圖7所示，粗糙的水平地面上有一傾角為θ的斜面體，一質量為m的物塊在豎直向下的恒力F作用下沿斜面勻速下滑．若力F沿逆時針緩慢轉過2θ的過程中，物塊仍沿斜面下滑，斜面體始終保持靜止．試分析地面與斜面體之間的摩擦力.

分析：開始物塊沿斜面勻速下滑，則在沿斜面方向有(mg+F)sinθ=μ(mg+F)cosθ，解得μ=tanθ，此時，斜面對物塊的支持力與滑動摩擦力的合力方向豎直向上，根據牛頓第三定律知，物塊對斜面的壓力和滑動摩擦力的合力方向豎直向下．物塊沿斜面下滑時，因Ff=μFN，只要滿足μ=tanθ，不管壓力多大，物塊對斜面的壓力和滑動摩擦力的合力方向總是豎直向下，所以，地面與斜面體之間無摩擦力．這時的斜面傾角θ通常稱為摩擦角．

圖7

【拓展1】將母題中的初態改為一質量為m的物塊沿斜劈勻速下滑時,末態改為現給物塊施加一個與豎直方向夾角為θ的力F，如圖8所示.物塊仍沿斜面下滑，斜面體始終保持靜止．試分析地面與斜面體之間的摩擦力.

圖8

分析：拓展1與母題比較，不僅形似，而且本質相同，物體與斜面之間的動摩擦因數為μ=tanθ，這時物塊對斜面的壓力和摩擦力的合力方向仍豎直向下，所以地面與斜面體之間無摩擦力．

【拓展2】初態與拓展1相同，將末態改為物塊在水平向右的恒力F作用下沿斜面勻速上升，如圖9所示，斜面體始終保持靜止．試分析地面與斜面體之間的摩擦力.

圖9

分析：拓展2與母題、拓展1比較，雖然形似，但本質已發生變化，不再是摩擦角問題.由于斜面體和物塊均處于平衡狀態，以整體為研究對象，可知地面對斜面體的靜摩擦力大小為F，方向水平向左.

【母題3】如圖10所示，ad，bd，cd是豎直面內三根固定的光滑細桿，a，b，c，d位于同一圓周上，a點為圓周的最高點，d點為最低點．每根桿上都套有一個小滑環(圖中未畫出)，三個滑環分別從a，b，c處由靜止釋放，用t1，t2，t3依次表示各滑環到達d所用的時間，試比較t1，t2，t3的大小.

圖10

【拓展1】如圖11所示，ad，bd，cd是豎直面內三根固定的光滑細桿，a，b，c，d位于同一圓周上，d點為圓周的最高點，a點為最低點.每根桿上都套有一個小滑環(圖中未畫出)，三個滑環分別從d處由靜止釋放，用t1，t2，t3依次表示各滑環到達a,b,c處所用的時間，試比較t1，t2，t3的大小.

圖11

【拓展2】如圖12所示，oa，ob，oc是豎直面內三根固定的光滑細桿，o，a，b，c，d位于同一圓周上，d點為圓周的最高點，a點為最低點.每根桿上都套著一個小滑環(圖中未畫出)，三個滑環都從o點無初速釋放，用t1，t2，t3依次表示滑環到達a，b，c所用的時間，試比較t1，t2，t3的大小.

圖12

定量比較t2和t3的大小關系，要進行相關數學推導，因為沿圓周從a處向c處移動的過程中，滑桿過圓心后，桿長度變短，滑環加速度變小，無法定性判斷所用時間如何變化.

圖13

如圖13所示，假設oe恰好過圓心，它與ad的夾角θ0為一定值，設of與oe的夾角為θ，則of與豎直方向的夾角為(θ0+θ)，有

解得

(1)

令

則

所以，函數f(θ)為增函數，則原函數式(1)也為增函數，因此滑桿過圓心后，繼續向上移動的過程中，θ角變大，所用時間變長，有t3>t2，因此有t3>t2>t1.

此題其實還有如下兩種解法.

解法1:

式(1)整理后得

式中R,g,θ0為常量，當θ增大時，時間是增加的，結論同上.

解法2:

圖14

也可以用等時圓的方法，即找到三根滑桿對應的等時圓,比較它們的直徑(或半徑)即可.方法如下,分別做a,b,c三根滑桿對應的等時圓的直徑如圖14所示，利用前面的結論可知,o到a的時間等于o到a′的時間,o到b的時間等于o到b′的時間,o到c的時間等于o到c′的時間，由圖可知t3>t2>t1.

為了提高習題訓練的效益，教學中要精選例題，一題多變是實現這一目標的重要途徑之一．要引導學生科學構建物理模型，區分一題多變中的形似質同與形似質異，可使學生克服思維定式，有利于培養學生的創造性思維與發散性思維，以達到提高綜合能力的目的．