對一道高考題的理論分析

謝麗

(咸陽師范學院 陜西 咸陽 712000)

【題目】如圖1(a)，在x>0的空間中存在沿y軸負方向的勻強電場和垂直于xOy平面向里的勻強磁場，電場強度大小為E，磁感應強度大小為B.一質量為m，帶電荷量為q(q>0)的粒子從坐標原點O處，以初速度v0沿x軸正方向射入，粒子的運動軌跡見圖1(a)，不計粒子的重力.

圖1

(1)求該粒子運動到y=h時的速度大小v；

Ⅰ．求粒子在一個周期T內，沿x軸方向前進的距離s；

Ⅱ．當入射粒子的初速度大小為v0時，其y-t圖像如圖1(c)所示，求該粒子在y軸方向上做簡諧運動的振幅A，并寫出y-t的函數表達式.

該題沒有按照電磁場常規的考法考查學生，帶電粒子既不是只在磁場中做勻速圓周運動，也不是只在電場中做類平拋運動，而是兩種運動的“合成”.因此,粒子的運動規律不是高中知識水平可以求解的.現在首先給出常規解法，然后，利用高等數學的基本知識，結合牛頓第二定律，從理論上分析粒子的運動規律，在此基礎上給出第二問的兩個結果.

常規解法：

(1)由于洛倫茲力不做功，只有電場力做功，由動能定理有

(1)

由式(1)解得

(2)

(2)Ⅰ.由圖1(b)可知，所有粒子在一個周期T內沿x軸方向前進的距離相同，都等于恰好沿x軸方向勻速運動的粒子在T時間內前進的距離.設粒子恰好沿x軸方向勻速運動的速度大小為v1，則

qv1B=qE

(3)

又

s=v1T

式中

Ⅱ．設粒子在y軸方向的最大位移為ym,即圖1(c)曲線的最高點處，對應的粒子運動速度大小為v2(方向沿x軸)，因為粒子在y方向上的運動為簡諧運動，因而,在y=0和y=ym處粒子所受的合外力大小相等，方向相反，則

qv0B-qE=-(qv2B-qE)

(4)

由動能定理有

(5)

又

(6)

由式(4)～(6)解得

可寫出圖1(c)曲線滿足的簡諧運動y-t函數表達式為

理論分析：

考察在任一時刻t，設粒子的速度大小為v，速度與水平方向的夾角為θ，粒子沿水平方向的速度為vx，沿豎直方向的速度為vy.如圖2所示，則有

(7)

粒子受到洛倫茲力與電場力的作用，其受力如圖3所示.

圖2 粒子的速度分解示意圖 圖3 粒子的受力分析示意圖

把粒子受到的外力在水平方向和豎直方向進行正交分解.根據牛頓第二定律，在水平方向

max=-qvBsinθ

在豎直方向

may=qvBcosθ-Eq

(8)

其中ax，ay分別為粒子在水平和豎直方向的加速度，加速度與速度的關系為

(9)

根據式(7)～(9)可以得到關于vx，vy的一組常微分方程組

(10)

(11)

初始條件為

vx|t=0=v0vy|t=0=0

將方程組中的式(11)進行微分，并將式(10)帶入可得到關于vy的二階常微分方程

(12)

(13)

根據式(12)、(13)可以解得

(14)

將式(14)帶入式(10)可以計算得到

(15)

計算出vx，vy的表達式后，在區間[0,t]上進行積分便可以得到x,y關于時間t的表達式

(16)

(17)

由初始條件x|t=0=0，y|t=0=0可知k1=k2=0.

至此，得到x，y的最終表達式

(18)

(19)

從式(18)、(19)可以看出，粒子在x軸上的運動為簡諧運動和勻速直線運動的合成，而在y軸上則做簡諧運動.運動的周期為

振幅為

在一個周期T內，豎直方向的位移為y=0，而水平方向的位移為

在一個周期內粒子的實際運動軌跡為

(20)

其中

通過理論求解得到的結果與考題提供的條件和最終答案完全一致，說明了該方法的正確性，同時通過理論求解，使得我們能夠從本質上認識這種運動情形.