教學中物理學與數學的關系

王學文 何樂康 曹小芳 婁青青 曹晶

(湖南科技大學物理與電子科學學院 湖南 湘潭 411201)

在多年教學經歷中，筆者深深地體會到很多學生物理學習得很努力，但物理成績始終難以提高，原因是受到了他們的數學水平的制約．很多物理問題的解決都是用數學方法，是他們的數學水平嚴重影響了他們的物理水平；還有的學生數學水平還可以，但是由于不能靈活地把數學知識學以致用地用到物理問題中來，所以解決物理問題的水平也不高；而那些善于運用數學手段分析解決物理問題的學生卻學得輕松自如．能把物理問題駕馭得很好的原因除了他們對物理知識的深刻理解外，更重要的是他們對物理與數學有清晰而正確的認識．為此我們需要重新審視我們正在學習和運用的物理學與數學．

1 數學的基本特點

在學習、工作和生活的經歷中我們已察覺到數學具有這樣的特點.

第一是數學的抽象性．其抽象性在簡單的計算中就已經表現出來．我們運用抽象的數字，卻并不打算每次都把它們同具體的對象聯系起來，我們在學校里學的是抽象的乘法表——總是數字的乘法表，而不是人數乘上梨的數目，或者是梨的數目乘上梨的價格等．同樣在幾何中研究的，例如是直線而不是拉緊了的繩子，并且在幾何線的概念中舍棄了所有性質，只留下在一定方向上的伸長．總之，關于幾何圖形的概念是舍棄了現實對象的所有性質，只留下其空間形式和大小的結論，全部數學都具有這種抽象的特征．數學在它抽象方面的特點還在于：

(1)在數學抽象中首先保留量的關系和空間形式而舍棄其他一切．

(2)數學的抽象是經過一系列階段而產生的．它們達到的抽象程度大大超過了自然科學中的一般抽象．

第二是數學的精確性或者更好地說是邏輯的嚴格性以及結論的正確性．數學推理的進行具有這樣的精密性，這種推理對于只要懂得它的每個人來說，都是無可爭辯和確定無疑的．數學證明的這種精密性和確定性，在中學的課本中就已懂得了．數學真理本身也是完全不容爭辯的．

第三是數學應用的極端廣泛性．數學應用非常廣泛也是它的特點之一．

(1)我們經常地、幾乎每時每刻地在生產、生活中運用著最普通的數學概念和結論，然而并不意識到這一點．

(2)如果沒有數學，全部現代技術的產生和應用都是不可能的．

(3)幾乎所有的科學部門都在多多少少地利用著數學．

太陽系的八大行星之一的海王星是在用數學計算的基礎上被發現的；英國物理學家麥克斯韋概括了由實驗建立起來的電磁現象規律，把這些規律表述為方程形式．他運用純數學的方法從這些方程中推導出可能存在著電磁波，并且這種電磁波應該以光速傳播著．根據這一點，他提出了光的電磁理論，這一理論后來被全面地發展和論證了．

2 物理學的基本特點

(1)物理學是一門實驗和科學思維相結合的科學．實驗是物理學的基礎，科學思維是物理學的生命．在物理學中，概念的形成、規律的發現和理論的建立都有堅實的基礎．

(2)物理學也是一門嚴密的理論科學．物理學是以基本概念和基本規律為主干而構成一個完整的體系，其中基本概念、基本規律是中心，基本方法是紐帶．

(3)物理學又是一門精密的定量科學．自從伽利略開創了把觀察、實驗、抽象思維同數學方法相結合的研究途徑之后，物理學就迅速地發展成為一門精密的定量科學．

在物理學中，許多物理概念和物理規律具有定量的含義；物理學中的基本定律和公式都是運用數學的語言予以精確表達的．此外，數學方法還是物理學研究的推理論證的工具和手段．物理學與數學有著密切的關系，物理學的研究離不開數學這一有效的工具和手段，而數學的發展也依賴物理學這塊肥沃的土壤．許多物理問題需要運用數學知識來求解，當然，同時也有一些數學問題需要借助物理原理進行求解．物理學與數學無論在形式、內容和方法等方面都具有互補性．

3 求解物理問題的認知特點與認知過程

學生在學習物理過程中常常對求解物理問題感到困難，其原因往往是他們習慣于用學習概念、規律的認識方式來求解物理問題，未能突出求解物理問題的認知特點的緣故．從認知的角度考察，求解物理問題具有自身的認知特點.

(1)在新情境中推廣、應用物理知識．物理概念、規律學習是在典型的情境中對物理知識進行理解，求解物理問題是在各種新的情境中推廣、應用物理知識．學生常常由于對引入或說明概念、規律的典型情境十分熟悉，而產生一種思維定勢，對題目給的新情境不能很快適應或錯誤地把新情境按原來的典型情境加以處理．

(2)需要較為復雜的邏輯判斷．物理概念、規律的學習在進行的邏輯推理和判斷時比較簡明直接，而求解物理問題卻需要較為復雜的邏輯判斷．在概念、規律教學中，教師為了使學生易于理解，充分利用學生原有知識和經驗，引導學生進行的討論一般都直接指向將要得出的結論．學生往往感到這種為得出結論而進行的邏輯推理和判斷是思維的自然進程．當學生自己去解決問題時，問題的結論一般不是容易直接就能看出來的，而是需要學生進行復雜的邏輯推理，對問題的進行方向獨立地做出判斷．

求解物理問題的認知過程，是把與具體環境問題有關的信息和學生頭腦中已有知識經驗相聯系的過程．這個過程可以描繪成如圖1所示.

圖1 求解物理問題認知過程

從上面的方框圖可以看出，求解物理問題有兩個重要的信息變化環節：識別現象和運用規律．

(1)識別現象．感知問題后，學生頭腦中首先進行抽象思維，要識別這是什么物理現象？應該屬于哪一類物理問題？在這里，事物的非物理學屬性被拋棄，物理學的屬性被抽象出來了，這種抽象的結果便把實際問題轉化成物理模型．

(2)運用規律．在認識到要求解的物理問題及所建立的物理模型的基礎之后，就觸發了一系列的解題思維活動，利用相應的規律列出有關的方程式．此后物理問題就轉化為數學問題了.這是另一個重要的信息變化環節．以后的運算雖然還受物理條件制約，但主要受數學規律支配，是關于問題的量的討論．

4 數學知識在物理問題求解中的功能

數學是研究現實世界的空間形式和數量關系的學科．任何事物都有一定的量，原則上都可以作為數學研究的對象．物理學是一門精確定量的科學，它與數學的關系最為密切．在解決物理問題時，不僅要有定性的分析，更要得出定量的結果．解答物理問題離不開數學知識，數學知識的運用是物理解題的一個不可缺少的內在因素．數學知識在物理解題中的主要功能可以概括為以下幾個方面．

4.1 物理問題一般要轉化為數學問題

在把物理問題向數學問題轉化的過程中，除了選擇合適的物理學方法，還要靈活地運用數學知識．至于數學問題推理計算求出結果的過程，更加明顯地說明它是一個數學過程．可見，凡是需要定量分析的物理問題，數學的運用是必不可少的．

4.2 數學是描述物理問題的語言

物理學中的數學與純數學的差異是由兩門學科各自的特點決定的．數學具有高度的符號化、抽象化、形式化、邏輯化、簡單化的特點．客觀世界中的任何形式和關系，只要它們能夠抽象出來，并用一定的方式表達，即成為數學的研究對象，因此，數學具有廣泛的適用性，不承載任何真實的物理意義．物理學是研究物質的基本結構、基本相互作用和基本運動規律的學科，它以實驗為基礎，以數學為思維語言和推理、計算工具來描述物理現象，揭示物理規律，所以物理學中的數學是生動和具體的，符號是聯系數學與物理學之間的基本要素．

把物理問題轉化為數學問題就是為物理問題尋找一個相應的數學模型，以數學為語言表達出物理量之間的相互關系，其一般步驟為：

(1)利用數學語言豐富、深化物理模型．如運用已知數據進行簡化處理，進行物理過程的定量分析等．通過找出數量關系，給物理模型加入定量的因素．

一旦波形確定,s和s′是可以提前求得的,這里認為其是常數。以下是具體的估計過程,首先由于s遠大于s′Δt1和v,可以先得到α1的粗估計,

(2)用符號來表示物理量．符號是物理內容的載體，它把復雜的事物代碼化，可以一目了然地加以把握感知對象．

(3)根據物理規律列出問題中物理量間的關系，最后把物理問題轉化為數學問題，實現了物理過程的數學化．

4.3 數學是推理計算的工具

列出物理量間的關系式之后，下面的任務就是采用最好的方法，準確地求出結果．這就要求善于利用一切學過的數學知識，靈活地求解問題．應該注意運算的技巧，盡量簡化運算的程序．有的學生在理解題意，分析過程中花了很多精力，因而在求解運算過程中就不愿多動腦筋了，一味采用最基本的代入消元法或一開始就代入數值進行繁雜的數值運算．其實，好的數學技巧一旦找到，計算時間就會大大減少．

5 物理解題與數學運算的區別

雖然物理和數學的關系十分密切，物理解題離不開數學，但是，物理解題與數學運算還是有本質區別的．物理是以實驗為基礎的，它具有質和量的統一性；而數學研究的是事物共有的數量關系和空間形式，它拋開了其他具體內容．因此，在把數學知識用于物理解題時，其適應范圍要受到物理規律的制約，不能用數學方法代替物理概念．許多中學生亂套公式，一個很重要的原因就是按解數學題的習慣來解物理題．物理解題與數學運算的顯著區別具體表現在：它們在建立各自的模型中所進行的科學抽象不同，它們在解決實際問題時所進行的近似處理不同，它們在論證推理中所用的歸納方法不同，它們對得出結果的解釋不同．

5.1 數學抽象與物理抽象

數學抽象和物理抽象有著密切的關系．經過數學抽象建立的數學模型與經過物理抽象建立的物理模型之間有著不可分割的內在聯系．數學上有幾何點的模型，物理上有質點、點光源、點電荷等模型；數學上有線的概念，物理上有光線、電場線、磁感線等模型；數學上有面的概念，物理上就有面電荷、等勢面等模型．

數學抽象和物理抽象有著本質上的區別．數學抽象是高度、嚴密的抽象，它僅保留了量的關系和空間形式而放棄了一般的具體現象；而物理抽象則沒有數學抽象那樣的高度和嚴格，仍然具有若干物理實體的共同特征，而且物理抽象是有條件的，它隨著具體問題的不同而發生變化．數學模型高度抽象的共性與物理模型一般抽象的特殊性、數學模型高度的思辨性與物理模型的實踐性、數學模型廣泛的適用性與物理模型具體的局限性都是它們本質屬性不同的根本表現．比如說數學中的點，只表示空間的一個位置，它的其他物質屬性都不存在了．與此相應的物理中的質點，雖然也是一種抽象，但它的抽象程度不如數學中的抽象程度高，它沒有大小，但具有質量，而且一個實際物體能否抽象為質點也是相對的．在解物理題時，要注意兩種抽象的區別，不要用數學抽象局限或代替物理抽象．

5.2 數學近似和物理近似

5.3 數學歸納法和物理歸納法

數學歸納法是極其嚴格的，它通過一次或幾次驗證加一次推理來完成．用數學歸納法來證明一個命題成立是天衣無縫的．而物理歸納法則不然，它通過多次(但是有限次)實驗來歸納出物理規律．物理歸納法不可能像數學歸納法那樣嚴密推證、天衣無縫，而是存在漏洞．不過，用物理歸納法得出的結論是以實踐來驗證的．一旦實驗發現結論與實驗不符，該結論就被否定．

5.4 物理解和數學解

經過數學推理計算得出的物理問題的結果應當受到物理規律的制約，有時得到的結果在數學上看是完全正確的，但在物理上是錯誤的．這就是說，數學解不等于物理解．用數學知識求出結果后，應當用物理規律衡量其是否有實際意義．如果結果只在數學上有意義而在物理上沒有意義，說明在前面識別物理現象和分析物理過程的環節上存在錯誤，應重新加以考慮并建立起正確的數學方程式．

總之，數學既是進行辯證思維的有利工具，又是表達辯證思想的科學語言和邏輯形式．因此，從學習物理基礎知識開始，就要注意如何應用數學方法解決物理問題．不論是物理實驗中的測量和計算，還是概念的定義、定律的表達、習題的答解等，都要注意正確的運用數學方法．要把培養學生運用數學方法解決物理問題的能力作為物理教學的一個重要課題．

參考文獻

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2 施良方.學生認知與優化教學.北京：中國科學技術出版社，1991

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