探究曲線運動的圖像描述

徐平

(海安縣南莫中學 江蘇 南通 226681)

1 問題的提出

用速度-時間圖像和位移-時間圖像來描述直線運動師生們已是耳熟能詳、得心應手了．本文所要探究的是能否用它們來描述曲線運動．

2 探究典型曲線運動圖像的描述

2.1 平拋運動

2.1.1 教材中描述

物體做直線運動，速度-時間圖線表示物體的速度隨時間的變化關系，橫坐標表示從計時開始的各個時刻，縱坐標表示從計時開始任一時刻物體的速度．對曲線運動的研究，教材做了精心的準備．先通過紅蠟燭實驗演示：試管不動時浮于水中蠟燭勻速上升；試管勻速向右運動時，蠟燭一方面隨試管勻速向右，另一方面沿試管勻速上升．進而引入分運動、合運動及運動的合成與分解．把研究的空間從直線運動一下子擴展到一個平面內的曲線運動．再從生活中的實例引入平拋運動，接著用小錘打擊彈簧片，讓兩小球同時平拋和自由落體，比較它們的下落時間，把學生的思維又引向水平和豎直兩方向上，總結出平拋運動速度和位移的規律．

2.1.2 學生認知上的誤區

不少學生認為教材中沒有給出平拋運動的圖像，說明它不需要掌握；也有少數學生認為平拋運動是曲線運動，無法描述．

從教材的鋪墊和暗示不難感悟出：教材中沒有直接給出如何用速度-時間圖像和位移-時間圖像來描述平拋，不等于不作要求，只是具體的圖像描述實屬能力要求的范疇．用圖像描述平拋運動也應從水平和豎直兩個方向分別展開．從高考的考題中也不難體會到這一點．

2.1.3 高考題對平拋運動圖像及其變化的考查

【例1】(2008年高考江蘇卷第5題)如圖1所示，粗糙的斜面與光滑的水平面相連接，滑塊沿水平面以速度v0運動．設滑塊運動到A點的時刻為t=0，距A點的水平距離為x，水平速度為vx．由于v0不同，從A點到B點的幾種可能的運動圖像如圖2選項所示，其中表示摩擦力做功最大的是

圖1

圖2

解析：此題考查了平拋物體在斜面上摩擦力做功最大值問題，實質還是考查平拋運動的研究方法——運動的合成與分解，要求考生從水平方向上利用位移-時間圖像、速度-時間圖像分析滑塊可能的運動情景．A與C圖中的水平位移和水平速度隨時間的變化關系，從兩個不同的角度描述滑塊做平拋運動，摩擦力為零，摩擦力做的功亦為零；B圖描述的滑塊先做平拋運動后在斜面上做勻速運動；與D圖中滑塊一直在斜面上做勻加速直線運動相比，兩種情形都受摩擦力作用，摩擦力做功最大的顯然是D中所描述的情景(選項D正確)．這里圖像直觀形象地描述了平拋運動的兩個分運動，用圖像描述曲線運動重要性不言而喻．

【例2】(2009年高考江蘇卷第4題)在無風的情況下，跳傘運動員從水平飛行的飛機上跳傘，下落過程中受到空氣阻力，圖3中描繪下落速度的水平分量大小vx和豎直分量大小vy與時間t的圖像，可能正確的是

圖3

解析：本題涉及到跳傘運動員下落過程中水平和豎直方向的v-t圖像，跳傘運動員受到的空氣阻力并非為恒力，與速度有關，且速度越大受到的阻力越大．豎直方向運動員受重力和空氣阻力，速度逐漸增大，阻力增大，合力減小，加速度減小；水平方向只受阻力，速度減小，阻力減小，加速度減小．vx-t和vy-t圖像中的斜率分別表示水平和豎直方向的加速度，不難確定B是正確的．

題中跳傘運動員下落過程做復雜的曲線運動，雖不是平拋運動，但命題專家給出了的水平分速度vx大小、豎直分速度vy大小與時間t的關系圖像，要求考生會從分運動的角度分析曲線運動．

教學感悟：高考對平拋運動及其類似圖像的考查，更加凸顯了用分運動的圖像來描述平拋運動的必要性和可行性，可以看成是解決平拋運動問題的又一基本方法．

2. 2 一般圓周運動

物體做勻速圓周運動時，速度方向不斷變化但大小不變，若僅分析其速率隨時間的變化關系，可以用一條平行于橫軸的速率-時間圖像來描述．

我們關注的是如何用圖像來描述一般圓周運動呢？從下面的案例中不難得到啟發．

2.2.1 用v-t圖像描述一般圓周運動的探究

【例3】在豎直平面內有一圓形絕緣軌道，半徑為R= 0.4 m，勻強磁場垂直于軌道平面向里，一質量為m= 1×10-3kg，帶電荷量為q= +3×10-2C的小球，可在內壁滑動，如圖4所示．開始時，在最低點處給小球一個初速度v0，使小球在豎直平面內逆時針做圓周運動，圖5(a)是小球在豎直平面內做圓周運動的v隨時間t變化的情況，圖5(b)是小球所受軌道的彈力F隨時間變化的情況，結合圖像所給數據(取g= 10 m/s2)，求：

(1)磁感應強度B；

(2)小球的初速度v0.

圖4

圖5

解析：對例3中圖像的理解上有兩大障礙：一是中學階段很少見到用v-t圖描述圓周運動，學生感到十分生疏；二是難于把v-t圖中的點與小球實際位置對號入座．

為此我們引導學生進行如下探究.

師：比較v-t圖最大速度與次大速度，你認為小球的在豎直平面內做的運動是勻速圓周運動還是非勻速圓周運動？

生：非勻速圓周運動(學生們異口同聲，從兩個最大不同能夠體會到).

師：好，同學們的判斷真不錯．請思考，結合v-t圖你認為圖5(a)所描述的是速度-時間圖像還是速率-時間圖像，說出判斷的依據？按合作學習的小組討論，稍后派代表交流．

生甲：圖5(a)所描述的是速率-時間圖像，因為速度的大小變化；

生乙：圖5(a)所描述的是速率-時間圖像，因為圖像都在橫軸的上方，說明速度的方向不變；

師：很好，看來圖5(a)是速率-時間圖像大家的觀點是一致的．為什么小球的最大速度與次大速度不等呢？誰能結合圖5中描述t=0時刻小球的速率和所受軌道彈力F的特點，分析此時小球位于何處？

(學生們又討論開了)

生丙：這可能是存在摩擦力的緣故；t=0時刻小球的速率最大，應位于最低點．

師：你回答的很好．t=0時刻小球所處的位置我們從題干中就能找到答案．那么，我們利用圖上哪一點來求磁感應強度B？

生丁：利用小球處于t3時刻.從圖5(a)可知速度大小為4 m/s，此時刻對應圖5(b)中軌道與球間的彈力為零．

(丁同學上黑板寫出了求磁感應強度B過程)

t3時刻小球第二次通過軌道的最高點,如圖6所示.

圖6

在法向應用牛頓第二定律

代入數據得

B=0.25 T

(師生對丁同學的解答給予了充分的肯定)

師：還有誰能求出小球的初速度v0?

生戊：從圖5(b)可知t=0時刻，軌道與球之間彈力最大為F=0.11 N，對應的小球第一次過最低點如圖3．同樣在法向根據牛頓第二定律得

代入數據得

v0= 8 m/s

進一步引導探究、拓展升華.

探究1:結合圖5探究小球在t1時刻所處的位置？

方法：假設法．若t1時刻小球第一次位于最高點C，則受力情況如圖6，切向的摩擦力將產生切向加速度，使小球的速率還將進一步減小，顯然小球速率次最小位在C點的左側D處(如圖6)，此時重力沿切向的分力等于摩擦力．切向加速度位零，小球的速度第一次達到最小．

探究2:小球速度第二次達到速度最大時的位置？

方法1：假設．假設小球速度次大的位置在圓形軌道最低點，同樣可排除．

方法2：推理．由探究1知小球速度次大同樣具有沿圓周的切向合力為零特點，位置應在最低點的偏左G處(如圖6)．

探究3:t=0到t3時間內摩擦力對小球所做的功是多少？

方法：t=0到t3時間內對小球應用動能定理．

探究4:從v-t圖像探究t=0，t=t1，t=t2，t=t3幾個時刻切線的斜率的意義？

方法：分加速度．從v-t圖像觀察到在t=0，t=t1，t=t2，t=t3幾個時刻，切線的斜率都平行于t軸，斜率為零．由于這里的v-t圖像是速率-時間圖像，即小球的速度大小隨時間的變化規律，沒有反映圓周運動的方向變化，從直線運動v-t圖像的斜率表示加速度，不難聯想到圓周運動的速率-時間圖像的斜率表示切向加速度，它改變圓周運動速率，切向加速度為零時，小球在的速率達到極值．

從例3可以看出，由于摩擦力的存在，小球速度最小時(不為零)，對應小球到的軌道的彈力為零，小球位于圓軌道的最高點；小球處于其他次最大和次最小的位置都不在圓軌道的最低點和最高點，共同特點是沿圓周的切向合力均為零．

教學感悟：以案例為載體，通過師生對話、生生互動，用圖像描述圓周運動經過學生的感知、想象、類比、抽象、概括等過程，認知不斷升華．在新情景下，圖像的基本概念、基本規律、基本方法潛移默化的得到掌握，學生的思維能力得到了提高．

2.2.2v-t圖像描述一般圓周運動的特點

綜上所述，完全可以用v-t圖像描述非勻速圓周運動，縱坐標用來表示速率，圖像反映的是圓周運動的物體速率隨時間的變化規律，與坐標軸所圍成的面積表示物體所經過的路程，v-t圖像上某點切線的斜率表示切向加速度．

3 結語

平拋運動和圓周運動是兩個典型的曲線運動，用圖像能方便地描述它們．描述這兩種運動的方法不同，這是由兩種運動的受力特點不同決定的．平拋運動有水平方向的初速度，受力與初速度方向垂直，用初速度方向和與之方向垂直的速度或位移-時間圖像描述；物體圓周運動時，速度方向和向心力方向的時刻變化，無法用速度-時間圖像描述，但用速率-時間圖像能夠反映物體速度大小的變化．有了這兩個模型，其他一般曲線運動的描述就有了方法的借鑒．蘇霍姆林斯基有句名言：“學生到學校來，不是為了取得一份知識行囊，而主要是為了變得更加聰明”，有了解決問題的方法，學生就會變得更加睿智．

探究用圖像描述曲線運動過程，其實是欣賞圖像的直觀、快捷，體味思想方法，感悟簡潔美的過程．美好的人生從畫圖開始，描繪一般曲線運動的圖像還有待繼續探究．

參考文獻

1 人民教育出版社，等.普通高中課程標準實驗教科書 物理(必修1).北京:人民教育出版社,2007.34～37

2 江蘇省教育考試院.2008年普通高等學校招生統一考試試題及參考答案.2008

3 江蘇省教育考試院.2009年普通高等學校招生統一考試試題及參考答案.2009