復(fù)合場內(nèi)斜面上的最佳拋射角

楊月春

(中國石油大學(xué)河南濮陽學(xué)習(xí)中心 河南 濮陽 457001)

王秀娥

(春灣中學(xué) 廣東 陽江 529616)

仇小慧 曹錦慧 馬秀君 王萍 韓春霖

(中國石油大學(xué)河南濮陽學(xué)習(xí)中心 河南 濮陽 457001)

1 復(fù)合場內(nèi)沿斜面上升方向順場拋射帶電質(zhì)點(diǎn)

如圖1所示，空間存在水平向右的勻強(qiáng)電場，有一帶正電的質(zhì)點(diǎn)自O(shè)點(diǎn)沿斜面上升方向以拋射角α(拋射方向與斜面間的夾角)拋出，不計(jì)空氣阻力，要使質(zhì)點(diǎn)落在斜面上距離拋射點(diǎn)最遠(yuǎn)的地方，拋射角α應(yīng)為多大？

圖1

解析：質(zhì)點(diǎn)拋出后，在重力場和電場組成的復(fù)合場內(nèi)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌道曲線與斜面的交點(diǎn)A即為質(zhì)點(diǎn)的落地點(diǎn). 圖中OA之長s就是物體沿斜面的射程，使s最大的角度α即為最佳拋射角.

取點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),水平向右方向?yàn)閤方向，豎直向上方向?yàn)閥方向，建立直角坐標(biāo)系xOy.質(zhì)點(diǎn)沿兩方向的運(yùn)動(dòng)方程為

式中a為質(zhì)點(diǎn)沿水平方向向右的加速度，由電場力的大小決定.將式(1)兩邊乘以g，式(2)兩邊乘以a再相加，求出t，得

(3)

將式(1)兩邊乘以sin(α+θ)，式(2)兩邊乘以cos(α+θ)，再相減，求出t2

(4)

結(jié)合式(3)、(4)得

整理該式得

[xsin(α+θ)-ycos(α+θ)]

(5)

式(5)就是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道方程.

直線OA的方程為

y=xtanθ

(6)

點(diǎn)A是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌道曲線和直線OA的交點(diǎn)，其坐標(biāo)值可由式(5)、(6)聯(lián)立解出

[sin(α+θ)-tanθcos(α+θ)]·

(g+atanθ)-2

[sin(α+θ)-tanθcos(α+θ)]·

(g+atanθ)-2cos-1θ=

(7)

據(jù)此得最佳拋射角

(8)

所對應(yīng)的最大射程為

也就是說，最大射程不僅與v0，θ有關(guān)，還與a(同時(shí)與δ)有關(guān)，亦即與質(zhì)點(diǎn)所受電場力大小有關(guān)，而最佳拋射角僅與θ，δ有關(guān)，與v0無關(guān).

討論：

(1)在式(7)中，若取a=0(同時(shí)δ=0)，θ≠0，就得無電場時(shí)斜面上斜拋物體的射程

(2)在式(7)中，若取a≠0(同時(shí)δ≠0)，θ=0，就得有電場時(shí)水平面上斜拋物體的射程

(3)在式(7)中，若取a=0(同時(shí)δ=0)，θ=0，就得無電場時(shí)水平面上斜拋物體的射程

最佳拋射角為45°.

2 復(fù)合場內(nèi)沿斜面上升方向逆場拋射帶電質(zhì)點(diǎn)

在圖1中，如果空間存在水平向左的勻強(qiáng)電場，即逆場拋射，質(zhì)點(diǎn)拋出后沿兩方向的運(yùn)動(dòng)方程為

用類似的方法求出質(zhì)點(diǎn)在斜面上的射程

(11)

最佳拋射角

(12)

利用式(11)同樣可以得出3種特殊情況下的射程和最佳拋射角.

3 復(fù)合場內(nèi)沿斜面下降方向順場拋射帶電質(zhì)點(diǎn)

如圖2所示，空間存在水平向左的勻強(qiáng)電場，將帶正電的質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)O沿斜面下降方向以拋射角α拋出.

圖2

質(zhì)點(diǎn)沿兩方向的運(yùn)動(dòng)方程為

用類似的方法求出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程，再結(jié)合直線OA的方程

y=-xtanθ

(15)

求出質(zhì)點(diǎn)在斜面上的射程

(16)

最佳拋射角

(17)

利用式(16)同樣可以得出3種特殊情況下的射程和最佳拋射角.

4 復(fù)合場內(nèi)沿斜面下降方向逆場拋射帶電質(zhì)點(diǎn)

在圖2中，如果空間存在水平向右的勻強(qiáng)電場，即逆場拋射，質(zhì)點(diǎn)拋出后沿兩方向的運(yùn)動(dòng)方程為

用類似的方法求出質(zhì)點(diǎn)在斜面上的射程

(20)

最佳拋射角

(21)

利用式(20)同樣可以得出3種特殊情況下的射程和最佳拋射角.

1 楊月春，洪雪芹，戴景生.斜面上任意拋射的最佳拋射角.大學(xué)物理，2008,27(5)：12～14

2 楊月春，王秀娥,等.對斜面上最佳拋射問題的進(jìn)一步研究.物理通報(bào)，2012(8)：94～98

3 嚴(yán)導(dǎo)淦.物理學(xué).北京:高等教育出版社，2003

4 李椿，夏學(xué)江.大學(xué)物理.北京:高等教育出版社，1997