在編制機車起動問題習題時怎樣避免科學性錯誤

張紅明

(北京師范大學附中 北京 100052)

1 背景知識

機車起動問題是一種典型的力學問題，在處理這類問題時要特別注意對機車兩種典型起動方式的運動情景的分析．一種起動方式是勻加速起動，或者叫恒定加速度起動；另一種起動方式是恒定功率起動．為了便于對機車起動問題的研究，下面對機車這兩種起動方式的運動情景做分析．

分析時通常認為機車所受的阻力恒定．

(1)機車恒定功率起動的分析過程

機車功率Pm(假定為額定功率)一定，隨著速度v的增大，根據Pm=Fv知機車的牽引力變小，再由牛頓第二定律F=ma知機車的加速度a逐漸變小，但速度v仍然增大，直到牽引力等于阻力即F=f時，加速度為零，速度達到最大速度vm，且滿足Pm=fvm．機車恒定功率起動時，先做的是加速度逐漸減小的加速運動，最后做勻速直線運動．

(2)機車勻加速起動的分析過程

加速度a一定，根據v=at，速度v逐漸增大，由P=Fv，功率P逐漸增大直到功率達到額定功率Pm．此時的牽引力不變，且仍然大于阻力即F>f．機車可以繼續加速，但功率保持不變，通過減小牽引力來實現加速．以后的分析同恒定功率起動的分析過程一樣．

總之，機車以恒定加速度起動時，先做勻加速直線運動，再做加速度減小的加速運動，最后做勻速直線運動．同樣滿足F=f時，速度最大，且

Pm=fvm

2 問題研究

(1)該汽車的額定功率；

(2)該汽車由靜止開始運動，經過35 s達到最大速度40 m/s，求其在BC段的位移．

圖1

本題的解法如下.

(1)通過圖像的C點坐標知牽引力F=2 000 N時，速度v=40 m/s，由Pm=Fv得機車的額定功率為Pm=8×104W；

本題的解法沒有任何問題，但學生很容易根據BC段的v-t圖像的定性分析發現位移至少應該大于750 m．圖像如圖2.

圖2

問題出在哪里？顯然題目中條件“該汽車由靜止開始運動，經過35 s達到最大速度40 m/s”不合理．速度與時間之間的對應關系不合適，怎樣調整呢？下面就對恒定功率起動的過程進行研究如下.

設機車的質量為m，阻力恒定為f，當機車以額定功率Pm起動時，根據牛頓第二定律有

顯然通過解微分方程可以找到速度v與時間t之間的對應關系．以下是解微分方程

得

對上式積分

解得

(1)

通過以上解微分方程，得到的是恒定功率運動時，機車運動時間t與機車速度v之間的函數關系.

我們當然更希望得到機車速度v與機車運動時間的關系，但上述函數的反函數是求不出的．同樣希望通過v-t圖像積分得到機車運動位移的想法也不能實現．

同時我們還會得到一點啟示，就是式(1)為機車以恒定功率運動時，機車運動時間t與機車速度v之間的滿足函數關系.

不難發現,機車的速度只能是無限地趨近于最大速度，不可能等于最大速度．理論上機車恒定功率運動時，要經過無限長的時間才能達到最大速度．

在實際問題中，機車以恒定功率運動要經過多長時間達到最大速度？怎樣才能避免編題時所出現的科學性錯誤？一種簡單的處理方法是，只要用一個接近最大速度的速度值代入上式，算出一個時間即可．如在上述的例題中，代入額定功率Pm=8×104W,代入機車質量m=3×103kg，代入阻力f=2 000 N，代入初速度v0=10 m/s，得到機車恒定功率運動的時間-速度函數關系式為

當v=39.90時，t=260.01 s．基本上可以認為機車恒定功率的運動時間是260 s左右，這樣算出的位移就比較準確．

當t=30 s時，v=35.98 m/s．這就是題目出現位移不合理的原因所在．

圖3

根據以上研究，本題的第(2)問應修改為“該汽車由靜止開始運動，經過260 s達到最大速度40 m/s”，當然把時間改成200 s以上時就不會有太大的誤差．

在討論t-v函數關系時，可以利用幾何畫板作出它的圖像，圖像清楚地顯示速度是無限接近最大速度，如圖3所示．

利用幾何畫板的求點的坐標功能，很容易得到t和v之間的數值對應關系，部分數據如表1所示

表1 t和v的數值對應關系

3 結論

機車以恒定功率起動的問題習題在高中學習中會大量出現，教師在選題或者是編題時只要掌握了函數關系式(1)，就不會出現科學性問題．

參考文獻

1 漆安慎,杜嬋英.普通物理學教程·力學.北京：高等教育出版社，1997

2 仇慶久.高等數學.北京:高等教育出版社，2003