三相電壓型逆變器的精確線性化控制

董鋒斌 鐘彥儒

（1. 陜西理工學院電氣工程學院 漢中 723003 2. 西安理工大學自動化與信息工程學院 西安 710048）

1 引言

三相電壓型逆變器是一種廣泛應用于交流調速、不間斷電源、感應加熱電源、太陽能及風能發電等領域的功率變換器。隨著各種電源應用的普及，人們對三相電壓型逆變器系統的性能（穩定性、動態品質和魯棒性）要求越來越高。在逆變器電路拓撲一定的條件下，優越的控制策略是提高逆變器性能的一個關鍵因素，因而控制策略的研究對逆變器的高效應用具有十分重要的意義[1,2]。

三相電壓型逆變器系統主拓撲及其組成元器件決定了其電路本質為時變的、耦合的及多輸入多輸出的非線性系統。為了滿足這個非線性系統的動態響應和控制精度的要求，這就需要用非線性控制理論和技術對其進行分析?；谖⒎謳缀卫碚摰木_線性化是非線性控制理論中的一種基本設計方法，它為非線性系統提供了線性化控制和解耦控制的工具，已廣泛應用于電力系統、航空航天等領域中[3,4]。對于電力電子變換器這類典型的開關非線性系統，如果能建立其仿射非線性系統數學模型，也可以應用精確線性化控制來提高系統的控制效果。經文獻檢索，它已被成功地應用到Buck變換器[5,6]、 Boost變換器[7]、三相PWM整流器[8,9]和單相全橋逆變器[10]等中。關于此方法應用到通用的三相電壓型逆變器的控制研究卻未見文獻報道。

受文獻[10]的思路啟發，本文將精確線性化方法應用于三相電壓型逆變器系統中。首先建立了系統仿射非線性數學模型，再從理論上表明了系統模型滿足狀態反饋精確線性化的能控性條件和對合條件，推導出非線性狀態反饋控制律。對非線性坐標變換后得到的線性系統，利用二次型最優控制策略得到狀態反饋控制律。最后通過仿真和實驗表明所采用的控制方案的合理性。

2 三相電壓型逆變器的仿射非線性模型分析

一般的三相電壓型 PWM逆變器的電路拓撲及各個變量的參考方向如圖1所示。圖中Lf、Cf為濾波電感和電容，R為負載電阻。Skj為開關，其中k∈{a,b,c}，j∈{p,n}。假設開關為理想開關，忽略其死區時間，忽略濾波電感、電容的內阻。由于任一瞬時每相每橋臂中只有一個開關器件導通，定義一個開關函數 Sk，k∈{a,b,c}，當 Sk=1，表示與p相連；Sk=0，表示與n相連。

圖1 三相電壓型逆變器電路拓撲Fig.1 Circuit diagram of three-phase voltage source inverter

定義虛擬線電流iab=ia–ib，ibc=ib–ic，ica=ic–ia；線開關函數sab=sa–sb，sbc=sb–sc，sca=sc–sa。依據六個開關的八種狀態和基爾霍夫定律可以得到[11]

式（1）表明三相電壓型逆變器模型是一個多輸入、多輸出及強耦合的非線性系統。由于iab=ia–ib，ibc=ib–ic，uAB+uBC+uCA=0，iab+ibc+ica=0。式（1）中第三行可由第一行、第二行聯立推導出，第六行可由第四行、第五行聯立推導出。故式（1）中的第三行、第六行可略去。式（1）中存在開關函數，引入開關周期平均算子式（2）將其變換為連續的系統，其中Ts為開關周期，x(t)為電路中的某電量。

對式（1）求開關周期平均后，得到式（3），式中各量均為開關周期平均值，為討論方便，各變量仍保持原有書寫格式。其中的dab=da–db，dbc=db–dc，dca=dc–da，它們均為線間占空比。逆變器系統的主要輸出是線電壓，控制輸入是占空比。

式（3）表明三相電壓型逆變器模型經化簡后是一個2輸入、2輸出的非線性系統。

選取狀態變量、輸入變量分別為x、u。其中

3 三相電壓型逆變器的精確線性化

3.1 2輸入2輸出系統精確線性化條件的驗證

精確線性化條件（1）滿足后再驗證D1～D4這4個相量場的集合是否在x=x。處每個相量場都是對合的。

由式（4）和式（6）知，g1、g2、adfg1、adfg2均與x無關，為恒相量場，任意兩個恒相量場的李括號為零相量，零相量表示為相量場的平凡線性組合，因此D1～D4均是對合的，精確線性條件（2）滿足。

在驗證精確線性化條件時，4個相量場組成的矩陣和4個相量場均與x無關，說明此非線性系統可以在全局范圍內線性化，實現解耦控制。即對所給定的三相逆變器至少存在著一組輸出函數，使得系統的相對階有定義且總階數r等于系統的維數n，以便實現狀態反饋線性化。

在確定滿足精確反饋線性化條件后，定義了相量相對階，下面通過李導數計算確定在給定輸出函數的情況下系統的相對階。

對輸出h1(x)=x3–uABref，有

由式（7）可知，對輸出h1(x)的關系度r1=2。對輸出h2(x)=x3–uBCref，有

由式（8）可知，對輸出h2(x)的關系度r2=2?？梢则炞C2×2維矩陣

式（9）為非奇異矩陣。所以系統的總階數為4，因此可直接通過坐標變換將系統轉化成一個完全能控的線性系統。若系統的總階數不等于 4，必須另找輸出變量函數。

3.2 求解坐標變換和非線性狀態反饋控制律

在狀態變化范圍內，系統可化為第一類標準型，通過以下坐標變換：

由式（10）可得

4 二次型最優控制中反饋增益矩陣選擇

對于式（12）的線性系統，根據最優控制原理，二次型性能指標為

式中，Q為正定或半正定對稱矩陣；R為正定對稱矩陣。

要使性能指標函數為最小，則最優控制為

反饋增益矩陣

式中，P為黎卡提代數方程PA+ATP–PBR-1BTP+Q=0的正定對稱解。

在黎卡提代數方程中，A、B為已知矩陣，選取不同的R、Q矩陣，則P矩陣不同，反饋增益矩陣K也不同，對應系統特征方程的特征根不同，系統的動態響應也不同。

系統閉環控制的主要目標之一是系統受到干擾后，使系統的狀態變量盡快收斂到期望值。根據三相電壓型逆變器的工作原理，構造二次型性能指標積分變量第一項為

圖2 三相電壓型逆變器控制圖Fig.2 Control diagram of three-phase voltage source inverter

5 仿真和實驗驗證

5.1 系統參數

為驗證控制策略的合理性，對系統進行仿真和實驗研究。參數如下：直流電壓udc=150V，給定輸出電壓峰值為 100V，輸出頻率為 50Hz，開關周期為Ts=0.1ms，三相對稱負載電阻R=20Ω，輸出濾波電感Lf=5mH，電容Cf=5μF。

將上述參數帶入式（19）和式（20）中，利用Matlab指令K=lqr(A,B,Q ,R)，可求出反饋增益矩陣

參數R在控制過程中，通過輸出電壓和流過電阻的電流進行參數辨識。仿真采用 PSIM軟件，實驗采用TMS320F2812 DSP為控制器，功率器件選用SKM 50 GB 121D。

5.2 系統仿真和實驗波形

5.2.1 系統啟動實驗波形

圖3為輸出電壓和電感電流仿真啟動波形，從仿真波形看啟動速度快，過渡過程時間不到半個輸出周期；圖4為輸出電壓和電感電流實驗啟動響應波形，過渡過程時間為半個輸出周期左右，輸出電壓基本無超調。系統穩態后，輸出電壓幅值無靜差，頻率無靜差。

圖3 輸出電壓與電感電流啟動響應仿真波形Fig.3 Start-up simulating behavior of output voltage and inductive current

圖4 輸出電壓與電感電流啟動響應實驗波形Fig.4 Start-up experimental behavior of output voltage and inductive current

5.2.2 負載擾動實驗波形

負載變化為20Ω→10Ω→20Ω，系統的仿真響應波形如圖5所示，實驗波形如圖6所示。從輸出電壓和電感電流波形可以看出，系統在負載突變后輸出電壓幅值有很小的波動，但很快恢復穩定，完全跟隨給定且無靜差，電感電流也在很短時間內到達新的穩態，說明系統抗負載擾動能力強。

圖5 負載突變時仿真波形Fig.5 Dynamic simulating response of load variation

圖6 負載突變時實驗波形Fig.6 Experimental dynamic response of load variation

5.2.3 直流電壓擾動實驗波形

直 流 電 壓 變 化 為 150V→180V→150V 和150V→120V→150V，系統的仿真波形如圖7所示，實驗波形如圖8所示。從輸出電壓和電感電流波形可以看出：直流電壓變化時，輸出電壓和電感電流基本恒定，說明對直流電壓變化擾動抵抗能力很強。從式（13）可知，控制占空比對直流電壓波動有前饋作用。

圖7 直流電壓突變時仿真波形Fig.7 Dynamic simulating response of DC voltage variation

圖8 直流電壓突變時實驗波形Fig.8 Experimental dynamic response of DC voltage variation

6 結論

本文將精確線性化和最優控制方法應用到三相電壓型逆變器這個多輸入、多輸出及強耦合的非線性系統中去。從理論上證明了建立的仿射非線性模型滿足精確線性化的條件，推導出狀態反饋控制規律。為驗證控制策略的合理性，對系統進行仿真和實驗研究。仿真和實驗結果表明，采用該控制策略系統具有良好的動態響應能力和較強的魯棒性。

[1] 鄭雪生, 李春文, 湯洪海, 等. 三相 PWM 電壓型逆變器的積分滑模控制[J] . 電工技術學報, 2007,22(12): 105-109.Zheng Xuesheng, Li Chunwen, Tang Honghai, et al .Integral sliding mode control for three-phase PWM voltage source inverter [J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2007, 22(12): 105-109 .

[2] 戴珂, 王艦威, 陳睿, 等. 兩種典型的三相 SPWM逆變器電路比較[J] . 電工技術學報, 2012, 27(2):82-108.Dai Ke, Wang Jianwei, Chen Rui, et al . Comparison research on two typical three-phase SPWM inverters[J]. Transactions of China Electrotechnical Society,2012, 27(2): 82-108.

[3] 張波. 電力電子學亟待解決的若干基礎問題探討[J] . 電工技術學報, 2006, 21(3): 24-35.Zhang Bo. Discussion on several fundamental problems necessary to be solved in power electronics[J]. Transactions of China Electrotechnical Society,2006, 21(3): 24-35.

[4] 胡躍明. 非線性控制系統理論與應用[M]. 北京: 國防工業出版社, 2005.

[5] 鄧衛華, 張波, 胡宗波, 等. CCM Buck變換器的狀態反饋精確線性化的非線性解耦控制研究[J]. 中國電機工程學報, 2004, 24(5): 120-125.Deng Weihua, Zhang Bo, Hu Zongtm, et a1. Research of nonlinear decoupled control law using state variable feedback linearization method based on the CCM Buck converter[J]. Proceedings of the CSEE,2004, 24(5): 120-125.

[6] 帥定新, 謝運祥, 王曉剛. 基于狀態反饋精確線性化Buck變換器的最優控制 [J]. 中國電機工程學報,2008, 28(33): 1-5.Shuai Dingxin, Xie Yunxiang, Wang Xiaogang.Optimal control of Buck converter by state feedback linearization[J]. Proceedings of the CSEE, 2008,28(33): 1-5.

[7] 鄧衛華, 張波, 丘東元, 等. CCM Boost變換器狀態反饋精確線性化與非線性PID控制研究[J]. 中國電機工程學報, 2004, 24(8): 45-50.Deng Weihua, Zhang Bo, Qiu Dongyuan, et a1. The research of state vailable feedback linearization method on the CCM Boost converter and nonlinear PID control law [J]. Proceedings of the CSEE, 2004,24(8): 45-50.

[8] 鄧衛華, 張波. 丘東元, 等. 三相電壓型PWM整流器狀態反饋精確線性化解耦控制研究[J]. 中國電機工程學報, 2005, 25(7): 97-103.Deng Weihua, Zhang Bo, Qiu Dongyuan, et al.Research of decoupled control law using state variable feedback linearization method of three phase voltage source PWM rectifier[J]. Proceedings of the CSEE, 2005, 25（7): 97-103.

[9] 朱曉榮, 彭詠龍, 李和明, 等. 電流型PWM整流器的非線性控制[J]. 中國電機工程學報, 2007, 27(28):96-101.Zhu Xiaorong, Peng Yonglong, Li Heming, et al.Nonlinear control of current-source PWM rectifier[J].Proceedings of the CSEE, 2007, 27（28): 96-101.

[10] 帥定新, 謝運祥, 楊金明, 等. 基于狀態反饋精確線性化單相全橋逆變器的最優控制[J] . 電工技術學報, 2009, 24(11): 120-126.Shuai Dingxin, Xie Yunxiang, Yang Jinming, et al.Optimal control of single-phase full-Bridge inverters by state feedback linearizationrans[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2009, 24(11):120-126 .

[11] 徐德鴻. 電力電子系統建模與控制[M]. 北京: 機械工業出版社, 2006.

[12] 劉小河. 非線性系統分析與控制引論[M]. 北京: 清華大學出版社, 2008.