大學熱學的解題方法剖析*

李根全 宋金璠 張萍 楊興強

(南陽師范學院物理與電子工程學院 河南 南陽 473061)

1 引言

卓越教師是指在教育理念、教學方法、科研能力等方面達到一定的高度，能成長為省內外有重要影響力的教學名師，能夠從經驗型教師向研究型教師轉型[1]．教師在教學過程中，要不斷結合實際，改變教學方法和教學手段，因為教師的工作不是只教給學生做作業，而是努力構建學生的知識結構，并用種種方法刺激學生的學習欲望．

在長期的教學過程中，我們結合物理學的學科特點，總結了建模法、求導法、積分法、圖解法、近似計算法、類比法、反證法等幾種常用的解題方法，通過使用不同的解題方法去研究物理學相關問題，加深學生對物理問題的理解，進而強化物理概念，提高思維能力，做到舉一反三，觸類旁通，這才是教育的關鍵問題．下面以熱學課程教學為例來說明之.

2 幾種常用的解題方法

2.1 建模法

建模法是物理學的基本研究方法之一．由于物理問題一般是復雜的，因此處理問題時，常突出主要矛盾，暫時略去一些次要因素，把實際問題抽象成一個理想模型，如理想氣體、準靜態過程、可逆循環過程等都是理想化模型．在遇到這類問題時，必須注意的是：該處忽略了哪些因素，如果考慮了這些因素，將得到怎樣的結果．

【例1】1 mol理想氣體的狀態方程為

這是在體積趨向于零的剛球模型

基礎上得出的，既沒有考慮分子的大小，也沒有考慮分子之間的相互作用[2]．

由于實際氣體分子總要占據一定的空間，考慮到分子的體積，理想氣體分子的勢能為

則對應的方程為

在剛球模型的基礎上若考慮分子之間的吸引力，其勢能為

其中t是常數(通常t=6)，-Φ0是r=r0時的勢能，此時對應的物態方程為范德瓦耳斯方程

如果將分子之間的引力和斥力都考慮在內的話，其相互作用勢

其中的A，B，m，n取不同數值可表示不同相互作用勢，這與昂內斯方程中的系數A和B等可取不同數值類同，可粗略認為所對應的方程就是昂內斯方程[2]．

通過這樣層層遞進地討論，使學生對氣體的各種狀態方程及使用范圍有了清晰的認識，形成了立體化的知識框架．

2.2 求導法

由于物理量的變化一般是非均勻的，因而需要結合數學原理用求導的方法來解決這類問題．在熱學中常常使用求導法計算極值問題，比如計算最概然速率、臨界點參量和任意熱力學過程溫度的最高點．

【例2】1 mol單原子理想氣體經歷如圖1所示的a→b(為一直線)過程，試討論從a→b的過程中吸收和放出熱量的情況．

圖1

分析：根據理想氣體的狀態方程可以得出，從

通過以上分析后再討論從a到b的過程中吸收和放出熱量的情況就簡單多了．

對該問題的討論，學生完全掌握了過程方程、吸熱放熱轉換、溫度變化及熱容量等概念，是具有代表性的習題，可以作為熱學教學的典型案例．

2.3 積分法

由于很多物理量是變化的或不均勻的，在計算時會用到積分法，比如氣體膨脹對外所做的功、系統從外界吸收的熱量、熵的變化、氣體在某一速率區間內的分子數、求平均值等，所以，積分法在物理學中是一個很重要、很有用的數學工具．

【例3】從范德瓦耳斯方程導出熵的表達式

解：由范德瓦耳斯方程得

又

dQ=dU+pdV

聯立以上各式得

ΔS=S-S0=

即

利用此式不僅可以計算范德瓦耳斯氣體在任意狀態的熵[4，5]，還定量說明了“熵是態函數”的定義，為熵的討論提供了科學依據．

2.4 圖解法

物理量之間的函數關系，除了可用公式表示外，還常用圖示的方法來表示，它們比較直觀，易于分析問題，在熱學教學過程中常常使用圖解法進行討論[6]．

【例4】如圖2，ab表示一定質量理想氣體所經歷的準靜態過程，求ab過程中系統對外所做的功．

圖2

解：為了解決這一問題，過a和b分別作等溫線T及T-ΔT，并且過a作等體線V，由熱力學第一定律，系統在ab過程所吸收的熱量

所以

而

式中Aabdea為曲邊形abdea的面積，又

ΔUab=ΔUac

因而

ΔUac=ΔQac=-ΔQc a

故

即系統在ab過程中對外所做的功等于多邊形abdefca的面積．

這樣利用圖形的面積將ab過程系統對外所做的功直觀地表示出來，同時還可以推廣到任意過程ab：若末態b位于過a的等體線V的右下方，則末態的體積比初態的體積大即系統經歷一膨脹過程，對外做功．若末態b位于過a的等體線V的左上方，則系統經歷一體積減小的過程，系統對外做負功，功的數值仍用T-S圖上一多邊形的面積來表示．類似的情形還有關于熱容量、熱機的效率、熵、熱量等的討論[6～8]．這種方法把抽象復雜的物理過程有針對性地表示成物理圖像，將物理量間的代數關系轉變為幾何關系，運用圖像直觀、形象、簡明的特點，來分析解決物理問題，由此達到化難為易，化繁為簡的目的，有助于學生快速解題，進而提高學習效率，優化課堂教學．

2.5 近似計算法

有些物理問題在計算過程中，函數關系比較復雜，處理比較困難，一般根據條件將函數關系采用不同形式的近似處理，從而使問題得以簡化．

【例5】求標準狀態下1.0 m3氮氣中速率在500 m/s到501 m/s之間的分子數．

在標準狀態下1.0 m3氮氣的分子數即Loschmidt常量n=2.686 8×1025m-3，所以

要計算上式才能得到速率在500 m/s到501 m/s之間的分子數，直接計算比較復雜，在計算中將dv近似地取為Δv=1 m/s，可以認為它足夠小，在這速率區間內的分子數為[9]

由于受實驗條件、數學手段等的限制，近似計算法是物理學中常常遇到的問題，掌握這種方法可以使復雜的問題簡單化，同時不影響討論結果．

2.6 類比法

類比法是把已知的關系式或求出的關系式與標準式比較，確定相關物理量及其性質，這種方法是物理學中常用的方法，在熱學學習中也常用到．比如，熱學中常以理想氣體為例，討論其狀態方程、熱力學過程特點、功、熱量、內能的變化關系并在p-V圖上予以表示，利用類比法，可以討論理想氣體在T-S圖上的性質、特點及表述[10～12]．

表1 p-V和T-S對應關系比較

通過以上對比，使p-V圖和T-S圖的特點、性質和應用清晰明了．類比法是一種重要的思維方法，把抽象的知識形象化，把復雜的問題簡單化，使知識融會貫通，從而提高學生分析問題和解決問題的能力．在教學過程中有意識地使用類比法，使學生受到熏陶和訓練，為終身學習奠定基礎．

2.7 反證法

反證法是物理學中常用的方法之一，對于無法直接證明的命題，只能采用反證法，比如,熱力學第二定律兩種表述的等效性、兩絕熱線不能相交、絕熱線與等溫線不能相交于兩點等，這些命題只能用反證法得出謬誤的結論．

圖9

反證法不僅可以單獨使用，也可以與其他方法結合使用，并且可以在論證一道命題中多次使用，只要能正確熟練運用，就可以做到精巧、直接、巧解難題、說理清楚、論證嚴謹，提高解題能力．

3 結束語

“物理題目難做”是物理教、學過程中遇到的普遍問題，做習題主要是檢驗對基本概念和基本規律的理解情況，是將已學理論用于分析問題和解決問題的過程，只有掌握了正確的解題方法，才能做到理論、實踐的有機結合，收到事半功倍的效果．解題的過程也是利用所掌握的知識進行分析、判斷和邏輯思維的過程．做習題并不是說做得愈多愈好，而是重在分析，務求透徹，講究質量，提煉出解題規律和解題技巧，啟迪思維，打開思路，做到舉一反三，觸類旁通，這是培養和提高解題能力的關鍵．一個卓越的教師，必須要時常反思，不斷總結，創建以生為本的課堂，設計適合學生的教學方案，實現知識與技能、過程與方法和情感態度與價值觀三位一體的目標，才能培養適應經濟社會發展需要的拔尖創新人才。

參考文獻

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4 趙凱華，羅蔚茵，王笑君．新概念物理題解(下冊)．北京：高等教育出版社,2009．78

5 趙凱華，羅蔚茵．新概念物理教程 熱學(第二版)．北京：高等教育出版社,2005．139

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10 宋金璠，張萍，李根全,等．類比推理教學法在非線性物理中的應用．大學物理,2011,30(5)：47

11 宋金璠，李根全，侯晨霞．地方綜合性大學“熱學”精品課程建設的探索.大學物理,2011,30(7)：37

12 張寅靜，周鐵奇．熱機循環極限效率的圖像討論法．大學物理, 2005,24(7)：24

13 李椿，章立源，錢尚武．熱學(第二版)．北京：高等教育出版社,2008．99

14 宋峰，常樹人．熱學習題分析與解答．北京：高等教育出版社,2010．176