兩個平面鏡成像的規律

余念祖

(昆明第十二中學 云南 昆明 650041)

對兩個有一定夾角的平面鏡成像問題的研究，是單個平面鏡成像知識的擴展和延伸．兩個平面鏡成像的現象存在于我們生活中，只要我們稍加留意就不難發現它．因此，研究這一現象，發現它的規律也具有實際意義．

先對成像過程及相關名稱作簡單介紹．

如圖1所示，設M，N兩平面鏡鏡面夾角為θ

(0<θ<180°)，兩鏡面被紙面所截，且均垂直于紙面．AA′和BB′是兩鏡及其延展面跟紙面的交線，O點是這兩直線的交點(也是三面交點)．今在兩鏡面間的紙面上任一位置放一個小物體S(可視為一個點)，線段SO跟M鏡面的夾角∠SOA=α，跟N鏡面的夾角∠SOB=β(平面鏡兩個面，一個是不反光的鏡背，另一個是反光的鏡面．這里的角是SO跟鏡面的夾角).

圖1

S在M鏡后對稱位置成一像SM1．此像在N鏡前，對N鏡可作為物點而在其后成像SM2．SM2在M鏡前，又可作為物而在M鏡后成像SM3．直至一鏡所成的像落在另一鏡后或鏡面上，這個像再也不能作為物而成像了．這個像是最后的像，叫做終像．圖中SM3就是終像．為方便討論，我們把S在M鏡后的第一個像和以它為物反復在兩鏡后所成的像稱為M系列的像，并按成像先后依次記為SM1，SM2，SM3，…，SMm．SMm便是M系列的終像．同理，我們把S在N鏡后成的第一個像和以它為物反復在兩鏡后所成的像叫N系列的像(過程不再重復)．按先后依次記為SN1，SN2，SN3，…，SNn．SNn便是N系列的終像(圖中N系列的終像是SN4)．像記號右下腳碼第一個是字母，表示系列名稱；第二個腳碼是數字，表示它是該系列的第幾個像．顯然，第二腳碼是奇數的像是跟該系列名稱相同的鏡(同名鏡)所成的像，第二腳碼為偶數的是跟該系列名稱不相同的鏡(異名鏡)所成的像．如圖中SM1，SM3，SN2，SN4是M鏡成的像，SM2，SN1，SN3是N鏡成的像．

物點和像點跟三面交點O的連線分別叫物心線和像心線(如SO、SM1O等)，其長度是物心距和像心距．物心線跟某鏡面的夾角簡稱為物對該鏡面的角；同樣，某像心線跟某鏡面的夾角稱為該像對該鏡面的角．這里須注意：物對同一鏡的“面”和“背”之角的和是360°；同一像對同一鏡的“面”和“背”之角的和也是360°．因此S對M鏡面的角是α，則S對M鏡背的角是360°-α．

下面我們就利用上述的說明和介紹討論兩平面鏡成像的規律．

1 像和物共面共圓

先證明像和物共面．因物點在紙面上，紙面同時垂直兩平面鏡，而像和物又關于鏡面對稱，因此物點和它在兩鏡后反復所成的全部像都在紙面上．即像和物同在過物點而垂直于兩鏡的平面．

既然像和物共面，且又關于鏡面對稱，則所有的像心距必等于物心距．因此像和物都在以三面交點O為圓心，以物心距長為半徑的圓周上．

2 兩系列虛像數

系列中第幾個像是終像，該系列就有幾個像．但確定終像，須討論終像區和終像條件．

2.1 終像區和終像條件．

我們知道，一鏡所成之像位置在另一鏡前，它可以作為物體在另一鏡后成像．但如果一鏡所成之像落在另一鏡之后，它不能作為物而再次成像了．因此，不論哪一系列，也不論哪個平面鏡所成的像，只要它落在以兩鏡延展面為邊界所夾的區域內或邊界上(圖中OA′及OB′所夾之區域)，此像就再也不能作為物而成像了，這個像就是該系列的終像．上述的角∠A′OB′所占有的區域(含邊界)叫終像區．

什么樣的像才能落在終像區呢？從圖中不難看出，當一鏡所成的像對另一鏡面之角等于或大于180°而又小于180°+θ時，此像一定在終像區了(等于180°時，像在邊界上；大于180°而小于180°+θ時，像在終像區內)．因此終像條件應是：一鏡所成的像對另一鏡面的角等于或大于180°而小于180°+θ．

2.2 兩系列各自的虛像數

從本文附圖中可以看出在M系中：

S對M鏡面的角φMO=α，在M鏡后對稱位置成像SM1；

SM1對N鏡面的角φM1=θ+α<180°，表明SM1在N鏡前，可作為物在N鏡后成像SM2；

SM2對M鏡面的角φM2=2θ+α<180°，表明SM2在M鏡前還可作為物在M鏡后成像SM3；

SM3對N鏡面的角φM3=3θ+α>180°而小于180°+θ，表明SM3已在終像區內了．它是M系列的終像．M系列有3個像．

同理，在N系列中：

S對N鏡面的角φNO=β，在N鏡后成像SN1；

SN1對M鏡面的角φN1=θ+β<180°，表明可作為物在M鏡后成像SN2；

SN2對N鏡面的角φN2=2θ+β<180°，表明可作為物在N鏡后成像SN3；

SN3對M鏡面的角φN3=3θ+β<180°，表明可作為物在M鏡后成像SN4；

SN4對N鏡面的角φN4=4θ+β>180°，但小于180°+θ，表明SN4在終像區內，SN4是系列的終像．N系列有4個像．

應注意上面討論中兩點：

(1)像記號和角記號的第二腳碼就是θ角的系數．

(2)第二腳碼若為奇數，該角是同名鏡成的像對異名鏡面的角；若為偶數，則該角是異名鏡成的像對同名鏡面的角．

現將上面的討論推廣到一般情況中去．

對M系列，若φMm=180°表示SMm在終像區邊界上；若φMm>180°而小于180°+θ，則SMm在終像區內．表示SMm是M系列的終像．

對N系列，若φNn=180°在終像區邊界上，若180°<φNn<180°+θ，表示SNn在終像區區域內．SNn是N系列的終像．

因此，如果SMm和SNn是終像則一定有

180°≤φMm<180°+θ

180°≤φNn<180°+θ

因φMm=mθ+α，φNn=nθ+β，故有

180°≤mθ+α<180°+θ

(1)

180°≤nθ+β<180°+θ

(2)

此兩式就是終像條件式．

由此可知M系列有m個像，N系列有n個像，但m和n的數值還需進一步討論．由式(1)、(2)可知m和n應滿足

和

180°=kθ+δ

代入(1)、(2)兩式后整理得

(3)

(4)

上兩式中m和n只能是自然數，因此當

(5)

(6)

3 虛像的總數

兩平面鏡所成虛像的總數不一定等于m+n因兩系列的終像可能重合．如果重合，則總像數

Z=m+n-1

重合條件的討論并不十分困難，因所有的像是共面共圓的，只要討論終像對相應鏡面的角就足夠了．下面分兩種情況討論．

(1)若m≠n，它們的差僅為1，因此若一個是奇數，另一個必為偶數，那么φMm和φNn必為兩終像SMm和SNn對同一個鏡面的角．若要兩終像重合必須φMm=φNn，即mθ+α=nθ+β．由于α和β均小于θ，它們的差更不可能等于θ，則等式φMm=φNn不成立．故當m≠n時，兩終像不重合．

(2)若m=n，則m和n同為奇數或同為偶數，那么φMm和φNn必為兩終像對不同鏡面的角，故考慮到兩鏡面朝向相反(順時針和逆時針方向)，且夾角為θ，要使兩終像重合，必須

φMm+φNn=360°+θ

如果m=n=k+1，左邊

φMm+φNn=mθ+α+nθ+β=

(k+1)θ+α+(k+1)θ+β=2kθ+3θ

右邊

360°+θ=2×180°+θ=

2(kθ+δ)+θ=2kθ+2δ+θ

因δ<θ，則φMm+φNn>360°+θ，兩終像也不重合．

如果m=n=k，左邊

φMn+φNn=mθ+a+nθ+β=

2kθ+(a+β) =2kθ+θ

右邊

360°+θ=2kθ+2δ+θ

顯然如果δ≠0，上述重合條件式φMm+φNn=360°+θ不能成立，兩終像仍不重合．只有當δ=0時，φMm+φNn=360°+θ才能成立，兩終像才重合．

因此兩終像重合必要而充分的條件是：δ=0，

這樣，虛像的總數就有以下幾種可能.

(2)δ≠0時，終像不重合，這時m和n可能同為k；可能一為k，一為k+1，也可能同為k+1．則虛像總數Z=2k或Z=2k+1或Z=2k+2．具體的數值要由式(5)至式(8)中的條件決定．

可見兩平面鏡成的像總數不僅決定于θ角，還決定于角α和β的大小(物點的位置)．

4 對以上所討論的規律須注意幾點

(1)上述公式是在0<θ<180°的情況下推出的．若θ=180°，上述公式無實際意義．因θ=180°時，實際就是一個平面鏡，不可能有兩系列的像．

(2)若θ=0，上述公式不再適用．但若θ=0看成是兩平面鏡鏡面對鏡面平行的話．那么上述的某些方法和結論仍然是有用的．例如，當兩鏡面不在一平面且相向平行，就沒有終像區了，可成無限多個像；又因兩鏡面相向不在一平面且平行，則過鏡面的兩平面永不相交，這可以理解為物心距無限大，像心距也無限大，則可視為物點和它的全部像點均分布在同一直線上(共線)．

5 總結

以上的論述和證明較散，需要歸納一下．

5.1 符號和腳碼

SMm和SNn，φNm，φNn分別為兩系列的像符號和角符號．第一腳碼是系列名稱；第二腳碼是數字．第二腳碼若為奇數，則該像是同名鏡所成之像；該角是該像對異名鏡面所夾的角．第二腳碼若為偶數，則該像是異名鏡所成之像，該角是該像對同名鏡面所夾的角．如SM3是M鏡成的像，φM3是SM3對N鏡面的夾角；SN2是M鏡成的像，φN2是SN2對N鏡面的夾角．

5.2 成像規律

(1)共面共圓．特珠情況下還共直線．

(2)成像數的確定

終像條件

(7)

式中m，n應滿足

(8)

上兩式中m和n只能是自然數，故當

(9)

(10)

已證明：δ=0時(即180°能被θ整除時)，兩系列終像重合，故成像總數Z=m+n-1；其他情況Z=m+n，故考慮到式(9)、(10)中的條件，總像數Z=2k或Z=2k+1或Z=2k+2．

6 舉例

【例1】設M和N兩平面鏡鏡面夾角為θ，物點S對M，N鏡面的角分別為α和β．試求

(1)θ=50°，α=40°，β=10°；

(2)θ=50°，α=26°，β=24°；

(3)θ=55°，α=30°，β=25°.

三種情況時像的總數．

解析

(1)當θ=50°，α=40°，β=10°時，k=3，δ=30°．由于余數δ不為零，兩終像不重合，又因β<δ<α，根據式(5)和式(8)，得m=k=3．n=k+1=4，則總像數Z=m+n=7個；

(2)θ=50°，α=26°，β=24°時，k=3，δ=30°，兩終像不重合，且δ既大于α又大于β，根據式(6)和式(8)，得m=n=k+1=4，則總像數Z=m+n=8個；

(3)θ=55°，α=30°，β=25°時，k=3，δ=15°，兩終像不重合，且δ<α，又δ<β，根據式(5)和式(7)，得m=n=k=3，則總像數Z=m+n=6個．

【例2】兩平面鏡M，N的鏡面夾角θ=60°，物點S對M，N鏡面的角分別為α=40°，β=20°．求兩鏡所成虛像總數及終像位置．

解析：θ=60°，α=40°，β=20°時，k=3，δ=0兩終像重合，且由式(5)和式(7)得m=n=k=3，則虛像總數Z=m+n-1=6-1=5個．

因φMm=φM3=3θ+α=3×60°+40°=220°，m=3為奇數，則φM3是終像SM3對異名鏡(N鏡)鏡面的角．故兩終像重合于對N鏡面的角為220°以O點為圓心、以物心距長為半徑的圓周上一點．

為減少篇幅，上述例子的圖形省略了．請讀者自行作圖驗證上例中的結果．