例析物理極值問(wèn)題的求解方法

張光新

(衡陽(yáng)縣第一中學(xué) 湖南 衡陽(yáng) 421200)

中學(xué)物理習(xí)題中，經(jīng)常遇到內(nèi)容豐富、難度較大和技巧性較強(qiáng)的物理極值問(wèn)題．求解物理極值問(wèn)題要綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和物理知識(shí)，巧用數(shù)學(xué)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)學(xué)函數(shù)圖像和物理圖像解答，能夠培養(yǎng)學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．而運(yùn)用數(shù)學(xué)工具處理物理問(wèn)題的能力是高考重點(diǎn)考查的5種能力之一，應(yīng)該得到足夠重視．下面通過(guò)典型例題分析物理極值問(wèn)題的常用求解方法．

1 利用一元二次函數(shù)求解

對(duì)于典型的一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c，

【例1】如圖1所示的電路中．電源的電動(dòng)勢(shì)E=12 V，內(nèi)阻r=0.5 Ω，外電阻R1=2 Ω，R2=3 Ω，滑動(dòng)變阻器R3=5 Ω．求滑動(dòng)變阻器的滑動(dòng)頭P滑到什么位置，電路中的電壓表的示數(shù)有最大值,最大值是多少.

圖1

解：設(shè)aP間電阻為x，外電路總電阻為R. 則

Umax=E-Iminr=12-4×0.5=10 V

即變阻器的滑動(dòng)頭P滑到R3的aP間為3 Ω處，電壓表有最大值，最大值為10 V．

2 利用三角函數(shù)求解

【例2】物體放置在水平地面上，物體與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，物體重為G，欲使物體沿水平地面做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，所用的最小拉力F為多大？

分析：該題的已知量只有μ和G，說(shuō)明最小拉力的表達(dá)式中最多只含有μ和G，但是，物體沿水平地面做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，拉力F可由夾角的不同值而有不同的取值．因此，可根據(jù)題意先找到與夾角有關(guān)的關(guān)系式再作分析．

圖2

解：設(shè)拉力F與水平方向的夾角為θ，根據(jù)題意可列平衡方程式， 即

Fcosθ-f=0N+Fsinθ=Gf=μN(yùn)

聯(lián)立解得

3 利用基本不等式求解

【例3】一輕繩一端固定在O點(diǎn)，另一端拴一小球，拉起小球使輕繩水平，然后無(wú)初速度地釋放，如圖3(a)所示，小球在運(yùn)動(dòng)至輕繩達(dá)到豎直位置的過(guò)程中，問(wèn)小球所受重力的瞬時(shí)功率在何處取得最大值？

圖3

解：當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到繩與豎直方向成θ角的C點(diǎn)時(shí)，重力的功率為

P=mgvcosα=mgvsinθ

(1)

小球從水平位置到圖3(b)中C位置時(shí)，機(jī)械能守恒有

(2)

令

y=cosθsin2θ

因?yàn)?/p>

又因?yàn)?/p>

2cos2θ+sin2θ+sin2θ=2(sin2θ+cos2θ)=2

當(dāng)且僅當(dāng)2cos2θ=sin2θ，y有最大值.

4 利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解

執(zhí)行新課程標(biāo)準(zhǔn)后，高中數(shù)學(xué)增加了導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容，如果當(dāng)Δx→0時(shí)，有極限，我們把這個(gè)極限叫做f(x)在該點(diǎn)(x=x0)的導(dǎo)數(shù)，它正是曲線(xiàn)在該點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率tanα．如果f′(x0) =0, 則在x0處函數(shù)有極值．

【例4】如圖4(a)所示，相距2L的A和B兩點(diǎn)固定著兩個(gè)正點(diǎn)電荷，帶電荷量均為Q．在它們的中垂線(xiàn)上的C點(diǎn)，由靜止釋放一電荷量為q，質(zhì)量為m的正檢驗(yàn)電荷(不計(jì)重力) ．試求檢驗(yàn)電荷運(yùn)動(dòng)到何處加速度最大，最大加速度為多少.

圖4

解：由于對(duì)稱(chēng)性，在AB的中點(diǎn)受力為零，在AB中垂線(xiàn)上的其他點(diǎn)所受合力均是沿中垂線(xiàn)方向的．當(dāng)q運(yùn)動(dòng)到中垂線(xiàn)上的D點(diǎn)時(shí)，由圖4(b)可知

故其加速度為

發(fā)現(xiàn)加速度是一個(gè)關(guān)于θ的函數(shù)，令f(θ)=sinθ-sin3θ，則f(θ)的導(dǎo)數(shù)為

f′(θ)=cosθ-3sin2θcosθ

令f′(θ)=0,即

cosθ-3sin2θcosθ=0

5 利用矢量三角形求解

在運(yùn)動(dòng)學(xué)中處理速度和位移，靜力學(xué)中處理物體的平衡，我們經(jīng)常運(yùn)用矢量三角形來(lái)求解某個(gè)矢量的最小值問(wèn)題．用矢量三角形分析和計(jì)算矢量的最小值，既簡(jiǎn)便又形象，有事半功倍的效果．

【例5】質(zhì)量為m的帶正電小球A懸掛在絕緣細(xì)線(xiàn)上，其電荷量為q，且處勻強(qiáng)電場(chǎng)中．當(dāng)小球A靜止時(shí)，細(xì)線(xiàn)與豎直方向成30°角，如圖5(a)所示，求勻強(qiáng)電場(chǎng)強(qiáng)度E的最小值及其方向．

圖5

解：由于小球受重力、電場(chǎng)力和繩的拉力處于靜止?fàn)顟B(tài)，根據(jù)小球平衡可作出其所受重力、電場(chǎng)力和拉力的矢量三角形，如圖5(b)．可見(jiàn),當(dāng)電場(chǎng)力qE和拉力F垂直時(shí)，電場(chǎng)力最小，即E最小．

由幾何關(guān)系得mgsin30°=qEmin

方向如圖5(b)垂直繩向上．

以上求極值的方法也是求解高考物理極值的常用方法．當(dāng)然，除了以上方法還可以用配方法、二次方程的判別式等方法求極值問(wèn)題．在使用中必須考慮實(shí)際問(wèn)題，找出符合物理規(guī)律的物理方程或物理圖像，利用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，使用合適而有效的方法，解決物理極值問(wèn)題．