用等效法求簡諧運動的周期

曹聰明 武維

(包頭市第九中學 內蒙古 包頭 014010)

簡諧運動典型模型有單擺和彈簧振子，在很多問題中出現了并非純粹的單擺或彈簧振子模型，因此就不能直接使用公式

求解運動周期．從單擺的周期公式中可以看出，與周期有關的參量分別是單擺的擺長L和重力場強g；從彈簧振子周期公式可以看出，與周期有關的參量分別是振子的質量m和勁度系數κ．因此，對于一些并非純粹的單擺或彈簧振子模型，我們可以從這些方面發現它們的等效性，使之轉化為可直接用單擺周期公式或彈簧振子周期公式求解的等效模型而求出它們的周期．

1 等效擺長

【例1】如圖1所示，一質量為M的車廂靜止在光滑水平面上，廂頂懸一擺長為L,擺球質量為m的單擺，單擺擺動時此擺的周期為多少？

圖1

解析：由于車和球的系統不受合外力，故系統質心在地面參考系中是定點．我們知道，單擺的運動是以其自然狀態下的豎直位置為對稱中心的，即單擺的運動坐標為x=Lsinθ．在本例中，擺球必定以系統質心所在豎直位置為對稱中心，質心在水平方向上與小球相距

因而其等效擺長為

由分析可知，車廂中的單擺做簡諧運動的等效擺長為

因此振動系統的周期為

圖2

解析：用C球替代人，它實際上是在繞AB軸擺動，根據擺動的物理情景可知，小球的懸點可以看成是AB線上的任意一點．

思路一：若選E為懸點，類似將單擺放置在光滑斜面上的情形，故等效重力加速度

所以

思路二：若選D為懸點，不需要分解重力加速度，等效擺長L=CD，過C點做AB的垂線交點為E，有

解得

所以

【例3】一個單擺，由一根長為l的剛性輕桿和兩個質量均為m的小球組成，一個小球固定在輕桿末端，另一個小球固定在輕桿中央，求這個(單)擺的周期．

解析：此時的擺動模型實際為復擺，高中階段并不研究、不學習復擺的周期，所以只能采用等效代替的思想完成此問題．

設此(單)擺偏離平衡位置的角度為θ，從靜止釋放到達到平衡位置的角速度為ω,根據機械能守恒定律有

解得

設有一個擺長l′的單擺與此(單)擺等效，擺長為l′的單擺偏離平衡位置角度為θ，從靜止釋放，到達平衡位置的角速度為ω′，根據機械能守恒定律有

解出

2 等效重力加速度

【例4】如圖3所示，一輛小車以加速度a做勻加速直線運動，車內有一單擺，擺長為L，小球質量為m,求這個單擺的擺動周期．

圖3

解析：小球相對小車做擺動，它相對小車做擺動的平衡位置不在豎直位置，設它在A位置，以車為參考系(非慣性參考系)，小球受力如圖4所示．

圖4

根據題意可列出方程

mgsinα=macosα

mgcosα+masinα=T

則等效加速度

3 等效質量

根據牛頓第二定律列出方程與振動標準方程比較，求等效質量．

【例5】如圖5所示，勁度系數為κ的輕彈簧豎直懸掛，下端與質量為M的圓柱體(不能轉動)連接，不能伸長的細線繞過圓柱體，兩端分別系有質量為m1和m2的重物，細繩與圓柱體的摩擦可忽略不計，試求兩重物同時運動時，圓柱體的振動周期．

圖5

解析：設兩重物同時運動時，M的加速度為a，方向向下，以M為參照物(為非慣性系)．以m1和m2為研究對象，根據牛頓第二定律有

m1g-m1a+m2a-m2g=(>m1+m2)a相對

(1)

以m1為研究對象以地面為參考系，根據牛頓第二定律有

m1g-T=m1(>a相對+a)

(2)

再以M為研究對象以地面為參考系，根據牛頓第二定律有

2T+Mg-κx=Ma

(3)

由式(1)有

代入式(2)有

代入式(3)有

設

則

可知等效質量

因此周期

【例6】如圖6所示，已知m1,m2，κ．滑輪質量不計，滑輪與輪軸及細線間摩擦不計．求：系統振動的周期．

圖6

解析：m1和m2的振動周期相同，由振動的過程可知m1和m2位移關系:s2=2s1.進一步可知m1和m2加速度關系為

a2=2a1

由牛頓第二定律可知

2T-m1g=m1a1

κx+m2g-T=m2a2

整理

進一步整理可得

設

則有

類比可知等效質量

所以周期

4 等效比例系數

根據受力情況分析回復力，寫出回復力的表達式與標準方程比較，求出等效比例系數．

【例7】如圖7所示,振動系統κ1=κ2=κ，如果不計兩滑輪的質量及一切摩擦，則該系統在豎直方向上振動的周期是多少.

圖7

解析：設彈簧又伸長Δx，以m為研究對象，m離開平衡位置的位移為4Δx，由于滑輪質量不計，細繩中張力為

則物體受到的回復力為

對m進行研究列出標準方程，可知F回=κ等效Δxm，又因為Δxm=4Δx，則F回=4κ等效Δx，即

【例8】如圖8所示，輕桿一端鉸鏈另一端用勁度系數為κ1的彈簧拉著．B點懸掛一個彈簧振子，整個系統處于平衡狀態，已知a,b,κ1,κ2,m．求這個振動系統的周期.

圖8

解析：用力向下拉m，使彈簧κ2又伸長Δx2，釋放m．整個系統開始振動．以m為研究對象．它受到的回復力設為F，有

F=κ2Δx2=κ等效Δx

Δx=Δx2+ΔxB

由輕桿力矩平衡可知

κ1Δx1a=κ2Δx2b

根據三角形相似可知

其中Δx是物體偏離平衡位置的位移，ΔxB是B點向下移動距離， Δx1是彈簧κ1在原基礎上的伸長量．

整理可知

進一步整理可知

解得

所以

通過這部分知識的學習，增強了學生學習物理的興趣，提升解決物理問題思維和方法． 高中物理特別注重物理方法的理解和掌握，因此我們在競賽輔導過程中有意識的借助一定的物理情景，讓學生體會如何構建物理模型，如何通過與標準形式進行比較，找到合理等效量，在解決問題中體會等效法的美妙之處，進而掌握等效法．

參考文獻

1 羅金明．等效法確定單擺周期公式中的“l”和“g” ．數理化學習(高中版)，2004(3)

2 陳麗欣．等效思想的充分應用單擺周期公式的分析與比較．物理通報，2010(7)

3 金鳳官．單擺周期公式的理解與靈活應用．物理教學探討，2009(33)

4 陳洪武．從機械能守恒的角度推導單擺簡諧振動的周期．物理與工程，2012，22(1)

5 沈晨．更高更妙的物理．杭州：浙江大學出版社，2006

6 王國德. 高考-奧賽全程對接-高中物理2-5版.北京：機械工業出版社，2008