一類隨機投入產出模型的穩定解研究

李 亮

南京審計學院數學與統計學院，江蘇南京 210029

一類隨機投入產出模型的穩定解研究

李 亮

南京審計學院數學與統計學院，江蘇南京 210029

對時滯為1且帶消費的動態投入產出模型，研究投入產出消耗系數矩陣、投資矩陣均為隨機矩陣時，穩定增長解的存在性問題。利用現代概率分析及馬氏過程等工具，證明不存在隨機動態投入產出模型的穩定增長解。即投入產出模型反映的經濟系統必須經常進行調整，其崩潰時間為無窮大的概率為零。

消耗系數矩陣；投資系數矩陣；消費；穩定增長解；崩潰時間

引言

Sargan J D從數學上指出[1]Leontief模型的內在不穩定性，由此引發數學上的爭論[2]，并使數學在該領域的應用研究取得重大結果[3-5]。近年來，許多學者[4-5]使用規劃等方法避開此模型的不穩定性，找出了此模型的穩定增長解。現實中，由于度量誤差、經濟技術變化等眾多原因，使投入產出消耗系數矩陣及投資系數矩陣在實現時是隨機波動的[7-8]。因此，有必要研究隨機動態投入產出模型。

考慮到現實中社會對各部門產品的最終消費也是影響經濟發展的一個重要因素，本文研究時滯為1且帶消費的前向延遲型隨機動態投入產出模型穩定增長解的存在性問題。利用現代概率分析及馬氏過程等工具，得 到了穩定增長解不存在的結論。即經濟崩潰時間為無窮大的概率為零。從而，從數學上證明了投入產出模型反映的經濟系統需要不斷調整的必要性。

1 預備知識

設A(t,ω)m×m、B(t,ω)m×m分別為第t年m個部門投入產出消耗系數矩陣，第t年m個部門投資系數矩陣，且取可列值；S(t)表示第t年社會對各部門產品的最終消費列向量；X(t,ω)為第t年的產出列向量。我們考慮如下模型：

稱（1.1）為帶消費時滯是1的前向延遲型隨機動態投入產出模型。

以λ1,λ2,...,λm表D的特征值，x1,x2,...xm表D對應于λ1,λ2,...,λm的右特征向量，且λ1=ρ(D)，x1是D的Perron向量。設

2 隨機動態投入產出模型確定的產出序列是一個馬氏過程

現在考慮帶消費的隨機動態投入產出模型，由（1.1）可得

3 經濟崩潰時間T(ω)為∞的概率為零

現在討論崩潰時間T(ω)的分布情況。記

4 結語

由于經濟發展變化的隨機性，人們自然考慮利用隨機分析來刻畫經濟規律。本文利用隨機分析的方法，研究了帶消費且投入產出消耗系數矩陣、投資系數矩陣均為隨機矩陣的動態投入產出模型，得到了經濟系統必須經常進行調整，其崩潰時間為無窮大的概率為零的結論。從而，從數學上說明了計劃經濟的缺陷。換句話說，經濟技術水平，投資水平和消費水平的波動對經濟的影響是不容忽視的，從而一成不變的計劃經濟體系是行不通的。

[1]Sargan J D. The instability of the Leontief dynamic model. Econometrica，1958，26：381-392[2]Leontief W. Lags and the stability of dynamic systems. Econometrica，1961，39：668

[3]華羅庚.計劃經濟大范圍最優化的數學理論(I)-(XI).科學通報，1984，29(12)：705-709.1984，29(13)：769-772.1984，29(16)：961-965.1984，29(18)：1089-1092.1984，29(21)：1281-1282.1985，30(1)：1-2.1985，30(9)：641-645.1983，30(24)：1841-1844

[4]郝金良.非線性動態優化投入占用產出模型及其仿真求解.系統工程理論與實踐，1996，(12)：44-48

[5]張金水.多重嵌套的可計算非線性動態投入產出模型及其平衡增長解.系統科學與數學，2000，20(4)：447-453

[6]Geng Xianmin. A dynamic input-output model solution with consumption.Systmes Sciencs and Systems Engineering，1999，8(2)：140-150

[7]陳木法.經濟最優化的隨機模型(Ⅰ)(Ⅱ).應用概率統計，1992，8(3)：289-294.1992，8(4)：374-377

[8]Chen Mufa，Li Yong. Stochastic model of economic optimization－collapse Theorem.北京師范大學學報(自然科學版)，1994，30(2)：185-194

[9] Geng Xianmin，Li Liang. Markov process functionals in finance and insurance. Applied Mathematics：A Journal of Chinese Universities（Series B)，2009，24(1)：21-26

O211.6；F224.9

10.3969/j.issn.1001-8972.2013.06.017

李亮（1980－）．女，碩士，講師，主要從事金融數學與計量經濟學研究。