論三個(gè)收益率的數(shù)量關(guān)系和最具價(jià)值收益率

胡 鈞

(西南政法大學(xué)寶圣湖校區(qū)，重慶 401120)

一、外部收益率的兩種定義

在技術(shù)經(jīng)濟(jì)和工程經(jīng)濟(jì)文獻(xiàn)里面普遍使用的外部收益率目前有兩種定義式。第一種也是用得最多的一種是［1－7］:

式中:Kt和Rt分別是項(xiàng)目笫t年的投資和收益(均為正值)，有的文獻(xiàn)［6－7］用負(fù)現(xiàn)金流量 COt和正現(xiàn)金流量 CIt，實(shí)質(zhì)相同。ERR是外部收益率。i是外部利率，通常采用基準(zhǔn)收益率ic或最低吸引力收益率MARR。

第二種采用不太多［8－10］，也被稱為“修正內(nèi)部收益率”的是［11－13］:

式(2)與式(1)唯一不同點(diǎn)就是公式左端有一部分，即(1+IRR)－t換成了(1+i)－t。這意味式(2)對(duì)投資的折現(xiàn)和折終分別采用了不同利率，折現(xiàn)用i，折終用ERR。相反，式(1)無論折現(xiàn)和折終，始終采用同一利率ERR(由于引入i，必須有折終才能計(jì)算ERR)。至于收益部分各Rt再投資收益率，式(1)與式(2)沒有區(qū)別，都是外部利率i，這是比內(nèi)部收益率合理之處。

引入外部收益率最好能夠解決內(nèi)部收益率必須求解一元高次方程帶來的多根或無根困難，以及不得不采用線性內(nèi)插等近似算法來求根的麻煩。在這一點(diǎn)上式(2)比式(1)優(yōu)越。請(qǐng)看下面例子:

例1:某項(xiàng)目初始投資100萬(wàn)元，壽命期10年，每年收入35萬(wàn)元，支出15萬(wàn)元，固定資產(chǎn)殘值10萬(wàn)元，笫6年末有追加投資20萬(wàn)元，基準(zhǔn)收益率為10%，試求該項(xiàng)目ERR。

解:這是一個(gè)非常規(guī)投資項(xiàng)目，用式(1)有

用內(nèi)插法(省略前面各步試算):

將結(jié)果改變正負(fù)號(hào)后代入內(nèi)插法公式得:

顯然，用式(2)比用式(1)簡(jiǎn)便許多。式(1)雖然解決了方程的多根困難(只有一次正負(fù)號(hào)變更)但并未解決內(nèi)部收益率計(jì)算方面的全部問題。除了初始一次性投資項(xiàng)目，仍不能避免必須采用內(nèi)插、迭代等近似計(jì)算方法的麻煩。而式(2)雖也是高次方程，但除了常數(shù)項(xiàng)，只有最高次(n次)項(xiàng)一項(xiàng)，因此只需直接開方即可。

在下面討論三種收益率的關(guān)系時(shí)可進(jìn)一步看到這兩個(gè)外部收益率在與內(nèi)部收益率接近程度方面的差異。

二、3種收益率的關(guān)系

從公式形式上來看，顯然式(1)比式(2)更靠近內(nèi)部收益率公式。如果像現(xiàn)在這樣把式(1)稱為外部收益率卻把式(2)稱為修正內(nèi)部收益率，似有名不副實(shí)之嫌。恐怕把名稱顛倒一下更恰當(dāng)一些。但“修正”二字稱呼不妥，不如另取內(nèi)、外之間的一個(gè)“中”字似乎更貼切些。因此，為避免“外部收益率”名稱被重復(fù)和混淆使用，我們且把式(1)稱為“中部收益率”，即central rate of return(CRR)，把式(2)稱為“外部收益率”，即 external rate of return(ERR)。它們與“內(nèi)部收益率”，即internal rate of return(IRR)(定義式見下面)的共同區(qū)別在于引進(jìn)了一個(gè)“非內(nèi)部利率i”，但二者與它的靠近程度明顯不同。

不僅形式上，就是實(shí)質(zhì)上CRR也比ERR更接近IRR。首先，CRR和IRR都有內(nèi)部一致的投資收益率和內(nèi)部一致的再投資收益率。只不過IRR這兩個(gè)收益率一致而CRR不一致而己。但ERR則根本不具有內(nèi)部一致的投資收益率，也不具有內(nèi)部一致的再投資收益率，因?yàn)楦魍顿YKt(t=0)在折現(xiàn)又折終的過程中巳經(jīng)改變了K0的投資收益率(ERR)和各收益Rt的再投資收益率(i)。其次，CRR和IRR二者都必須反復(fù)進(jìn)行凈現(xiàn)值或凈終值的計(jì)算才能依靠插值、迭代等近似計(jì)算方法求得精確值，只不過對(duì)IRR是全部情形，對(duì)CRR是除去初始一次性投資外的所有情形。但ERR根本不需要這樣做，只需計(jì)算一次凈終值便可得到精確值，也不需迭代、插值等近似方法。CRR只有一點(diǎn)與IRR不同卻與ERR相同，那就是引進(jìn)非內(nèi)部利率(外部利率)i這一點(diǎn)。

下面通過一個(gè)例題來比較三種收益率計(jì)算的結(jié)果。

例2:某項(xiàng)目初始投資100萬(wàn)元，第一年末追加投資100萬(wàn)元，笫2年末再追加50萬(wàn)元，項(xiàng)目計(jì)算期10年，從笫2年末至期終每年凈收益45萬(wàn)元，固定資產(chǎn)殘值30萬(wàn)元，基準(zhǔn)收益率i=10%，求該項(xiàng)目的ERR，CRR，IRR。

解:

CRR、IRR的計(jì)算省略其他試算過程，也未經(jīng)迭代計(jì)算精確值，但ERR是精確到小數(shù)點(diǎn)后四位的數(shù)值。CRR、IRR雖也取至小數(shù)點(diǎn)后四位，但不能保證精確到此位。

結(jié)果顯示:IRR＞CRR＞ERR。這種關(guān)系是否在任何情形都成立呢?我們有下面定理。

三、收益率數(shù)量關(guān)系定理

定理1 當(dāng)ERR=CRR=i時(shí)，有IRR=CRR=ERR。

定理2 當(dāng)ERR＞i，CRR＞i時(shí)，有IRR＞CRR＞ERR。

定理3 當(dāng)ERR＜i，CRR＜i時(shí)，有IRR＜CRR＜ERR。

證明:1.定義式(3)、(4)、(5)可變形為

當(dāng)ERR=i，式(8)為 ∑(Rt－Kt)/(1+ERR)t=0;當(dāng)CRR=i，式(7)為∑(Rt－Kt)/(1+CRR)t=0;而式(6)為∑(Rt－Kt)/(1+IRR)t=0。三式皆為0，即得ERR=CRR=IRR。

2.①證當(dāng)CRR＞i時(shí)有CRR＞ERR，此時(shí)有∑Kt/(1+CRR)t＜∑Kt/(1+i)t由式(7)、(8)必有

(1+i)n/(1+CRR)n＜(1+i)n/(1+ERR)n由此即得CRR＞ERR。

② 證當(dāng)ERR＞i時(shí)有IRR＞i將式(6)、(8)合并得

由于(1+i)n/(1+ERR)n＜1 使得Rt(1+i)n/(1+ERR)n－Kt＜Rt－Kt

這必使合并式兩邊分母有 (1+i)t＜(1+IRR)t即得IRR＞i。

③ 證當(dāng)CRR＞i且IRR＞i時(shí)有IRR＞CRR。

此時(shí) (1+i)n/(1+CRR)n＜1且∑Rt/(1+IRR)t＜(1+i)n/(1+CRR)n∑Rt/(1+i)t

由式(6)、(7)，必有

由此即得IRR＞CRR。

綜合 ①②③得:當(dāng)ERR＞i，CRR＞i有IRR＞CRR＞ERR。

3.同理可證:當(dāng)ERR＜i，CRR＜i有IRR＜CRR＜ERR。

四、最具價(jià)值的投資收益率ERR(i)和最低收益率ERR(0)

對(duì)于投資項(xiàng)目，自然希望收益率必須大于i(行業(yè)基準(zhǔn)收益率或其他外部利率，如MARR等)，因此一般情形IRR＞CRR＞ERR關(guān)系成立。

從預(yù)防風(fēng)險(xiǎn)的角度講，當(dāng)然在幾個(gè)收益率中取小一些的比較放心和保險(xiǎn)。所以ERR最具參考價(jià)值，加上它適用面廣，計(jì)算又簡(jiǎn)便，筆者認(rèn)為ERR應(yīng)該成為最具價(jià)值的投資收益率。的確也有學(xué)者建議用ERR取代IRR(但他們采用的是CRR)［14－15］。

但是ERR需要事先確定一個(gè)外部利率i并最后與之比較以確定投資項(xiàng)目是否可行，這是ERR比IRR麻煩的地方，就看如何取舍了。筆者認(rèn)為，如果投資者實(shí)事求是地設(shè)定一個(gè)項(xiàng)目的“期望收益率”，把它作為i并非難事，不必非得與什么行業(yè)基準(zhǔn)收益率或最低吸引力收益率掛鉤，這樣i就比較好確定，所以ERR還是遠(yuǎn)比IRR的麻煩少得多。

還可以有另一種考慮。與其費(fèi)周折地選取i不如干脆取最簡(jiǎn)單的情形i=0。這相當(dāng)于未引入外部利率。這個(gè)指標(biāo)可用ERR(0)表示。根據(jù)公式(2)可知

ERR(0)如果與投資者的“期望收益率”接近或大于它，項(xiàng)目便是可接受的。如果比“期望收益率”小得太多，項(xiàng)目可拒絕。但更客觀的比較標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)該取一年期銀行利率或國(guó)債利率即市場(chǎng)基本利率。只要ERR(0)大于基本利率，項(xiàng)目就具有可行性。

項(xiàng)目評(píng)價(jià)有一個(gè)常用靜態(tài)指標(biāo)叫做“投資收益率”R=A/P(A:年平均收益，P:總投資)。例題2這個(gè)指標(biāo)值為0.174，數(shù)據(jù)太大參考意義有限。如果取“扣除投資后收益率”即(A－P/n)/P或(nA－P)/nP(n為項(xiàng)目壽命期)。例題2這個(gè)指標(biāo)值是0.074，參考意義應(yīng)比R大。但ERR(0)比它還小，對(duì)例題2應(yīng)用式(9)得ERR(0)=0.057。因此可以把ERR(0)稱為“最低收益率”。看似靜態(tài)指標(biāo)，但由于i可變動(dòng)，本質(zhì)上還是動(dòng)態(tài)指標(biāo)。

最低收益率向項(xiàng)目決策人提醒在投資風(fēng)險(xiǎn)下不能期望過高收益率，它對(duì)項(xiàng)目評(píng)價(jià)應(yīng)該具有一定價(jià)值和重要的參考意義，且對(duì)項(xiàng)目間收益率的相互比較增添了一個(gè)可與IRR匹敵但計(jì)算卻非常方便的效率型指標(biāo)。

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(責(zé)任編輯 張佑法)