“正切函數(shù)的性質(zhì)與圖像”的教學(xué)實踐與認識

◆胡曉雯

(杭州市長河高級中學(xué))

1 案例背景

2012 年12 月，筆者參加了校內(nèi)舉行的“聚焦課堂 高效教學(xué)研究月”的活動，開設(shè)了一節(jié)公開課——“正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象”。課后通過專家點評、與同行交流，對學(xué)生的主體性地位有了更為深入的認識，對新課程理念有了更為具體的理解，對以“教給學(xué)生什么、怎樣教給學(xué)生”為立足點開展的有效教學(xué)活動很受啟發(fā)。下面是筆者對這次活動的心得體會，希望引起同行的關(guān)注。

2 教學(xué)過程

在研究正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)時，我們借助于單位圓中的正弦線，通過平移、描點作出了正弦函數(shù)的圖像，再結(jié)合圖像研究性質(zhì)并解決相關(guān)問題。因此在教學(xué)中，很多同行都會采用類比思想，先大致作出正切函數(shù)圖像，再通過圖像研究其性質(zhì)并解決相關(guān)問題。本著新課改理念，新課程不僅僅利用類比思想來研究正切函數(shù)，而且在此基礎(chǔ)上做了更大的突破。它換了一個新視角來研究正切函數(shù):先根據(jù)已有的知識研究正切函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，結(jié)合性質(zhì)作出圖像，再由圖像去驗證已有的性質(zhì)并挖掘其它性質(zhì)，最后利用圖像和性質(zhì)解決相關(guān)問題。這樣既為合理作出正切函數(shù)的圖像奠定了理論基礎(chǔ)，同時也傳遞給學(xué)生一個訊息，研究函數(shù)的相關(guān)問題時，數(shù)形結(jié)合不僅僅是從形到數(shù)的研究，也可以從數(shù)到形來進行研究。這樣既拓寬了學(xué)生的思維，又使學(xué)生研究問題的方法更上了一個臺階。在此思想的指導(dǎo)下，筆者在教學(xué)中收到了很好的效果。現(xiàn)將本次活動的課堂教學(xué)案例梳理如下，如有不足，懇請斧正。

教學(xué)過程如下:

2.1 復(fù)習(xí)并引入新課

練習(xí):畫出下列各角的正切線

設(shè)計意圖:借助于單位圓讓學(xué)生作出正切線，既是復(fù)習(xí)也為后面用類比的思想作出正切曲線埋下了伏筆。教師就是引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系原有的知識，為學(xué)習(xí)新知做好鋪墊。這時教師可選擇一些有代表性的作圖結(jié)果，然后用實物投影展示，這樣哪怕教師不點撥，學(xué)生就清楚了自己的問題所在，充分體現(xiàn)了以學(xué)生為主體的思想。

2.2 主動探究，解決問題

2.2.1 研究正切函數(shù)的性質(zhì)

設(shè)計意圖:教師先設(shè)計好學(xué)案，讓學(xué)生利用在單位圓中作出的正切線，自己去研究正切函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。教師利用幾何畫板做出角的終邊在各個象限時正切線的動畫演示。讓學(xué)生通過幾何的畫板演示直觀感知正切函數(shù)的“兩域三性”。(這里也可利用其它知識研究正切函數(shù)的性質(zhì)，如用三角函數(shù)的定義去研究定義域和值域，結(jié)合誘導(dǎo)公式研究周期性、奇偶性…)這樣不僅發(fā)揮了學(xué)生的能動性，而且發(fā)散了學(xué)生的思維。因為學(xué)生在收集、整理性質(zhì)過程中又是一次思維的整合，對如何研究函數(shù)性質(zhì)又更進了一步。教師在巡視過程中及時匯總學(xué)生意見，引導(dǎo)學(xué)生形成正確的知識和方法。同時教師事先要估計學(xué)生學(xué)習(xí)中會遇到的困難，想方設(shè)法幫助學(xué)生突破難點。避免教師對學(xué)生喋喋不休的低效灌輸，這既是對學(xué)生主體性地位的尊重，也是踐行新課程“以學(xué)生的發(fā)展為本”理念的需要。)

2.2.2 結(jié)合性質(zhì)，小組合作探究，作出函數(shù)的圖像

類比y=sinx 圖象的由來，你能通過單位圓的正切線作y=tanx，x ∈的圖象嗎?

1.先畫出y=tanx 在一個周期內(nèi)的簡圖。

2.教師用投影儀展示作圖結(jié)果，并作出在定義域上的圖象。

3.投影儀展示完整圖像。目的是規(guī)范作圖，理順?biāo)悸返淖饔谩?/p>

教師小結(jié):

第一步:畫出正切函數(shù)的在一個周期內(nèi)的圖象;

第二步:將圖象向左、向右平移拓展到整個定義域上去;

第三步:根據(jù)圖象總結(jié)性質(zhì)。

設(shè)計意圖:從教學(xué)實踐看，教師盡可大膽放手把活動、思考的時間還給學(xué)生，把觀察、歸納、概括、探究的機會讓給學(xué)生，這樣有助于學(xué)生思維的發(fā)展。教學(xué)中先讓學(xué)生自主繪圖，再投影學(xué)生的圖像，通過投影儀糾正圖像。最后再結(jié)合前面研究出的性質(zhì)讓學(xué)生進一步觀察圖像。這樣學(xué)生結(jié)合定義域會明白為什么正切函數(shù)會有兩條漸近線，結(jié)合值域明白為什么函數(shù)圖像可以向上向下無限延伸，結(jié)合奇函數(shù)和單調(diào)性明白了如何正確連線成圖才能得到較精確的正切函數(shù)圖像。這樣通過學(xué)生自己動手得到圖像，使學(xué)生學(xué)會了一類周期性函數(shù)的研究方式。學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究的過程，體驗探索的樂趣，增強了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，從而提升學(xué)生分析問題的能力及嚴密認真的態(tài)度。課程標(biāo)準(zhǔn)指出，教師需要合理利用信息技術(shù)輔助教學(xué)，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓學(xué)生的理解更透徹。

2.2.3 觀察圖像，小組合作討論進一步研究性質(zhì)

(1)正切函數(shù)的圖像是被相互平行的直線x=kπ+π

2，k ∈Z 所隔開的無窮多支形狀完全相同的曲線組成的。

(3)正切函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱;(問:還有其他的對稱中心嗎?)總結(jié)出對稱中心為，無對稱軸

設(shè)計意圖:除了前面所研究的正切函數(shù)性質(zhì)外，讓學(xué)生進一步觀察函數(shù)圖象。分小組根據(jù)正切函數(shù)圖象去驗證正切函數(shù)已有的性質(zhì)，并挖掘出其它的性質(zhì)。教師提出問題后，先讓學(xué)生自主探究，嘗試解決。教學(xué)中經(jīng)常會遇到這樣的情況，教師剛把問題提出來，就開始頭頭是道的分析起來，或者沒等學(xué)生充分思考就開始提問，剝奪了學(xué)生思維活動的時間和空間。學(xué)生的思維豐富多彩，有奇思妙想，教師可能始料未及。筆者在教學(xué)中通過四人小組合作、交流，留足夠的時間讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)正切函數(shù)的其它性質(zhì)。根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)知識的發(fā)生發(fā)展成熟過程，充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體性，讓學(xué)生活起來。小組討論過后，先讓其中一個小組成員總結(jié)、發(fā)言，其它各小組補充或更正，這樣可以培養(yǎng)學(xué)生之間的團結(jié)協(xié)作能力及勇于探索的精神。

2.2.4 類比正弦函數(shù)“五點法”作圖，如何快速作出正切函數(shù)的簡圖?

正切函數(shù)圖象的簡單作法:三點兩線法

“三點”:

“兩線”:

設(shè)計意圖:在學(xué)生自主探究、合作交流的基礎(chǔ)上，借助于單位圓作出了較為精確的正切函數(shù)圖像，但在利用函數(shù)圖像解決問題時，這樣作圖既費神又費力。所以教學(xué)中類比正余弦函數(shù)圖像簡圖的作法，教師引導(dǎo)學(xué)生利用三點兩線法快速作出正切函數(shù)的簡圖，從而解決相關(guān)問題。

2.3 通過練習(xí)，鞏固基礎(chǔ)

設(shè)計意圖:在課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)教學(xué)不是“結(jié)果”的教學(xué)，而是“思維活動過程”的教學(xué)，通過前面問題的提出過程，知識的獲取過程，結(jié)論的探究過程，認識的升華過程以及分析、解決問題的艱難曲折思維過程后，接下來讓學(xué)生借助于研究好的圖像和性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合思想解決相關(guān)問題，及時了解學(xué)生課堂中知識掌握的情況。正是有了前面的一系列的教學(xué)過程，學(xué)生自己思考得多，通過自己探究獲取的知識掌握得很好，所以學(xué)生就能利用所學(xué)的知識，快速地解決相關(guān)的問題。

2.4 總結(jié)思考，提高能力

學(xué)生交流在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的體會、收獲，交流學(xué)習(xí)過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結(jié)。

(1)學(xué)習(xí)了正切函數(shù)圖像的作法;理解了正切函數(shù)的圖像特征;掌握正切函數(shù)的基本性質(zhì)。

(2)學(xué)會用類比方法研究問題，滲透數(shù)形結(jié)合的思想。

(3)體驗了成功的快樂。

設(shè)計意圖:整堂課已經(jīng)接近尾聲，筆者也想了解一下學(xué)生在這堂課中收獲和體會。筆者隨機叫了兩名同學(xué)進行了課堂小結(jié)。其中一名男生回答說:“在接觸一個新函數(shù)時，可以嘗試回憶學(xué)過的已有函數(shù)，看看能不能利用類比的思想解決一類問題，然后大膽去猜想、論證。”另外一名女生說:“通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，使她明白了合作、交流，自主探究的魅力。也明白了可以多角度地去研究函數(shù)問題:數(shù)形結(jié)合不僅僅是從形到數(shù)的研究，也可以換個角度從數(shù)到形來研究，為我們研究數(shù)學(xué)問題提供了新視角。”教室里頓時響起了雷鳴般的掌聲，這是我事先沒預(yù)料到的，也充分說明筆者這節(jié)課上得非常成功。學(xué)生通過自主思考、合作探究的成效是顯著的!

2.5 分層作業(yè)，鞏固拓展

(1)全體同學(xué)完成作業(yè)本;

(2)每位同學(xué)結(jié)合今天研究的內(nèi)容，設(shè)計一道回家作業(yè)題，并完成。

3 案例反思

對相同的教學(xué)內(nèi)容不同的教師處理教材的方法可能也不一樣。這些不同，緣于教師對教材的理解與處理、對學(xué)生原有認知結(jié)構(gòu)的認識以及對教學(xué)實際的把握;也緣于教師教學(xué)風(fēng)格的不同。這節(jié)課表面看看很簡單，內(nèi)容也不多，前面又有了正余弦函數(shù)研究的鋪墊，上起來應(yīng)該不難。但專家點評說這節(jié)課要把它上好是非常難的，很容易上成一節(jié)流水課，沒有什么新意。而且這堂課實際上是高中教材中很難啃的一塊骨頭。不過專家對筆者的這堂課給予了高度的肯定和贊賞，認為筆者很好的實施了新課程理念，課堂中讓學(xué)生共同探討，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)問題、解決問題。對學(xué)生核心數(shù)學(xué)思想的提升有很大的幫助。同時處處保持互動，以學(xué)生為本，充分發(fā)揮和挖掘?qū)W生的潛能。同時肯定筆者具有很好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)!通過課后與同行交流、聆聽專家點評后，筆者更深刻地認識到數(shù)學(xué)教育要彰顯出學(xué)生的主體性地位。如果教師提出問題后就講個不停，這樣只能用教師的思維，或少數(shù)幾個被提問學(xué)生的思維填補其它大多數(shù)學(xué)生的思維，這樣的結(jié)果是強迫學(xué)生接受，破壞了思維活動的自主性、獨立性，有礙于學(xué)生思維的發(fā)展。課堂教學(xué)中要充分尊重學(xué)生的思維活動過程，讓其暴露出來，即使思維過程是錯誤的甚至是可笑的，但這實際是存在的，不可以視而不見。教師需要根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容，指導(dǎo)學(xué)生靈活采用接受、記憶、模仿、練習(xí)、自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學(xué)的學(xué)習(xí)方式;在教學(xué)中，可以借助信息技術(shù)，提高課堂容量，把難以呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)本質(zhì)揭示出來，也可以用數(shù)學(xué)實驗讓學(xué)生體驗知識形成的過程。要以“教給學(xué)生什么、怎樣教給學(xué)生”為立足點，踐行新課程的教育理念，開展有效的教學(xué)活動。

感謝“聚焦課堂 高效教學(xué)研究月”的活動，使筆者從理論到實踐對數(shù)學(xué)教學(xué)都有了更新的認識。在今后的教學(xué)中，筆者將切實地尊重學(xué)生的主體地位，踐行新課程理念，扮演好引導(dǎo)者、組織者、合作者的角色。

［1］普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)［S］.北京:人民教育出版社，2003.

［2］李昌官.數(shù)學(xué)優(yōu)秀課成長的基礎(chǔ)、過程與方法.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2010.