彈藥協(xié)調(diào)器結(jié)構(gòu)和位置控制動(dòng)力學(xué)分析

郭宇飛，侯保林

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京 210094)

0 引言

彈藥協(xié)調(diào)器是坦克彈藥自動(dòng)裝填系統(tǒng)的重要部件，它在一個(gè)固定位置，接受來(lái)自彈藥倉(cāng)的彈藥，然后在控制器的作用下進(jìn)行彈藥協(xié)調(diào)，使得彈藥軸線與待發(fā)射狀態(tài)下的炮管軸線平行［1］。在坦克行進(jìn)間連續(xù)射擊過(guò)程中，一方面，由于火炮連續(xù)射擊過(guò)程的劇烈振動(dòng)，彈藥協(xié)調(diào)器在工作過(guò)程中要承受強(qiáng)烈的外部擾動(dòng);另一方面，由于受到路面不平度的激勵(lì)，彈藥協(xié)調(diào)器的安裝基礎(chǔ)，即車體會(huì)產(chǎn)生隨機(jī)振動(dòng)，也對(duì)彈藥協(xié)調(diào)器的工作穩(wěn)定性產(chǎn)生影響［2］。

為了研究彈藥協(xié)調(diào)器在安裝基礎(chǔ)擾動(dòng)下的位置控制問題，本文以坦克彈藥自動(dòng)裝填系統(tǒng)為背景，設(shè)計(jì)了一個(gè)按比例縮小的兩自由度的彈藥協(xié)調(diào)器模型，提出了一種針對(duì)這類存在不確定性外部擾動(dòng)的拉格朗日系統(tǒng)的位置控制方案［3-4］。

1 彈藥協(xié)調(diào)器的工作原理和動(dòng)力學(xué)方程

彈藥協(xié)調(diào)器安裝在坦克底盤上，接收來(lái)自彈藥倉(cāng)的彈藥，將彈藥提升一定的高度，翻轉(zhuǎn)相應(yīng)的角度，使得彈藥到達(dá)炮尾并與炮膛軸線同軸。在工作過(guò)程中，要求彈藥協(xié)調(diào)器能夠克服火炮射擊和車體振動(dòng)所產(chǎn)生的不確定擾動(dòng)力，在2 s 內(nèi)將彈藥送到指定的位置。

圖1為彈藥協(xié)調(diào)器的工作原理圖。彈藥協(xié)調(diào)器由支架、升降部分與回轉(zhuǎn)部分組成，采用鏈傳動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)彈藥的升降動(dòng)作。主動(dòng)鏈輪與從動(dòng)鏈輪在同一鉛垂面內(nèi)，主動(dòng)鏈輪在下，從動(dòng)鏈輪在上。主動(dòng)鏈輪由電機(jī)、減速器與聯(lián)軸器驅(qū)動(dòng)，在鏈條的一邊采用張緊輪來(lái)保證鏈傳動(dòng)能力。鏈條的另一邊安裝的回轉(zhuǎn)部分可以沿著支架上的導(dǎo)軌上下滑動(dòng)。回轉(zhuǎn)部分包括電機(jī)、兩個(gè)減速器與彈藥接收機(jī)械臂。機(jī)械臂可以任意角度回轉(zhuǎn)。采用左右對(duì)稱的鏈傳動(dòng)結(jié)構(gòu)來(lái)保證其工作穩(wěn)定性，如圖2所示。

圖1 彈藥協(xié)調(diào)器的工作原理Fig.1 The working principle of ammunition coordinator

圖2 彈藥協(xié)調(diào)器的虛擬樣機(jī)模型Fig.2 The virtual prototype model of ammunition coordinator

將彈藥協(xié)調(diào)器簡(jiǎn)化為在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型，如圖3所示。其中，XOY 為笛卡爾坐標(biāo)系;B1為安裝基礎(chǔ)，B2為升降部分，B3為回轉(zhuǎn)部分;O1、O2與O3分別為B1、B2與B3的質(zhì)心;y1為安裝基礎(chǔ)的振動(dòng)位移，y2為升降部分的位移，θ 為回轉(zhuǎn)部分繞O2的回轉(zhuǎn)角度，L 為O2與O3之間的距離。

圖3 彈藥協(xié)調(diào)器的簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)模型Fig.3 The simplified dynamics model of ammunition coordinator

以安裝基礎(chǔ)的振動(dòng)位移、升降部分的位移與回轉(zhuǎn)部分的回轉(zhuǎn)角度為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，由第二類Lagrange方程，可以得到彈藥協(xié)調(diào)器的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程

式中:m1、m2和m3分別為安裝基礎(chǔ)、升降部分和回轉(zhuǎn)部分的等效質(zhì)量;J 為回轉(zhuǎn)部分的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;R 為安裝基礎(chǔ)受到的不確定振動(dòng)力;F 為鏈傳動(dòng)作用在提升部分上的提升力;M1為作用在回轉(zhuǎn)部分上的轉(zhuǎn)矩;g 為重力加速度。

式中:m11、m12、m13與m14分別為支架、鏈傳動(dòng)電機(jī)、減速器與聯(lián)軸器的質(zhì)量;m15、m16、m17、與m18分別為主動(dòng)鏈輪、從動(dòng)鏈輪、張緊輪與主動(dòng)鏈輪軸的質(zhì)量;q 為單位長(zhǎng)度鏈條的質(zhì)量，l 為鏈長(zhǎng);m21、m22、m23、m24、m25與m26分別為升降部分左右安裝板、回轉(zhuǎn)電機(jī)、回轉(zhuǎn)部分兩減速器與回轉(zhuǎn)機(jī)械臂的質(zhì)量;I11、I12、I13與I4分別為回轉(zhuǎn)電機(jī)、回轉(zhuǎn)部分兩減速器與回轉(zhuǎn)機(jī)械臂的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;i11、i12與i13分別為回轉(zhuǎn)電機(jī)、兩減速器到回轉(zhuǎn)機(jī)械臂的減速比;η11與η12分別為回轉(zhuǎn)部分兩減速器的傳動(dòng)效率;τ1為回轉(zhuǎn)電機(jī)的驅(qū)動(dòng)力矩。

回轉(zhuǎn)電機(jī)采用他激直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)，其控制方程［6］為

式中:Ua1、Ia1分別為電壓和電流;Rm1、Lm1分別為電樞的電阻和電感;φ1為磁通;k1為比例系數(shù);Kt1為扭矩常數(shù)。

將鏈傳動(dòng)化為鏈節(jié)撓性可忽略不計(jì)的閉環(huán)多剛體動(dòng)力學(xué)模型［7］。如圖4所示，把緊邊鏈條簡(jiǎn)化為一個(gè)直線運(yùn)動(dòng)的剛性塊me1;以張緊輪為界，把松邊鏈條簡(jiǎn)化為兩個(gè)直線運(yùn)動(dòng)的剛性塊me2、me3;與鏈輪嚙合部分的鏈條分別簡(jiǎn)化為繞各自鏈輪軸定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體Ie1、Ie2、Ie3.

鏈傳動(dòng)為一單自由度多剛體系統(tǒng)，可以用單自由度多剛體系統(tǒng)的等效法來(lái)建立鏈傳動(dòng)部分的動(dòng)力學(xué)方程。選擇主動(dòng)鏈輪軸為等效構(gòu)件，有:

式中:θe為主動(dòng)鏈輪的轉(zhuǎn)角;為主動(dòng)鏈輪的轉(zhuǎn)速;Me為等效力矩。

圖4 鏈傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)分析Fig.4 The dynamics analysis of chain drive system

式中:ve為鏈條的速度;α1與α2分別為相應(yīng)剛體的重力與速度的夾角;τe為鏈傳動(dòng)中電機(jī)的力矩;ie1為電機(jī)到鏈輪的減速比;ηe1與ηe2分別為減速器與聯(lián)軸器的傳動(dòng)效率。

等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

式中:mj包括me1、me2與me3;Jα、Jβ與Jγ分別為主動(dòng)鏈輪軸、從動(dòng)鏈輪軸與張緊輪轉(zhuǎn)軸上的所有轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;ωe1與ωe2分別為從動(dòng)鏈輪與張緊輪的轉(zhuǎn)速;Id1、Id2與Id3分別為鏈傳動(dòng)中電機(jī)、減速器與聯(lián)軸器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;ie2為鏈傳動(dòng)中減速器的減速比。

鏈傳動(dòng)電機(jī)也采用他激直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)，其控制方程［6］為

式中:Uae、Iae分別為電壓和電流;Rme、Lme分別為電樞的電阻和電感;φe為磁通;ke為比例系數(shù);Kte為扭矩常數(shù)。

(1)式～(12)式構(gòu)成了彈藥協(xié)調(diào)器的動(dòng)力學(xué)方程組，這是一組非線性方程。

2 位置控制器系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)計(jì)算

考慮系統(tǒng)的拉格朗日形式的動(dòng)力方程為

為系統(tǒng)動(dòng)能，〈，〉為兩個(gè)向量的內(nèi)積，A(q)為系統(tǒng)動(dòng)能的一個(gè)正定對(duì)稱矩陣，其特征值總處于一定的范圍［m，M］內(nèi)，0 ＜m ＜M，即

式中:z 為A(q)的特征向量;|z|為向量的模。A(q)的偏微分的大小總是有界，即

假設(shè)廣義控制力與外部擾動(dòng)力大小有界，即

U 與S0之間滿足關(guān)系

式中:(q0，)為系統(tǒng)的初始狀態(tài);V(q0，)為系統(tǒng)的Lyapunov 函數(shù)在初始狀態(tài)時(shí)的值。則存在控制力u，可以在有限的時(shí)間內(nèi)，把系統(tǒng)由一定的初始狀態(tài)驅(qū)動(dòng)到指定的終點(diǎn)狀態(tài)。由于任意的狀態(tài)都可以通過(guò)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換轉(zhuǎn)換為原點(diǎn)狀態(tài)，不失一般性，這里指定終點(diǎn)狀態(tài)為廣義坐標(biāo)的原點(diǎn)。

其中，

q2+為系統(tǒng)狀態(tài)與原點(diǎn)之間的距離。(21)式、(22)式給出了隱式函數(shù)

將(21)式帶入(22)式，并定義

則有

定義

定理1 對(duì)于滿足q2+＞0 的任意q 與，總有|μ|≤σλ，并且方程(25)總存在唯一正實(shí)根。

定理2 在領(lǐng)域R2n|{(0，0)}內(nèi)，滿足(21)式與(22)式的連續(xù)可微函數(shù)a(q，)、b(q，)與V(q，)總存在。

定理3 在初始時(shí)刻t0給定δ(t0)＞0，則有

給定初始狀態(tài)(q0，)，可以通過(guò)牛頓迭代法求解(25)式得到該時(shí)刻V(q0，;t0)的值，繼而通過(guò)求解(20)式得到廣義控制力u 的值;接著根據(jù)已知的廣義控制力u，采用龍格庫(kù)塔法單步迭代求解(13)式，便可得到下一時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)(qt).如此反復(fù)交叉迭代，直到得到滿足要求的控制精度時(shí)終止迭代。如圖5所示。

圖5 數(shù)值求解過(guò)程Fig.5 Numerical solution process

3 數(shù)值仿真

對(duì)于由(1)式描述的彈藥協(xié)調(diào)器，可以把方程組中安裝基礎(chǔ)部分提取出來(lái)看作不確定性外部擾動(dòng)，有

式中:u1=F;u2=M1;

則有

選擇各仿真參數(shù)m2=8.6 kg，m3=3.6 kg，J =1.6 kg·m2，L =0.5 m，U =600，S0=250;經(jīng)計(jì)算有M=12.52 kg·m2，m =2.18 kg·m2，C =3.對(duì)安裝基礎(chǔ)施加幅值有界的隨機(jī)振動(dòng)加速度在0～10 m/s2之間隨機(jī)選取，每步迭代選擇一次，如圖6所示，則得到如圖7和圖8所示的外部擾動(dòng)力S1、S2.選擇系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y2=1 m=0 m/s，θ=π/4 rad，=0 rad/s，在MATLAB 中進(jìn)行數(shù)值仿真，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)與狀態(tài)原點(diǎn)之間的距離小于0.01 時(shí)，即時(shí)，終止迭代。

仿真結(jié)果如圖9～圖15 所示，圖9和圖10 為升降部分的位移與速度;圖11 和圖12 為回轉(zhuǎn)部分的角位移與角速度;圖13 和圖14 分別為升降部分的廣義控制力與回轉(zhuǎn)部分的廣義控制力矩;圖15 為L(zhǎng)yapunov 函數(shù)值隨時(shí)間的變化。可以看出，在不到2 s 的時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)在控制器的驅(qū)動(dòng)下由一定的初始狀態(tài)運(yùn)動(dòng)到了指定的終點(diǎn)狀態(tài);控制力始終處在給定的范圍內(nèi);Lyapunov 函數(shù)值最終趨向于0.Lyapunov 函數(shù)值非單調(diào)遞減的原因是，為了滿足工程需要U 選擇了較小的值，從而導(dǎo)致約束條件(19)式無(wú)法滿足。但是，所設(shè)計(jì)的位置控制器仍然能夠克服不確定性外部隨機(jī)擾動(dòng)的影響，把系統(tǒng)由一定的初始狀態(tài)驅(qū)動(dòng)到指定的終點(diǎn)狀態(tài)，具有良好的魯棒性能。

圖6 基礎(chǔ)振動(dòng)加速度Fig.6 The vibration acceleration of base

圖7 升降部分所受到的擾動(dòng)Fig.7 The disturbance on lifting part

圖8 回轉(zhuǎn)部分所受到的擾動(dòng)Fig.8 The disturbance on rotating part

圖9 升降部分的位移Fig.9 The displacement of lifting part

圖10 升降部分的速度Fig.10 The velocity of lifting part

圖11 回轉(zhuǎn)部分的角位移Fig.11 The angular displacement of rotating part

圖12 回轉(zhuǎn)部分的角速度Fig.12 The angular velocity of rotating part

圖13 升降部分的控制力Fig.13 The control force of lifting part

4 結(jié)論

圖14 回轉(zhuǎn)部分的控制力矩Fig.14 The control torque of rotating part

圖15 Lyapunov 函數(shù)Fig.15 Lyapunov function

1)提出一種兩自由度彈藥協(xié)調(diào)器結(jié)構(gòu)方案，結(jié)合一種基于給定隱式Lyapunov 函數(shù)的非線性位置控制算法可以實(shí)現(xiàn)存在安裝基礎(chǔ)振動(dòng)情況下彈藥的準(zhǔn)確協(xié)調(diào)定位。

2)將第二類Lagrange 形式的彈藥協(xié)調(diào)器動(dòng)力學(xué)方程中的基礎(chǔ)振動(dòng)部分提取出來(lái)看作外部擾動(dòng)，得到比原模型少一個(gè)自由度的不確定動(dòng)力系統(tǒng)，為該類考慮基礎(chǔ)隨機(jī)振動(dòng)的系統(tǒng)的建模分析提供了一種有效的方法。

3)采用一種基于隱式Lyapunov 函數(shù)的連續(xù)反饋控制算法設(shè)計(jì)了的彈藥協(xié)調(diào)器的位置控制器，消除了基礎(chǔ)隨機(jī)振動(dòng)所帶來(lái)的非線性影響，使彈藥協(xié)調(diào)器在有限的時(shí)間內(nèi)由指定的初始狀態(tài)運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)狀態(tài)。

4)仿真結(jié)果驗(yàn)證了該控制算法的有效性、強(qiáng)魯棒性。

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