基于周期性擴頻的單相H橋逆變器非線性現象的研究*

劉洪臣 李飛 楊爽

(哈爾濱工業大學電氣工程及自動化學院，哈爾濱 150001)

(2012年10月16日收到;2013年1月16日收到修改稿)

1 引言

由于電力電子電路中存在著開關的高頻切換，因此在開關電路中存在著豐富的非線性現象.各國學者對于其中存在的非線性現象從上世紀80年代就已經開始了研究.1988年，Hamill等人在一定的簡化條件下，對峰值電流控制的BUCK變換器建立了一階離散模型，分析了其中的分岔和混沌現象，從而開創了電子電路非線性研究的新領域[1];1992年，Dean等人把研究對象擴展到峰值電流控制的BOOST變換器上，分析了以電流為參數的分岔圖和李雅普諾夫指數[2].隨著研究的深入，逐漸由低階系統向高階系統過渡，1995年，Tse等人研究了電流滯環控制的四階CUK變換器，分析了其中存在的霍夫分岔及混沌現象[3].在過去20多年的時間里，DC-DC變換器是電子電路非線性研究的主要對象[4-12]，而其他類型的電力變換器中的非線性現象研究相對較少.Robert等人于2002年首先研究了單相正弦H橋逆變器中的混沌和分岔現象，將以往開關功率變換器中的非線性現象的研究方法應用到了DC-AC中，發現DC-AC變換器中存在著豐富的非線性現象[11].Kousaka等人采用返回圖的方法研究了單相H橋正弦逆變器的動態特性，采用返回圖的方法對周期軌道的穩定性進行了分析，進一步用分岔圖研究了這些周期軌道[12].國內的王學梅、張波等采用折疊圖的方法對單相H橋正弦逆變器的快變和慢變穩定性進行了分析[13,14]，周宇飛等人對單相H橋正弦逆變器的混沌控制問題作了進一步的分析[15].

隨著當前電力電子技術的飛速發展，變換器的電磁干擾(EMI)問題日益嚴重[16].目前，廣泛采用擴頻的方式對EMI和噪聲進行抑制.擴頻技術最先應用于通訊和微處理系統，從90年代開始應用于變換器中來降低EMI水平，隨著研究的深入，各國學者陸續提出了多種擴頻方式，如隨機擴頻，正弦波擴頻，三角波擴頻，混沌擴頻等，均取得了很好的效果.但是對擴頻后電力變換器的非線性行為的分析未見報道.本文在對單相H橋正弦逆變器的非線性特性分析的基礎上，首次對基于擴頻技術的單相H橋正弦逆變器的非線性行為進行分析，建立了單相H橋正弦逆變器擴頻后的離散模型，研究了單相H橋正弦逆變器的穩定性及混沌行為，指出擴頻后的單相H橋正弦逆變器在進入非線性區域后更容易進入混沌區，并且周期擴頻的頻率會對系統初始分岔點的位置產生影響，通過本文的分析，可以得到最佳的周期擴頻的頻率值.本文的研究對單相H橋正弦逆變器的穩定運行具有一定的指導意義.

2 周期性擴頻技術

擴頻是指開關電源工作頻率不是固定不變的，而是在一個中心頻率附近作周期性或者隨機性的變化.對于傳統的單相H橋正弦逆變器的載波調制策略而言，由于三角波頻率一定，在采用擴頻技術后將原來集中于固定開關頻率附近的諧波分散到了一個頻帶范圍內，使得諧波的幅值降低，繼而降低了電磁干擾和噪聲.依據實現方式的不同，擴頻可以分為周期性擴頻、隨機擴頻和混沌擴頻三種，本文選擇周期性擴頻技術進行研究[16].周期性擴頻就是利用一些周期性信號來改變原來三角波的固定頻率，使載波頻率圍繞固定頻率作周期性變化.載波頻率 fS的一般表達式為

式中 f為載波基準頻率，Δf為載波周期變化頻率.當Δf=0的時候，此時為固定頻率的調制技術.當采用正弦周期頻率調制時

式中fA為周期頻率調制中PWM信號的頻率偏移的幅值;f1為正弦信號的頻率.擴頻技術在降低變換器的EMI以及減少輸出電壓紋波已經得到廣泛的應用，但是對于其中的非線性研究卻非常少.

3 單相擴頻SPWM-H橋的離散模型

基于周期擴頻技術的單相H橋正弦波逆變器的原理圖如圖1所示.其工作原理是由負載電流與給定電流進行比較之后，進行P控制，再進行脈沖寬度調制(PWM)，其中載波的周期是正弦周期性變化的[17].該電路由四個帶反并聯二極管的IGBT開關組成，依次是 S1，S2，S3，S4.負載為電感和電阻，電源為直流電源E.逆變器由兩個狀態組成，狀態1，S1，S3導通，S2，S4截止，電感電流上升;狀態 2，S1，S3截止，S2，S4導通，電感電流下降.由于該電路拓撲只有一個狀態變量，因此，兩狀態可以用兩個一階微分方程表示.

模態1為

模態2為

其中，i是電感電流，U是負載電壓.

在控制器的作用下，系統在兩種模態之間進行切換，TS是時鐘周期，此時的TS不再是固定不變的時間常數，而是大小隨正弦規律變化，本文取變化范圍為2.5—7.5 kHz，負載的工作波形如圖2所示.其中E是電源電壓，i是負載電流，TS1，TS2是按照正弦規律變化的時鐘周期.

圖1 基于擴頻技術的單相H橋逆變器工作原理圖

圖2 負載電流波形(實線)和電壓波形(虛線)

采用頻閃映射建模的方法[5]，將狀態變量的n+1時刻的采樣值用n時刻的采樣值來表示.以載波周期作為頻閃采樣周期，由狀態方程(1)、(2)得出電感電流i的頻閃模型

式中D為常數，k為比例系數，irefn為正弦參考電流在每個開關時刻的采樣值，in為采樣時刻的采樣電流[8].

4 穩定性分析

4.1 單相H橋逆變器輸出電流的時域分析

單相H橋逆變器選擇的參數為：E=400 V，R=20 Ω，L=0.02 H，D=0.5，iref=5sin(40πt)，iref所選擇的固定的載波頻率是 fS=5 kHz，固定頻率下的輸出負載電流i波形如圖3所示;應用正弦周期性擴頻技術后，載波頻率在 fs=2.5—7.5 kHz之間作正弦周期性變化，有效減少了電磁干擾噪聲的影響，擴頻之后的輸出負載波形如圖4所示.

圖3 載波頻率是固定的 f=5 kHz，不同反饋系數下電流i的時域波形 (a)k=0.1;(b)k=0.29;(c)k=0.5

從圖4中可以看出，在正弦周期性擴頻之后，單相H橋逆變器中存在豐富的非線性現象.通過對比圖3和圖4，可以看出在經過擴頻之后，正弦調制的單相逆變器中存在的非線性特性要比在固定頻率之下的非線性特性更加強烈，而且，在同樣的參數情況下，也更加容易進入非線性區域.

4.2 折疊圖與混沌現象動態演化過程分析

折疊圖是一種比較有效地觀察分岔與混沌現象的方法.它避免了雅克比矩陣不僅依賴于平衡點而且計算繁瑣的缺點，更加直觀的觀察混沌現象.具體的方法為：選取任意的一個初始值代入迭代方程(3)式，略去前面的不穩定過程，選取穩定后的50個正弦周期按照采樣時刻對齊后折疊，繪制折疊圖.通過比較圖5和圖6，可以得出：當k=0.1時，擴頻前50個正弦波的采樣點最后重合在一起，而擴頻之后的50個正弦波的采樣點分布的區域比擴頻之前的區域廣泛，說明擴頻之后的系統不如擴頻之前穩定，但是系統總體是趨于穩定的;在k=0.29時，擴頻之后的50個正弦波的采樣點最后集中在三條軌道上，而固定頻率下的50個正弦波的采樣點集中在兩條軌道上，說明擴頻之后系統更加容易進入混沌狀態，更加的不穩定;在k=0.5的時候，擴頻前后的50個正弦波的采樣點最后充滿整個空間，說明系統最后進入了混沌狀態.

圖4 載波頻率 fs=2.5—7.5 kHz，不同反饋系數下電流i的時域波形 (a)k=0.1;(b)k=0.29;(c)k=0.5

圖5 載波頻率為 f=5 kHz，不同反饋系數下電流i折疊圖 (a)k=0.1;(b)k=0.29;(c)k=0.5

圖6 載波頻率 fs=2.5—7.5 kHz，不同反饋系數下電流i的折疊圖 (a)k=0.1;(b)k=0.29;(c)k=0.5

4.3 分岔與混沌現象動態演化過程

電流i是單相逆變器的輸出電流，作為狀態變量，它的變化可以反映系統整體的變化.如圖7和圖8，在k從0增加的過程中，固定頻率下的負載電流更容易出現分岔現象，而且在k=0.29時，擴頻下的輸出負載電流所分布的范圍比固定頻率下的輸出負載電流更大，說明在擴頻下的混沌化更加明顯，從折疊圖也可以明顯的看出，最后在k=0.5時，擴頻下的輸出負載電流比固定頻率下的輸出負載電流的混沌現象更加劇烈，均勻的充滿整個平面空間.

為了準確說明分岔的位置，下面進一步分析了李雅普諾夫指數.根據李雅普諾夫指數的定義，k的范圍為從0.1到0.7，取步長為0.001，在每個k值下迭代100次，得出李雅普諾夫指數，如圖9所示.

在圖9中k=0.25時，李雅普諾夫指數等于零，此時對應于圖7中的第一個分岔點，隨著k的增加，在k=0.32時再次出現分岔，在k=0.3—0.4之間，李雅普諾夫指數多次大于零，因此在k=0.32之后進入了一段由于多次分岔造成的混沌區域，在k≥0.4時，系統最后進入了混沌區域.在圖10中k=0.29時，李雅普諾夫指數等于零，此時對應圖8中第一個分岔點，在k=0.35的位置，系統再次出現分岔，隨著k的進一步增大，系統最后進入了混沌區域.

圖7 載波頻率是固定的 fs=5 kHz，隨著系數k變化電流i的分岔圖

圖8 載波頻率 fs=2.5—7.5 kHz，隨著系數k變化電流i的分岔圖

4.4 載波頻率增量的頻率f1對負載電流的影響

正弦擴頻技術中，載波頻率增量是按照正弦規律變化的，其變化的頻率 f1對負載電流的非線性影響也是非常重要的.取調制波的頻率為20 Hz，f1以20 Hz及其整數倍變化.圖11為取 f1為20 Hz，160 Hz及480 Hz時的分岔圖，f1影響負載電流分岔點的位置以及影響時域波形尖峰的數目如表1和表2所示.

圖9 載波頻率是固定的 fs=5 kHz，負載電流i隨k變化時的李雅普諾夫指數譜

圖10 載波頻率 fs=2.5—7.5 kHz，負載電流i隨k變化時的李雅普諾夫指數譜

通過表1可以得出，隨著 f1的逐漸增大，比例系數k的分岔點的位置逐漸增大，一直到 f1=160分岔點位置增加到最大值，然后，隨著k的進一步增大，比例系數k的分岔點位置又返回到了原來的位置，直至到了最小k=0.185.通過表2得出，隨著f1的增大，負載電流在一個周期內由于尖峰數量逐漸增加，在尖峰位置處，負載電流出現很強的非線性現象，隨著 f1的進一步增加，尖峰數量越來越多，最后整個進入了混沌狀態.因此，從表1和表2可以得出，f1是不能超過某一個閾值的，此處閾值可以取50 Hz，在閾值附近兩者的表現達到最好，f1過高或者過低都會對系統整體的穩定性帶來不良的影響.

圖11 隨著 f1的變化，比例系數k的分岔點位置 (a)f1=20 Hz;(b)f1=160 Hz;(c)f1=480 Hz

表1 隨著 f1的變化，比例系數k的分岔點位置

表2 隨著 f1的變化，負載電流時域波形每周期尖峰的數量

5 結論

擴頻調制下的單相H橋正弦逆變器在實際工程中得到了廣泛的應用，以往總是采用線性化的方式來分析此系統，忽略了其非線性特性，對其非線性動力學特性至今都沒有作深入的研究.本文對擴頻調制下的單相H橋正弦逆變器的非線性特性進行了詳細的分析：建立了擴頻調制下的離散映射模型，采用了折疊圖、時域圖、分岔圖綜合對比的方法進行了分析，通過與非擴頻下的特征量的比較，得出了在擴頻調制下的單相H橋正弦逆變器更加容易進入非線性區域，存在更加豐富的混沌動力學特性.并且得出了周期擴頻的頻率使系統產生初始分岔點的精確位置.通過對其進行非線性分析，對應用擴頻方式下的單相逆變器具有重要的指導性意義.

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鏡頭一閃，出現了一個躺在病床上，滿臉都是繃帶的人，“兇手對王大明進行了慘無人性的人身傷害，受害人在被打昏的情況下被割掉了鼻子、耳朵、生殖器……”我終于知道，那天晚上劉偉遞給黑裙子女孩子的那個包里包的是什么了。

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