均勻橢球粒子對拉蓋爾-高斯光束的散射特性研究*

歐 軍 江月松 邵宇偉 屈曉聲 華厚強 聞東海

(北京航空航天大學電子信息工程學院，北京 100191)

(2012年9月15日收到;2013年2月2日收到修改稿)

1 引言

自1992年Allen等[1]發現具有方位角相位為exp(ilφ)(l為整數)的光束的每個光子在其傳播方向上攜帶有l的軌道角動量之后，具有螺旋波前的光束如拉蓋爾-高斯(Laguerre-Gaussian，LG)光束在量子信息處理[2]、粒子操縱[3,4]、空間通信[5,6]等領域得到了廣泛的應用.尤其是在空間通信領域，可以大大增強通信的傳輸數據容量[5]和保密性[6].然而光波在傳播過程中將不可避免地遇到大氣粒子如雨滴、氣溶膠、冰晶等，這些粒子對光的作用主要是粒子的散射而引起光能的衰減[7].已有部分專家學者致力于研究LG光束入射時球形粒子的散射特性[8,9]，針對非球形粒子對LG光束的散射研究仍然很少.由于自然界中的粒子形狀很多都是非球形的，并且橢球模型更接近粒子的實際形狀，因此研究橢球粒子對LG光束的散射作用是很有意義和必要的.

對于橢球粒子的散射研究工作，最著名的是由Asano等[10]開展的，尤其是他們提出的對于橢球粒子邊界條件的處理方法，是一種公認的能夠解決邊界問題的好方法.韓一平等人糾正了Asano對于邊界條件處理的錯誤參數，基于廣義Mie理論[11]計算得到高斯波束在橢球坐標系中的波束因子[12]，研究了均勻橢球粒子對于高斯波束的散射特性[13].本文在以上工作的基礎上對在軸入射的LG光束與橢球粒子相互作用過程展開了理論研究.采用局域近似法求解LG光束在橢球坐標系中的波束因子，然后由散射系數求得散射強度.討論了散射強度隨橢球粒子尺寸參數和扁圓程度的變化特性，并針對不同拓撲荷時的散射強度進行了對比分析.

2 理論分析

2.1 拉蓋爾-高斯光束

LG光束最突出的兩個特點是具有螺旋形的波前和光束是中空的即中心強度為零[14].忽略時間因子exp(-iwt)，LG光束可以寫為[15,16]

相位因子 exp(ilφ)表明此模式的光束具有螺旋波前.

2.2 入射LG光束在橢球坐標系中展開

對于計算LG光束在球坐標系中的展開系數，文獻[8，9]已給出具體方法.但是針對LG光束在橢球坐標系中波束因子的計算，至今還很少人開展過這方面的工作.本文先將LG光束在球坐標系中用球矢量波函數展開，根據球矢量波函數與橢球矢量波函數的關系，得到橢球坐標系中的展開系數.

圖1為設計的粒子散射模型圖.由于研究的粒子粒徑與光束的波長處于同一數量級，所以將LG光束經過透鏡聚焦后，入射在橢球粒子的中心，粒子位于透鏡的焦平面處.

橢球粒子內外電磁場滿足標量Helmholz方程

其中k是波數，標量 Helmholz方程的通解形式[17]為

m和n為整數，-∞＜m＜∞，|m|≤n＜∞.c為介質的特征量且c=kf，f為橢球的半焦長度，k為介質中的波數.在長橢球坐標系中-1≤η≤1，1≤ζ≤∞，0≤φ≤2π.Smn(c;η)是橢球角波函數，Smn(c;η)可以用連帶勒讓德函數的無限級數和來表示：

由標量波動方程的解便可得到矢量橢球波函數

圖1 散射模型圖，Rf為透鏡焦距，w(Rf)為透鏡焦平面處的光斑半徑

在球坐標系中入射光可表示為球矢量波函數的無限級數和[18]

經過一系列的代數運算可以得到入射光電場矢量在橢球坐標系中的展開式

3 數值結果與分析

3.1 波束因子的數值求解

本文采用局域近似法來計算波束因子，局域近似法計算速度快，對計算機的配置要求不高，可在微機上進行.在大多數場合與積分法[19]和有限級數法[20]相比其引起的誤差很小，并且在可接受范圍內[21].

表1 在橢球坐標系中波束因子的值(光束的束腰半徑w0=2.025μm，粒子折射率n=1.33)

3.2 遠場散射光強

實際中人們通常考慮遠場(cζ→∞)的散射光強，借助于cζ→∞時忽略高于1/r的高階項，利用第三類橢球矢量波的漸近表達式，可得電場遠場的各分量為

圖2 不同尺寸參數的橢球粒子在光束入射下散射強度的角分布圖 (a)c=3;(b)c=4;(c)c=5

圖3 不同扁圓程度的橢球粒子在光束入射下散射強度的角分布圖

拓撲荷數是LG光束的重要參量，因此本文對橢球粒子(c=5,a/b=3)攜帶有不同拓撲荷數(l=2，3，4)的LG光束作為入射光時的散射強度進行了仿真計算，結果如圖5所示.從圖中可以看出，散射強度隨拓撲荷的增大而相應減小，這是由隨著拓撲荷的增大，入射光束中空的面積將增大，與橢球粒子的作用面積將減少引起的.

圖4 球形鋁粒子在光束入射下散射強度的角分布圖

4 結論

本文研究了均勻橢球粒子對LG光束在軸入射下的散射特性.通過局域近似法計算得到了LG光束橢球坐標系中波束因子，仿真計算得到散射光強隨橢球粒子不同尺寸參數和扁圓程度的變化特性曲線.對比分析具有不同拓撲荷數的LG光束入射下的橢球粒子的散射特性，利用入射光在粒子尺度范圍內的能量分布特點解釋了兩者的區別.本文的理論成果和數值方法可作為研究基礎，進一步推廣到離軸入射以及復折射率介質橢球的電磁散射中.

圖5 散射強度隨入射光束不同拓撲荷的變化曲線圖 (a)l=2;(b)l=3;(c)l=4

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