自旋相干態變換和自旋-玻色模型的基于變分法的基態解析解*

楊曉勇 薛海斌 梁九卿

1)(山西大學理論物理研究所，太原 030006)

2)(太原理工大學物理與光電工程學院，太原 030024)

(2012年9月24日收到;2013年2月21日收到修改稿)

1 引言

自旋-玻色模型因其在物理學各個領域的廣泛應用，一直是理論研究的熱點問題.例如，Jaynes-Cummings(J-C)模型[1]已成為量子光學的理論基礎，并在現代光量子器件和超導量子比特中有廣泛的應用.雖然在旋波近似下描述原子與輻射場相互作用的J-C模型只是弱耦合條件下的理想化近似，但因其可得到精確解析解而被廣泛應用.事實上，僅當原子與光場之間的耦合強度g與光場頻率ω相比非常小時，旋波近似才有效[2,3].但是，隨著電路量子電動力學(Circuit QED)的發展，目前超導量子比特(“人造”二能級原子)已應用于強相互作用情形下的振蕩器或者振蕩腔中[4-11]，此時旋波近似在強耦合區域并不適用[12]，因而必須考慮非旋波項的作用.

當單模光場和N個原子相互作用時，只要把自旋為-1/2的贗自旋算符換成量子數為S=N/2的大自旋算符，而相應的哈密頓算符形式不變，此即著名的Dicke模型[13].近年來，Dicke模型的量子相變已成為熱點研究問題之一，而量子相變是系統基態隨耦合參數的突然改變，因此求解基態解成為關健問題.通常的方法是用Holstein—Primakoff(HP)變換[14]把贗自旋轉化為玻色子算符，用雙模玻色場相干態作為變分的基態波函數.此方法可以成功得到研究系統的基態，并用于研究其量子相變[15-18].但是需要指出的是，在基于HP變換的變分法運算中，算符的開根號基于1/N展開，因此原則上此方法只在原子數趨于無窮時才成立.特別是此方法顯然不適用于單原子的J-C模型.在本文中，提出一種新的變分法，即通過玻色子算符取平均場近似后，得到一等效贗自旋哈密頓算符，并利用自旋相干態變換[15,16]將其對角化，然后將求得的能量泛函對其經典場變量(復參數)變分并取極小值，從而給出基態能量和波函數的精確解.此方法得到J-C模型的基態能量無論在弱耦合區域還是在強耦合區域都與數值對角化結果符合得非常好，而且在共振(Ω=ω)、藍失諧(Ω＜ω)和紅失諧(Ω＞ω)情況下都非常有效.特別是，把自旋-1/2算符換為自旋量子數是N/2的大自旋算符時，則可用于求解任意原子數的Dicke模型基態[17].

2 自旋玻色模型

一個二能級原子與單模光場相互作用的系統哈密頓可表示為

其中，描述原子(贗)自旋(-1/2)的算符SZ，S+，S-遵從對易關系 [Sz,S±]=±S±，[S+,S-]=2Sz(這里取=1);Ω和ω分別為原子共振頻率和光場頻率，它們之間的相互作用強度用g表示;a?和a是波色場的產生和湮沒算符.在弱相互作用情形下，可忽略能量不守恒的作用項aS-和a?S+(反旋波項)，從而得到可精確求解的J-C模型，此即通常的旋波近似(RWA).另外，需要說明的是本文中提出的變分法對有無旋波近似都適用.下面，將基于變分法分別討論非旋波近似和旋波近似模型的基態解，并與其嚴格數值對角化結果比較.

2.1 非旋波近似模型

設變分的基態波函數為玻色場的相干態|α〉，即玻色子湮沒算符的本征態a|α〉=α|α〉，它可由真空態生成 |α〉=eα(a?-a)|0〉. 在玻色場相干態表象中，方程(1)對應的哈密頓算符的期待值是一個等效的贗自旋哈密頓 Heff(α)= 〈α|H|α〉，這意味著等效贗自旋哈密頓也可以通過將玻色場算符取平均場近似得到，這里經典場的變量α(復數)為變分參數，因此本方法的關鍵是利用自旋相干態變換[15-18]對角化贗自旋哈密頓Heff(α)，從而得到相應的本征值和本征態，

2.2 RWA模型

3 討論

圖1 在非旋波近似下，對于不同的光頻率ω，J-C模型的變分法(線+實心圖標)和數值對角化(線+空心圖標)求得的基態能量Egs隨光場和原子耦合強度g的變化曲線

圖2 在旋波近似下，對于不同的光頻率ω，J-C模型的變分法(線+實心圖標)和數值對角化(線+空心圖標)求得的基態能量Egs隨光場和原子耦合強度g的變化曲線

在圖1和圖2中，分別給出了非旋波近似和旋波近似兩種情形下，對于不同的ω/Ω值，相應的基于變分法(線+實心圖標)和嚴格數值對角化(線+空心圖標)求得的基態能量隨光場和原子耦合常數g的變化曲線.由圖1可知，在非旋波近似下，基于變分法求得的基態能(19)在ω/Ω為1，0.8，0.6，0.4，即共振較小的紅失諧時，與數值對角化結果完全符合;而在大失諧(ω/Ω=0.1，0.2)的強耦合區域，變分法求得的基態能量隨著光場和原子耦合強度的增強逐漸地偏離數值結果.這是因為變分法嘗試的波函數采用了玻色子相干態，即平均場近似，它在光場相對較強時才是有效的;而大失諧的強耦合情形下，光場的量子漲落將起重要作用，因而平均場近似自然導致較大的偏差.實際上，文獻中的精確解也都是在近諧振條件下得到的，但是本文的變分法基態能卻可以在很寬的頻率范圍和耦合區域都相當精確.對于在旋波近似情形，見圖2，其變分法能量和數值對角化也符合的很好，但變分法畢竟是某種近似，稍微的偏差可能是模型近似引起的，而且相對偏差卻非常小.特別需要指出的是，在非旋波近似的模型中，變分法能量和數值對角化的精確符合有點意外，這說明這種方法是非常有效的，更深層次的原因有待探討.

本文第一次提出了求自旋-玻色模型基態解析解的普適變分法，除用了玻色子相干態作為嘗試波函數外無需任何其他近似，得到了非旋波近似和旋波近似J-C模型的完全解析基態能譜和波函數.更重要的是，這一方法可直接得到多原子Dicke模型的基態解.

4 結論

我們提出了用自旋相干態變換求自旋-玻色模型基態的普適變分法，它不僅可得到相當精確度的解析基態能譜和波函數，特別是可直接用于任意原子數的Dicke模型，而先前文獻中基于HP變換的變分法原則上僅適用于原子數趨于無窮的熱力學極限情形.

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