彈性微管內氣泡的非線性受迫振動*

王成會 程建春

1)(南京大學聲學研究所，南京 210093)

2)(陜西師范大學聲學研究所，西安 710062)

(2013年1月28日收到;2013年2月18日收到修改稿)

1 引言

隨著生物醫學超聲的發展，超聲波在活體生物組織內的動力學行為越來越受關注.超聲造影劑微泡注入血管內可提高超聲診斷過程中回波強度，為人們提供了一種便捷、經濟且損害極小的診療手段.高強度超聲波作用于微泡還可產生超聲空化效應，從而實現利用超聲能量進行局部治療[1-4].許多研究結果表明，好的超聲診斷和治療效果均與超聲波作用下氣泡的動力學行為有關，超聲造影劑微泡在生物體內的非線性振動可使組織損傷加劇[5-8].超聲空化引起組織損傷等生物學效應的機理通?；谝韵聝煞N假設[3]：一是空化氣泡在非線性振蕩過程中崩潰形成高溫、高壓、沖擊波等引起局部壓力和溫度變化，同時還可能形成高速運動的微射流導致血管壁失去原有平衡并形成損壞;二是在驅動聲壓的負壓相氣泡長大壓迫血管，在管壁形成較大的周向應力(circumferentialstress)擾動從而導致血管損傷[9].因此，血管內氣泡的動力學行為的研究對準確預測超聲波作用下造影劑微泡或生物體內原有空化核對肌體組織的影響具有重要的現實意義.

氣泡在管狀結構內的運動和在無邊界液體中的運動相比要復雜得多[10].首先氣泡運動受到邊界約束，極易形成偏離球形的振動[11]，其形狀變化的復雜性決定了它的膨脹和崩潰機制與球狀氣泡動力學相比會更加復雜;其次有界空間內通常聲壓空間分布具有駐波特征[12]，從而導致氣泡各個方向受力不均勻并使得其形狀復雜變化的可能性增大，因此發展更適合管狀結構內氣泡振動的動力學模型是解決此類問題的關鍵.Leighton等[13]假定氣泡位于一端封閉的剛性管底部且充滿了整個截面形成柱狀氣泡，只有氣泡-液體一側端面可以自由移動，發展了一維氣泡自由振動理論.若聲波作用下的血管可被看成剛性管，氣泡在血管內的運動可看成是兩側液柱-氣泡耦合振動系統，這種模型最早由Oguz和Prosperetti[14]提出，Sassaroli和Hynynen[15]以此為基礎分析了介質黏熱阻尼對系統共振響應的影響.眾多研究表明，氣泡在管狀結構內的振動受到管壁材料的彈性特征、氣泡本身的初始狀態以及驅動外場的影響，其固有頻率由于受到剛性管約束而降低且隨著管子長度減小而減小[15-17].若外驅動力較大，由于泡內氣體物態變化本身具有非線性特征，氣泡-液柱耦合振動系統必將出現非線性聲響應[18].在超聲波的生物應用中以剛性管模型分析微管內氣泡的振動只是一種粗略的理論近似，有待于進一步發展考慮了管壁彈性后管內氣泡振動動力學模型，Mateynov等[7]已提出計入管壁彈性后氣泡的線性共振模型.本文將考慮管壁彈性對氣泡體積變化的影響，以氣泡-液柱-管壁耦合振動模型為基礎研究微管內氣泡的非線性振動規律.

2 模型描述

當氣泡的初始半徑和管尺寸可相比擬時，可將氣泡看成是一個無質量可壓縮的柱狀彈性體.該模型可用于研究氣泡處于管狀結構(如毛細血管等)內的氣泡動力學問題，最早由Oguz和Prosperetti[14]提出，Martynov等[7]還將此模型推廣到二維振動研究氣泡與彈性血管之間的相互作用.醫用超聲造影劑微泡典型半徑范圍通常在1—5μm之間[15]，和腸系膜等組織結構中毛細血管直徑差不多，因此當微泡進入毛細血管后，可近似認為其保持原有初始體積不變但形狀變成了截面積和毛細血管相同的圓柱體從而將毛細血管內的液體分為兩個液柱，在外場的作用下，液柱、柱狀氣泡和血管壁體系形成一個耦合振蕩系統，如圖1所示.

圖1 管內柱狀氣泡振動示意圖

式中XB(t)是代表氣泡振動的無量綱參數.氣泡內氣體體積變化源于其軸向和徑向尺寸變化的共同作用，因此，泡內氣體壓力pB(t)可表示為

式中p0為液體靜壓力，Φ為常數，可認為是與復頻率相關的多方指數[14,16].

基于血管壁本身的彈性特征，可將血管壁簡化為由覆在組織上的一薄層內皮細胞組成膜彈性結構，其動力學方程近似為

式中dυ和dt分別為血管壁和基底組織的有效厚度，ρυ和ρt分別為血管壁和基底組織密度，pa為外界驅動壓力幅值，Eυ為血管壁的楊氏模量，ν為泊松比.

忽略液柱-氣泡系統平動對系統振動的影響[18]，兩側液柱在軸向受外部驅動力和泡氣體壓力的作用下振動，其動力學方程可表示為

式中bv是與黏度阻尼系數.綜合(3)，(5)和(7)式可得氣泡軸向長度變化相關的動力學方程為

從(3)式知，氣泡內氣體狀態變化本身是一個非線性過程，因此，描述氣泡、液柱和血管壁耦合振動的動力學方程(4)和(7)均為非線性方程.泡內體積變化過程中，由忽略管壁位移的高價小量，泡內氣體壓力pB(t)近似表示為

因此，約去3階以上的高階小量后動力學方程(4)和(7)近似為

3 系統的共振

由于管壁彈性的影響，氣泡在外場驅動下的非線性振動將變得更加復雜，下面我們將討論系統共振頻率附近的非線性聲響應.忽略系統振動阻尼的影響，其線性共振頻率ω0滿足特征方程

因此，當驅動外力頻率等于(12)式中的(ω0)1或(ω0)2，體系將處于共振狀態.然而，當在系統的受迫振動中計入非線性項時，其共振響應將出現重要的新特性.

3.1 非線性振動系統的共振頻率

比較(21)和(22)式可以看出，管壁振動和氣泡軸向振動中非線性參量對系統共振頻率的修正影響并不相同，因此，在非線性環境下，管壁振動和氣泡軸向振動不能同時達到共振狀態.

3.2 受迫振動振幅變化特征

為了解彈性微管內柱狀氣泡的振動特征，下面我們將采用逐次逼近法研究此二維振動系統在外場驅動下的非線性聲響應.受迫振動方程中充當線性恢復力的因子應是振動位移的奇函數，因此去掉(9)和(10)式中振動位移的偶函數項后的耦合動力學方程為

3.3 二分頻激勵共振響應

振動的非線性除了使系統在基頻ω0附近共振現象的性質出現改變外，還導致出現新的共振，即驅動頻率顯著不同于系統基頻ω0的外力可激發頻率接近ω0的振動[19].

這個方程組所決定的幅值隨頻率變化規律和方程組(27)和(28)相同，因此，在液柱-氣泡-彈性管壁構成的非線性系統中，利用頻率ω0/2的驅動外力也可激發系統在共振頻率ω0附近振動，只是強度相對較弱而已.非線性系統的這一重要特性對用超聲波激勵液柱-氣泡-彈性管壁振動系統具有非常重要的意義，因為超聲波頻率越高，其能量在人體組織中衰減越快[20]，而管壁內氣泡共振頻率相對較高，為實現超聲能量的最佳利用，在實際操作中可采用分頻激勵的辦法，用頻率是管壁內氣泡共振頻率一半的超聲波激勵氣泡振動.

4 數值分析

周圍介質為液體時的振動氣泡可近似看作球形，其振動狀態取決于它的初始半徑、液體密度、泡內氣體狀態、表面張力系數以及環境壓力等.對處在彈性管內的氣泡而言，氣泡兩側液柱的慣性和管壁的剛度都會影響氣泡的振動狀態.在數值計算過程中，我們首先要確定多方指數Φ，Φ與泡內氣體成分有關，同時是氣泡初始半徑、管半徑和驅動聲波頻率的函數[15,16].Φ的取值取決于泡內氣體狀態變化.對小氣泡或低頻情形，泡內氣體變化可近似看成是等溫過程.當驅動聲波頻率超過1 MHz或者氣泡半徑大于4μm，泡內氣體的變化通常在等溫過程和絕熱過程之間.在數值計算過程中各系統變量取值分別為：氣泡初始半徑RB=3μm，微管平衡半徑Rυ=4μm，長度為L=100μm，左側液柱長度L1=L/5，右側液柱長度L2=L-L1-LB，管壁厚度dυ=1μm，基底組織厚度dt分別為0和4μm[7];驅動聲波壓力 pa的有效值分別為1，2和3 atm(1 atm=0.1 MPa);管壁彈性模量分別為0.1，1和10 MPa，泊松比ν=0.5.

圖2 共振頻率隨氣泡初始半徑變化(dt=0)(a)Eυ=0.1 MPa;(b)Eυ=1 MPa;(c)Eυ=10 MPa

和柱狀氣泡的一維縱向振動理論相比[18]，氣泡-管壁耦合系統的非線性振動更加復雜，基頻振動振幅隨驅動外力頻率的變化曲線也呈現出新的特征.圖3和圖4給出了管壁周圍基底組織厚度dt=0和dt=4μm時氣泡軸向振動基頻幅值、管壁振動基頻幅值與驅動聲波頻率間的關系.系統的基頻振動幅值-頻率響應特性主要表現為：1)出現多個共振響應區，如管壁彈性為1 MPa時，氣泡軸向基頻振動的共振響應區分別分布在ω/ωX為0.65，0.77和2附近的區域內;隨著管壁剛度的減小，低頻共振峰對應的頻率比越小，即共振峰左移(如圖3(1—3)所示);驅動聲壓幅值不影響共振峰出現的位置，但驅動壓力幅值越大，低頻響應區內的系統振動幅值越大(如圖3(2，4和5)所示).2)振幅具有多值性，因此當氣泡受到逐漸變化的頻率激勵時，振幅不一定是單調增加或減小，還可能出現跳躍現象.跳躍現象通常發生在頻率比大于1的聲波頻率范圍內;驅動聲波有效壓力幅值不同，跳躍現象出現的頻率范圍也會出現差異，并隨著驅動聲波壓力幅值的增加逐漸向高頻區移動(如圖3(2，4和5)所示);管壁剛度同樣影響頻率響應跳躍現象出現的頻率范圍，隨著管壁剛度的增加逐漸向低頻區移動(如圖3(1—3)所示).3)在同樣的激勵條件下，出現振幅多值響應的高頻區內氣泡軸向振動基頻幅值大于管壁基頻幅值;隨著驅動壓力幅值增加，高頻區內較高分支上的響應幅值幾乎不變，而管壁剛度增加不影響高頻區內較高分支上的氣泡軸向振動響應幅值，但高頻區內較高分支上的管壁響應幅值將隨著剛度的增加而增加.4)基底組織的存在將抑制管壁在高頻區的響應幅值，但卻增強了氣泡軸向振動響應幅值，因此，基底組織越厚，氣泡管壁軸向運動受到的約束越強，氣泡越接近一維柱狀運動[18].

圖3 基頻振動幅值與驅動聲波頻率間的關系(dt=0)

圖4 基頻振動幅值與驅動聲波頻率間的關系(dt=4μm)

氣泡內氣體狀態變化的非線性行為成為氣泡非線性振動的內因，同時也促使與之耦合運動的彈性管壁作非線性振動.對基頻振動而言，其不穩定的非線性響應主要發生在高頻區，即在系統線性高頻共振頻率附近.圖3所給出的振動氣泡頻率響應特征和Martynov等[15]的數值研究結果一致，即在0到∞的驅動聲波頻率變化區間內存在兩個或兩個以上的共振響應區，且管壁剛度越小，低頻共振頻帶越窄，振動幅值響應越高.Gao等[9]將管壁看成偽彈性體后研究了不同頻率的聲波驅動下的管內振動氣泡對管壁應力變化的影響，結果表明驅動聲波頻率越高，管壁的應力響應越弱.管壁的應力響應和管壁形變密切相關，形變越小，應力越小.圖3和4給出的系統非線性幅-頻關系表明在非共振區，驅動聲波頻率越高，管壁振動幅值越小，即管壁形變越小，映證了Gao等[9]的研究結論.

圖5 三倍頻振動幅值與驅動聲波頻率間的關系(pa=0.1 MPa)

5 結論

Martynov等[15]對彈性管內氣泡-液柱耦合振動系統的自由振動特性進行了分析，本文的理論分析是在他們的研究基礎上的拓展，主要著眼于外部聲場作用下彈性微管內液柱-氣泡-管壁耦合振動系統的非線性特征，利用逐級近似法對系統非線性共振頻率、基頻和三倍頻振動幅值響應、分頻激勵機理等進行了理論分析.通過基頻、三倍頻振動的幅-頻響應的數值分析我們對液柱-氣泡-管壁耦合振動特征有了初步的了解，主要表現為：氣泡的軸向共振和管壁共振不能同時出現;兩垂直方向的振動均表現出幅值響應多值性，進而可能引起系統的不穩定聲響應;三倍頻振動在低頻區響應強于高頻區;用頻率為系統共振頻率一半的聲波也可在共振頻率附近引起較高的幅值響應.微管內氣泡的非線性響應是在外部驅動聲壓達到一定幅值之后必然引起的動力學結果，因此對微管內氣泡的非線性振動分析對研究氣泡的動力學行為具有重要的現實意義.

管壁的彈性能否忽略主要取決于它本身的材質和周圍介質的約束狀態，如許多的生物實驗證明當周圍組織遠大于毛細血管尺寸且組織被加壓達到一定程度時，毛細血管幾乎可以看作是剛性的[15].盡管如此，在超聲波的生物應用中以剛性管模型分析微管內氣泡的振動只是一種粗略的理論近似，進一步發展考慮了管壁彈性后管內氣泡振動動力學模型，可更準確地描述生物組織血管內氣泡受迫振動的非線性特征.

[1]Hu Y T，Qin S P，Hu T，Ferrara K，Jiang Q 2005 Int.J.Nonlin.Mech.40 341

[2]Qin S P，Hu Y T，Jiang Q 2006 IEEE.T.Ultrason.Ferr.53 1322

[3]Freund J B 2008 J.Acoust.Soc.Am.123 2867

[4]Cancelos S，Moraga F J，Lahey R T，Shain W，Parsons R H 2010 J.Acoust.Soc.Am.128 2726

[5]Qin S P，Ferrara K W 2007 Ultrasound Med.Biol.33 1140

[6]MiaoH Y，GracewskiS M，DaleckiD 2009 J.Acoust.Soc.Am.126 2374

[7]Martynov S，Stride E，SaffariN 2009 J.Acoust.Soc.Am.126 2963

[8]SassaroliE，and Hynynen K 2005 Phys.Med.Biol.50 5293

[9]GaoF R，Hu Y T，Hu H P 2007 Int.J.Solids Struct.44 7197

[10]Zhen H R，Dayton P A，Caskey C，ZhaoS K，Qin S P，Ferrara K W 2007 Ultrasound Med.Biol.33 1978

[11]Wang Z Y，Tong A Y 2008 Int.J.Therm.Sci.47 221

[12]Wang C H，Lin S Y 2010 SciChina Phys.Mech.Astron.53 496

[13]Leighton T G，White P R，Marsden M A 1995 Acta.Acust.3 517

[14]Oguz H N，ProsperettiA 1998 J.Acoust.Soc.Am.103 3301

[15]SassaroliE，Hynynen K 2004 J.Acoust.Soc.Am.115 3235

[16]Chen X M，ProsperettiA 1998 J.Acoust.Soc.Am.104 1389

[17]Jang N W，GracewskiS M，Abrahamsen B，ButtaccioT，Halm Robert，DaleckiD 2009 J.Acoust.Soc.Am.126 EL34

[18]Wang C H，Cheng J C.2005 Acta.Phys.Sin.61 194303(in Chinese)[王成會，程建春2012物理學報61 194303]

[19]Landau L D，Lifshitz E M 1976 Mechanics(Third Edition)(London：Pergamon Press)p58

[20]Du G H，Zhu Z M，Gong X F 2001 Fundamentals of Sound(Nanjing：Nanjing University Press)p502(in Chinese)[杜功煥，朱哲民，龔秀芬2001聲學基礎.(南京：南京大學出版社)第502頁]