多導(dǎo)彈協(xié)同慣性導(dǎo)航系統(tǒng)誤差修正及精度分析

寇昆湖，張友安，柳愛(ài)利

(海軍航空工程學(xué)院 控制工程系，山東 煙臺(tái)264001)

0 引言

多導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)是未來(lái)戰(zhàn)爭(zhēng)的發(fā)展趨勢(shì)。導(dǎo)彈編隊(duì)在中制導(dǎo)階段是沿著規(guī)劃的航路飛行的。飛行過(guò)程中，常采用慣性導(dǎo)航系統(tǒng)(INS)+GPS 進(jìn)行組合導(dǎo)航，但戰(zhàn)爭(zhēng)時(shí)期GPS 等衛(wèi)星導(dǎo)航信息將可能不可用[1]，而INS 單獨(dú)使用時(shí)，存在位置和速度估計(jì)誤差發(fā)散的問(wèn)題。彈載前視裝置，如TV、紅外成像是實(shí)現(xiàn)精確末制導(dǎo)所必須的，在中制導(dǎo)階段也可被用于對(duì)導(dǎo)彈的INS 位置誤差進(jìn)行修正[2]。前視裝置可提供相對(duì)于航路附近位置已知地標(biāo)的視線角信息但不能提供彈目距離信息，因此為了實(shí)現(xiàn)三維精確定位需補(bǔ)充高度信息。由于大地起伏的影響，無(wú)線電高度表不可用，氣壓高度表在飛行高度較低時(shí)誤差較大。導(dǎo)彈速度估計(jì)一般采用INS + 空速管的方式，但速度估計(jì)精度不高。導(dǎo)彈編隊(duì)飛行過(guò)程中，通過(guò)彈載數(shù)據(jù)鏈可獲得各枚導(dǎo)彈之間的相對(duì)距離信息[3]。在不需要彈目距離信息或高度表信息或空速管信息的前提下，如何充分利用已有的INS 信息、前視裝置提供的視線角和視線角速度信息及通過(guò)彈載數(shù)據(jù)鏈獲得的各枚導(dǎo)彈之間的相對(duì)距離信息，對(duì)INS 的位置和速度誤差進(jìn)行多彈協(xié)同修正是本文要解決的問(wèn)題。

已有學(xué)者針對(duì)協(xié)同導(dǎo)航問(wèn)題進(jìn)行了研究。Bahr[4]對(duì)自主水下航行器協(xié)同導(dǎo)航進(jìn)行了研究。Trawny[5]提出了2 種不同方法實(shí)現(xiàn)協(xié)同導(dǎo)航。Yotam 等[6]研究了基于不相關(guān)誤差模型的協(xié)同導(dǎo)航。張共愿等[7]提出了基于相對(duì)導(dǎo)航的多平臺(tái)INS誤差聯(lián)合修正方法。文獻(xiàn)[8 －12]對(duì)自主水下航行器協(xié)同定位問(wèn)題進(jìn)行了研究。

但以上這些方法難以推廣應(yīng)用于導(dǎo)彈的導(dǎo)航與定位。針對(duì)導(dǎo)彈進(jìn)行導(dǎo)航與定位的文獻(xiàn)比較少見(jiàn)。文獻(xiàn)[3]研究了領(lǐng)彈和攻擊彈協(xié)同定位的方法，但文章假定領(lǐng)彈的位置信息是精確已知的。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文從易于工程實(shí)現(xiàn)的角度，提出了一種基于地標(biāo)被動(dòng)觀測(cè)和彈間測(cè)距的多導(dǎo)彈協(xié)同導(dǎo)航方法。

1 多導(dǎo)彈協(xié)同導(dǎo)航原理

基于地標(biāo)被動(dòng)觀測(cè)的多導(dǎo)彈協(xié)同導(dǎo)航原理如圖1 所示。

圖1 中以3 枚導(dǎo)彈為例，OXYZ 為以已知地標(biāo)中心O 為原點(diǎn)的東北天坐標(biāo)系，Mkxyz 為以導(dǎo)彈質(zhì)心Mk(k=1，2，3)為原點(diǎn)的東北天坐標(biāo)系，rk為彈目距離，rpk為彈目距離在地標(biāo)水平面OXY 的投影分量，Gk為導(dǎo)彈質(zhì)心Mk在地標(biāo)水平面OXY 中的投影。在OXYZ 坐標(biāo)系中，設(shè)第k 枚導(dǎo)彈的位置為(xk，yk，zk)T，導(dǎo)彈與地標(biāo)間的觀測(cè)視線為OMk=xki +ykj+zkk，定義視線方位角αk為視線OMk在OXY 平面的OGk投影與OX 軸的夾角，位于OX 軸的左側(cè)為正;視線高低角βk為視線OMk與OGk的夾角，位于OG 上方為正。為了便于研究，考慮αk∈(0，90°)，βk∈(0，90°)的簡(jiǎn)單情形(實(shí)際應(yīng)用時(shí)需要具體考慮視線角所在象限)，在OXYZ 坐標(biāo)系中，視線方位角αk和視線高低角βsk可表示為

圖1 多導(dǎo)彈協(xié)同導(dǎo)航原理圖Fig.1 Schematic diagram of multi－missile cooperative navigation

設(shè)vek、vnk、vuk分別為第k 枚導(dǎo)彈的東北天方向的速度分量，則其方位角速率wak和高低角速率wek可表示為

編隊(duì)中第k 和l(k，l =1，2，3;k≠l)2 枚導(dǎo)彈之間的相對(duì)距離和距離變化率的大小可表示為

設(shè)導(dǎo)彈編隊(duì)中有n(n≥3)枚導(dǎo)彈，在中制導(dǎo)段飛行過(guò)程中，第k 枚導(dǎo)彈利用其前視裝置對(duì)進(jìn)入視場(chǎng)的已知地標(biāo)進(jìn)行連續(xù)、被動(dòng)觀測(cè)，觀測(cè)過(guò)程中任意采樣時(shí)刻ti(i=1，2，…，m)，都能夠獲得導(dǎo)彈相對(duì)于被測(cè)地標(biāo)的一組觀測(cè)信息;同時(shí)，基于數(shù)據(jù)鏈的無(wú)線電測(cè)距方法可以獲得各彈之間的相對(duì)距離量測(cè)信息，于是可得觀測(cè)序列

另一方面，觀測(cè)過(guò)程中任意采樣時(shí)刻ti，導(dǎo)彈可利用INS 估計(jì)得到其狀態(tài)信息

選擇編隊(duì)中3 枚以上幾何構(gòu)形好的導(dǎo)彈，利用INS 估計(jì)信息構(gòu)造的偽觀測(cè)序列(ti)與前視裝置獲得的實(shí)際觀測(cè)序列(ti)構(gòu)造殘差，以殘差作為觀測(cè)量，INS 誤差作為狀態(tài)量，建立量測(cè)方程。

2 協(xié)同INS 誤差估計(jì)

由(1)式～(6)式可知，待求解的導(dǎo)彈位置及速度狀態(tài)量與量測(cè)量之間的關(guān)系是非線性的，分別將其在ck=處進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，并取其一階近似，有:

借鑒文獻(xiàn)[13]的思想，(10)式～(15)式由于忽略高階項(xiàng)所造成的線性化誤差邊界為

式中:δXkl=[δxkl，δykl，δzkl]T;δζkl=δζk－δζl;ζ=x，y，z;δVkl=[δve，kl，δvn，kl，δvu，kl]T;δξkl=δξk－δξl;ξ =ve，

由(16)式可看出，線性化誤差的上界與第k 和第l 兩枚導(dǎo)彈INS 量測(cè)誤差有關(guān)。而經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間誤差積累，第k 枚導(dǎo)彈的INS 狀態(tài)估計(jì)值往往與真實(shí)狀態(tài)ck相差較大，已不能再忽略相應(yīng)的線性化誤差影響，必須對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)償。

將(5)式、(6)式在η 處展成二階泰勒級(jí)數(shù)，其二階項(xiàng)可分別表示為

式中:

由于fkl和gkl中包含了狀態(tài)變量，所以二階泰勒級(jí)數(shù)展開后仍然是狀態(tài)向量的非線性方程，要直接求解仍然比較困難。為了降低算法的復(fù)雜性和提高改進(jìn)算法的實(shí)用性，采用一種二步估計(jì)算法:

1)利用一階泰勒級(jí)數(shù)展開，即(10)式～(15)式，估計(jì)得到INS 誤差的粗解X';

這樣，由(10)式～(15)式和(19)式、(20)式就得到了量測(cè)量的較高精度的線性化表達(dá)式。

又因?yàn)?7)式中的量測(cè)信息可表示為:

式中:q1k、q2k、q3k、q4k、q5k、q6k分別為第k 枚導(dǎo)彈方位角、高低角、方位角速率、高低角速率、彈間相對(duì)距離及距離變化率大小的量測(cè)噪聲。

將(10)式～(13)式分別減去(21)式～(24)式，(19)式～(20)式分別減去(25)式～(26)式，可得INS 誤差估計(jì)量測(cè)方程

可看出，量測(cè)方程(27)式的狀態(tài)量X 恰好為3枚導(dǎo)彈的INS 誤差，觀測(cè)量可由3 枚導(dǎo)彈的偽觀測(cè)信息和實(shí)際觀測(cè)信息構(gòu)造得到。

對(duì)于觀測(cè)過(guò)程中任意采樣時(shí)刻ti，由(27)式可得

ti時(shí)刻，參與協(xié)同誤差修正的3 枚導(dǎo)彈可獲得18 個(gè)觀測(cè)分量:6 個(gè)視線角、6 個(gè)視線角速率、3 個(gè)彈間距離、3 個(gè)彈間距離變化率，且各個(gè)觀測(cè)分量方程是相互獨(dú)立的，故可估計(jì)出ti時(shí)刻3 枚導(dǎo)彈的INS三維位置及速度誤差。但由于量測(cè)噪聲Q(ti)的影響，使得誤差估計(jì)精度不高，不能滿足導(dǎo)彈編隊(duì)導(dǎo)航精度的要求。

考慮到觀測(cè)時(shí)間很短，故可合理化地認(rèn)為單枚導(dǎo)彈INS 速度誤差在觀測(cè)過(guò)程中保持不變，即

于是，由ti與tm時(shí)刻導(dǎo)彈的相對(duì)位置關(guān)系，可得到如下約束方程:

將(30)式代入(28)式，可將觀測(cè)過(guò)程中任意采樣時(shí)刻ti的量測(cè)方程都表示成以tm時(shí)刻INS 誤差為狀態(tài)量的形式

式中:

利用平均去噪的思想，將m 次觀測(cè)得到的量測(cè)方程求和處理:

又因?yàn)榱繙y(cè)噪聲可認(rèn)為是高斯白噪聲，即

于是可得

這樣，就估計(jì)出了tm時(shí)刻參與協(xié)同誤差修正的3 枚導(dǎo)彈的INS 三維位置及速度誤差，進(jìn)一步可實(shí)現(xiàn)INS 誤差修正:

需要特別說(shuō)明的是:在tm時(shí)刻，僅需就能實(shí)現(xiàn)INS 誤差修正;對(duì)存儲(chǔ)于彈載計(jì)算機(jī)中所有時(shí)刻的誤差都修正的目的是為迭代求解提供數(shù)據(jù)更新。

在實(shí)際應(yīng)用中，考慮到INS 初始誤差較大時(shí)，單次誤差估計(jì)的結(jié)果往往不能滿足INS 誤差修正精度要求，需基于誤差修正后的重構(gòu)偽觀測(cè)序列(ti)，即(9)式。利用(34)式進(jìn)行迭代求解，直至(tm)→0.迭代的目的是通過(guò)數(shù)據(jù)更新，使得(10)式～(15)式和(19)式～20(式)線性化精度提高，從而提高量測(cè)方程的建模精度和誤差估計(jì)精度。

3 精度分析

在前視裝置和無(wú)線電測(cè)距量測(cè)精度確定的情況下，如何使幾何精度因子(GDOP)的數(shù)值盡量減小，是提高導(dǎo)彈INS 誤差修正精度的一個(gè)重要途徑。而GDOP 是由參與協(xié)同誤差修正的導(dǎo)彈數(shù)量及導(dǎo)彈與地標(biāo)間的幾何關(guān)系決定的，因此，如何從導(dǎo)彈編隊(duì)中選擇用于進(jìn)行誤差修正的導(dǎo)彈，成為影響INS 誤差修正精度的關(guān)鍵。

3.1 水平精度因子(HDOP)

在水平方向，僅需要視線方位角就能實(shí)現(xiàn)地標(biāo)水平分量的定位，與高低角無(wú)關(guān)。由于導(dǎo)彈成像導(dǎo)引頭屬于前視裝置，因此，地標(biāo)一定位于導(dǎo)彈編隊(duì)在水平面投影的閉合區(qū)域之外。參考文獻(xiàn)[14]，假定編隊(duì)中各枚導(dǎo)彈的前視裝置測(cè)量精度相同，可得到如下結(jié)論:

1)只有以地標(biāo)位置為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系且各枚導(dǎo)彈與地標(biāo)距離相等時(shí)，即地標(biāo)位于所有參與協(xié)同誤差修正的導(dǎo)彈形成的外接圓的圓心，可以達(dá)到方差最小意義下的最優(yōu)估計(jì)，此時(shí)的HDOP 為

式中:rT為外接圓的半徑;σα為方位角量測(cè)標(biāo)準(zhǔn)差;n 為參與協(xié)同誤差修正的導(dǎo)彈數(shù)量;detF=

2)在結(jié)論1)的基礎(chǔ)上，當(dāng)各相鄰導(dǎo)彈視線方位角夾角相同，且滿足最優(yōu)夾角

此時(shí)，參與協(xié)同誤差修正的n 枚導(dǎo)彈呈最佳配置，其HDOP 為

由于導(dǎo)彈前視裝置視場(chǎng)范圍有限，設(shè)其為[－αmax，αmax]，則由(38)式可得如下約束條件

式中:n≥3 且為正整數(shù)。

設(shè)某型導(dǎo)彈成像導(dǎo)引頭視場(chǎng)范圍為[－ π/3，π/3]，由(40)式可得n≥5.因此，雖然3 枚導(dǎo)彈就能夠?qū)崿F(xiàn)定位，但為了達(dá)到最優(yōu)的幾何構(gòu)形，要求參與協(xié)同定位的導(dǎo)彈數(shù)量不少于5 枚。

3.2 高程精度因子(VDOP)

在3.1 節(jié)導(dǎo)彈在水平面的投影到地標(biāo)的距離rT確定的基礎(chǔ)上，討論在高程方向，由多枚導(dǎo)彈的高低角定位地標(biāo)高度的最優(yōu)幾何構(gòu)形。對(duì)參與協(xié)同誤差修正的第j(j=1，2，…，n，n≥3)枚導(dǎo)彈，導(dǎo)彈觀測(cè)地標(biāo)的高低角可表示為

式中:halt為地標(biāo)高度。

(41)式可改寫為

對(duì)于參與協(xié)同誤差修正的所有n 枚導(dǎo)彈，(42)式可寫成(43)式形式:

(43)式的解為

由(44)式可知，要halt存在，必須aTa =若參與協(xié)同誤差修正的所有n 枚導(dǎo)彈在空間呈直線分布，則彈間距離信息不獨(dú)立，系統(tǒng)不可觀測(cè)。為此，要求參與協(xié)同誤差修正的導(dǎo)彈不共線。這樣，參與協(xié)同誤差修正的所有n 枚導(dǎo)彈不可能全部位于地標(biāo)的正上方，因此，halt的解存在。

當(dāng)考慮量測(cè)誤差時(shí)，(42)式應(yīng)修改為

式中:e 為等效的量測(cè)誤差。

令β = (β1，β2，…，βn)T，有

利用最小二乘法，可以估計(jì)得到(45)式的解

則定位誤差的方差可以表示為

假設(shè)所有導(dǎo)彈前視裝置高低角量測(cè)誤差標(biāo)準(zhǔn)差均為σβ，則e 的協(xié)方差為

將(49)式代入(48)式可得

于是VDOP 為

當(dāng)編隊(duì)中各導(dǎo)彈飛行高度相同時(shí)，由于各導(dǎo)彈在水平面的投影到地標(biāo)的距離rT相同，因此βj=β(j=1，2…，n)，則VDOP 可簡(jiǎn)化為

可得，在其他條件相同的情況下，導(dǎo)彈飛行高度越低，高度定位精度越高。

4 仿真分析

仿真條件如下:地標(biāo)位置精確已知，位于彈目相對(duì)坐標(biāo)系OXYZ 的原點(diǎn);導(dǎo)彈編隊(duì)中3 枚導(dǎo)彈參與協(xié)同誤差修正;地標(biāo)進(jìn)入導(dǎo)彈視場(chǎng)初始時(shí)刻，3 枚導(dǎo)彈在OXYZ 坐標(biāo)系內(nèi)的真實(shí)狀態(tài)和慣導(dǎo)指示狀態(tài)分別為(位置單位:m，速度單位:m/s):c1= (3 500，2 300，936，－250，－150，0)T，= (4 000，1 823，1 036，－240，－159，2)T，c2= (3 000，2 700，936，－250，－150，0)T=(2 700，3 150，1 076，－256，－141，3)T，c3= (3 000，3 000，936，－250，－150，0)T，=(3 500，3 477，1 036，－240，－141，2)T.

考慮到前視裝置跟蹤范圍的約束，可觀測(cè)時(shí)間2 s;采樣周期20 ms;量測(cè)噪聲均為白噪聲，方位角量測(cè)白噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差0.7°，高低角量測(cè)白噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差0.5°，視線角速率量測(cè)白噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差0.15°/s，彈載數(shù)據(jù)鏈距離量測(cè)白噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差0.5 m，距離變化率大小量測(cè)白噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差0.2 m/s.估計(jì)結(jié)果如表1 所示。

表1 (tm)估計(jì)結(jié)果及估計(jì)精度Tab.1 Estimated results and accuracy of (tm)

表1 (tm)估計(jì)結(jié)果及估計(jì)精度Tab.1 Estimated results and accuracy of (tm)

狀態(tài)量 誤差估計(jì)值迭代次數(shù)1 2 3 4 5 6誤差估計(jì)總量誤差真值誤差估計(jì)精度δx1/m 476.940 00 28.042 0 16.195 0 －5.834 00 7.935 00 0.135 820 523.410 0 519.80 3.613 5 δy1/m －625.020 00 121.890 0 9.802 7 －3.851 10 5.266 10 0.090 449 －491.820 0 －494.82 3.001 2^X1(tm)δz1/m 106.640 00 －13.946 0 10.049 0 4.134 60 －1.908 30 0.022 312 105.000 0 103.96 1.035 2 δve1/(m·s －1) －9.931 30 33.944 0 －10.711 0 －10.727 00 7.590 10 0.031 818 10.197 0 10.00 0.196 9 δvn1/(m·s －1) －17.566 00 19.057 0 －8.164 5 －7.068 40 5.026 20 0.021 610 －8.693 7 －9.00 0.306 3 δvu1/(m·s －1) 6.092 80 －7.547 1 2.440 3 3.014 80 －2.218 10 －0.012 186 1.770 5 2.00 －0.229 5 δx2/m －351.550 00 45.984 0 －9.946 6 0.820 13 6.241 20 0.142 520 －308.310 0 －311.88 3.567 0 δy2/m 333.050 00 141.890 0 －11.010 0 0.905 75 5.900 20 0.136 260 470.880 0 467.82 3.057 7^X2(tm)δz2/m 119.220 00 20.036 0 2.946 9 4.987 60 －0.971 84 0.031 001 146.250 0 145.94 0.305 8 δve2/(m·s －1) －4.583 80 11.714 0 －10.079 0 －7.595 10 4.689 20 0.024 182 －5.829 9 －6.00 0.170 1 δvn2/(m·s －1) 19.728 00 1.769 4 －9.721 5 －6.826 10 4.414 10 0.026 247 9.390 3 9.00 0.390 3 δvu2/(m·s －1) 1.356 50 －2.654 8 3.430 8 2.357 60 －1.667 40 －0.012 418 2.810 3 3.00 －0.189 7 δx3/m 307.460 00 153.360 0 46.720 0 7.796 60 7.900 30 0.139 280 523.370 0 519.80 3.574 3 δy3/m 259.070 00 171.420 0 50.238 0 8.601 60 8.382 50 0.149 820 497.870 0 494.82 3.050 0^X3(tm)δz3/m 32.182 00 44.017 0 21.583 0 7.941 70 －1.089 30 0.031 057 104.670 0 103.96 0.705 7 δve3/(m·s －1) 12.029 00 12.748 0 －11.448 0 －8.844 70 5.699 80 0.023 675 10.209 0 10.00 0.208 7 δvn3/(m·s －1) 0.436 41 21.168 0 －9.731 4 －8.544 10 6.025 40 0.029 634 9.384 1 9.00 0.384 1 δvu3/(m·s －1) 10.148 00 －11.066 0 2.279 2 2.526 00 －2.033 90 －0.012 316 1.841 2 2.00 －0.158 8

5 結(jié)論

1)基于地標(biāo)被動(dòng)觀測(cè)的多導(dǎo)彈(不少于3 枚)協(xié)同誤差修正方法，在不需彈目距離信息或高度表信息或空速管信息的前提下，僅利用INS 信息、視覺(jué)信息及彈間一維測(cè)距信息，實(shí)現(xiàn)了導(dǎo)彈編隊(duì)INS 位置和速度誤差的同時(shí)修正。

2)以INS 誤差作為狀態(tài)量，以導(dǎo)彈觀測(cè)序列與INS 估計(jì)信息解算的偽觀測(cè)序列構(gòu)造觀測(cè)量，線性求解INS 誤差，并利用平均去噪思想提高估計(jì)精度，處理方法簡(jiǎn)單，計(jì)算量小。

3)從理論上推導(dǎo)了HDOP 和VDOP，給出了參與協(xié)同誤差修正的各枚導(dǎo)彈相對(duì)于被測(cè)地標(biāo)的最優(yōu)幾何構(gòu)形，對(duì)于提高導(dǎo)彈編隊(duì)INS 誤差修正精度具有一定的參考意義。

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