基于討價還價博弈的中長期購電計劃制定方法

王 一，龔 媛，王 程，梅生偉，陳 亮，3

（1.廣東省電力調度中心，廣州510600；2.電力系統及發電設備控制和仿真國家重點實驗室（清華大學電機系），北京100084；3.華南理工大學電力學院，廣州510640）

每年年末，各電網公司電力交易中心都需要制定第二年的年度及月度購電計劃，作為中長期調控的目標，相當于確定了一個電網年度經濟成本以及節能效果的基準[1，17]。2007年，國家發改委等4 部門聯合制定了《節能發電調度辦法（試行）》，對傳統的平均分配發電利用小時數的均衡發電調度模式進行改革，代之以按照機組能耗水平排序、以節能環保為目標的節能發電調度模式[2]。在這種全新的調度體系下，中長期購電方案需要優先安排全網能耗最低、排放最少的機組進行發電[3-5]，然而，電網運行的經濟性要求未得到充分體現[1]。一些低能耗但報價較高的大機組獲得了較多的合同電量，會導致電網購電成本有較大上升。從長遠看，為保證電網公司的健康發展和節能發電調度順利實施，中長期購電計劃的制定應綜合考慮各方面因素，尋找節能性與經濟性之間合理的平衡點，在節能降耗的同時保證電網運行的經濟性要求。

基于上述原因，中長期購電計劃可以歸納為一個雙目標優化問題。然而，目前這方面的研究多是基于單一目標[6-9]。文獻[10-11]提出了基于理想點貼近度的思路，將多目標加權轉化為單目標問題。文獻[12]則采用基因算法對多目標優化問題進行求解。然而，這些方法都沒有充分反映出不同優化目標之間相互影響、相互背離的內在關系，帶有一定主觀性。

本研究以購電成本最優及煤耗最優為目標，兼顧公平性原則，建立了電網中長期購電多目標優化模型，并引入博弈的思想，將不同的優化目標視為博弈者，各優化目標間的協調過程則可視為博弈者之間的討價還價過程。若此博弈過程滿足Nash 公理[13，14]，則可求出該博弈問題的唯一解，使電網購電方案在經濟性與節能性之間取得平衡。本文基于這一思想提出了一種中長期購電計劃的制定方法。

論文內容組織如下：第2 節建立了考慮公平性的中長期購電多目標優化模型。第3 節則闡述了如何將雙目標優化模型轉化為博弈模型，并論述了在Nash 公理條件下唯一解的求解方式。第4節通過算例證明了優化模型和算法的有效性。第5節為結論。

1 電網中長期購電多目標優化模型

1.1 多目標優化模型

電網中長期購電問題可以歸納為一個多目標優化問題。在預先知道各時段各機組檢修、熱電聯產等情況下，以滿足各時段負荷預測為約束條件，兼顧公平性和可行性原則，將各時段各機組購電量作為變量，實現對目標函數的優化。

設系統中共有N 臺機組，共需考慮T 個時段的購電計劃（如果所需制定的是月度發電計劃，則T=12）。為兼顧經濟性和節能性，構建購電計劃雙目標優化模型如下

式中：F、C 分別表示電網的購電成本和煤耗總量，用以代表系統的經濟性與節能性目標；fi、gi分別為機組的購電成本函數和煤耗函數；xit表示機組i 在t月中的發電量，i=1，…，N，t=1，…，T。

優化問題的約束條件如下。

1）電量平衡約束為

式中，Et是t月的總負荷預測電量。

2）機組發電量約束為

式中，Eitmin和Eitmax是第i 臺機組t月中的發電量上下限。在已知每臺機組每月檢修情況的條件下，機組的月最大發電量由其當月可運行天數決定。同時對于熱電聯產機組，在供熱期需要保證開機運行，Eitmin大于零。

3）系統公平性約束為

式中：μit，μjt分別是機組i，j 在t 時段中的平均負荷率，μit=xit/Eitmax；μ0代表實際調度中機組負荷率所允許的最大差值，該約束對應于實際調度過程中的公平性原則，即不同機組的負荷率不應相差過大，以免影響一些電廠發電的積極性。

式（1）～式（5）表示的優化問題是一個變量個數為NT、不等式約束個數為NT（N + 1）、等式約束個數為T 的雙目標優化問題。如果假設機組購電成本與煤耗均為線性函數，則優化目標可以表示為

式中，ci、di分別為機組的報價和單位煤耗。

1.2 雙目標之間的關系計算

經濟性和節能性這兩個目標相互影響。對電網來說，有時需要知道為滿足一定的經濟性目標，付出了多少節能成本（或反之），因此需要對這二者之間的關系有定量的分析，其計算過程可按下述步驟進行。

步驟1 單獨計算目標函數式（6）在約束（3）～（5）下的最優解，設為Fmin，得出以購電成本最優為目標的各機組各月度發電量。

步驟2 以式（7）為優化目標，式（3）～式（5）為約束，同時將最優購電費Fmin作為約束，按一定步長放寬購電費限制，分別計算此時的最優煤耗。

步驟3 由此可計算在不同購電成本下煤耗相對購電費用的邊際成本，從而得到為滿足一定的經濟性要求，電網需要付出多大的節能成本代價。

綜上，本節給出的雙目標優化模型，既能實現對經濟性與節能性的優化，又考慮了電網的實際情況，通過機組平均負荷率來表征調度的公平性要求，簡便易行。在解決這一多目標優化問題時，一般需要采用加權法或其變種。由于權重系數需依賴人為制定，包含較強的主觀因素。下面采用基于討價還價博弈的方法解決這一優化問題。

2 基于討價還價博弈的算法

在制定中長期購電計劃時，總是希望能同時優化購電費用和煤耗兩個指標。這兩個指標相互聯系、相互影響，既不完全一致，也不完全背離。從數學上看，實質上二者存在著某種“競爭-合作”關系。因此，可將“購電費用”與“發電煤耗”看作兩個互相競爭的談判單位（negotiation primitive）所追求的目標，它們可選擇的策略就是每臺機組的月度發電量。這二者都想最大化自身的利益，同時也要盡量避免最壞情況的發生。從這個意義上說，該多目標優化問題屬于博弈論中一類典型的“討價還價”（bargaining）問題[13，14]，因而有望采用相關的博弈理論和方法加以解決。

2.1 Nash 公理模型

在討價還價過程中，假設利益雙方都是理性的，且對于對方可能的策略及收益有著完全的了解。對于這類討價還價問題，Nash 提出了四條公理，用于求出一個博弈雙方都可以接受的“合理”的解[13-14]。下面將對這些公理及其意義進行闡述，公理的證明見文獻[16]。

（1）帕累托有效性（Pareto-efficient）：一個雙方均可接受的結果不能被其他結果所“優超”，即不能有其他結果使雙方均獲得更大的收益。這條公理很容易理解。如果有其他結果使雙方收益均增加，那么博弈雙方沒有理由不選擇這個新的結果。由此可知，討價還價問題的結果一定在其所對應的雙目標優化問題的帕累托前沿上。

（2）對稱性（Symmetry）：對稱性是指，博弈雙方的討價還價結果與雙方決策的順序無關，只由博弈雙方的收益函數決定。特別地，當雙方收益空間完全相同時，其“合理”解一定在雙方收益相等的點達到。對稱性反映了雙方對自身利益的偏好是相同的。可以想象，當雙方受益空間完全相同時，作為兩個理性的對局者，沒有理由不對等地分配它們的利益。

（3）等價收益的不變性（Invariance）：對任一方的收益函數做線性變換，則最終合理解也應做同樣的線性變換。這一公理表明了博弈雙方“合理”解的相對位置不隨收益數值大小的改變而改變。

（4） 無關選擇的獨立性（Independence of irrelevant alternatives）：如果U 和U'是兩個討價還價問題，U'的收益空間是U 的受益空間的子集。若U 的合理解亦在U'的收益空間內，則它必然也是U'的合理解。該公理蘊含的思想是，對博弈者來說，在選擇某個合理解的時候，與合理解“無關”的選擇不會影響最終博弈的結局。

Nash 證明了在滿足上述公理的前提下，討價還價問題再在下述唯一的合理解：

式中：f1、f2為博弈雙方的收益函數；d1，d2表示博弈雙方可能會得到的最差收益。

該合理解可用圖1 表示。一般來講，若雙方都是理性的博弈者，且均對自身利益有著相同的偏好程度，則他們總是希望選擇一個離最壞情況最遠的解。因而兩人談判的結果即為最終的博弈解。

圖1 討價還價問題的Nash 均衡解的圖示Fig.1 Nash equilibrium of the bargaining game

2.2 兼顧經濟性與節能性的購電策略求解方法

對于購電費用與發電煤耗這兩個目標，采用上面的討價還價問題模型求解Nash 均衡解，則可等價于求解下述二次優化問題：

式中：Fmax和Cmax分別表示購電成本與煤耗在約束條件下的最大值，把式（6）、（7）模型中的min 變為max 即可求解得到。式（3）～式（5）為該優化問題的約束條件。由Nash 公理1 可知，均衡點一定在雙目標優化問題的帕累托前沿上取得，如圖2 所示。

圖2 購電成本與發電煤耗的討價還價博弈示意Fig.2 Relationship between electricity purchase cost and coal consumption in the bargaining game

式（9）所表示的優化問題為二次優化問題，求解過程相當復雜。為此，可以采用一種簡便的方法是，即先求出原雙目標優化問題的帕累托前沿，再從中搜索出滿足式（8）條件的合理解x0。

帕累托前沿的求解方法有很多，如文獻[15]所提出的基于正態邊界交點法NBI（normal boundary intersection）的方法。在本文中，考慮到兩個優化目標均為線性函數，故只需采用2.2 節中的方法，放松煤耗約束，即可獲取完整的帕累托前沿。

綜上，本節給出了基于討價還價博弈的購電算法，可以求出經濟性與節能性的均衡解。根據Nash 公理可知，該均衡解的物理意義在于使調度方案的社會效益最大化。需要說明的是，這種將雙目標優化問題轉化為博弈過程的方法，不僅適用于線性模型，還可適用于處理非線性問題，故其具有很強的通用性和工程實用性。

3 算例分析

3.1 算例1：10 機39 節點系統

算例采用IEEE-10 機39 節點系統。各機組額定容量與年度檢修情況如表1 所示；機組年度檢修情況如表2 所示；各月預測負荷量大小如表3所示。

以式（6）為目標函數，式（3）～式（5）為約束，設μ0=10%，求解單目標優化問題得到各機組月度發電量與月度平均負荷率如圖3 和圖4 所示。由圖可見，在每個月中，部分機組（一般來說是購電費用較低的機組）負荷率較大，剩余機組（一般來說是購電費用較高的機組）負荷率較小。而最大最小負荷率之差始終保持10%的限制。由于檢修計劃的不同，各機組的負荷率大小在不同月份會有所變動。求得的最優購電費用為Fmin=155.9億元。

表1 機組容量及平均煤耗、電價Tab.1 Capacity of the units，the average coal consumption，and electricity prices

表2 機組年度檢修情況Tab.2 Annual maintenance plan for each unit

表3 月度負荷預測Tab.3 Load forecasting in each month（10 億kW·h）

圖3 10 機月度計劃發電量Fig.3 Monthly generation plan of 10 machines

進一步逐步放開購電費用的約束，考察最優煤耗的變化，即計算下述優化問題

圖4 10 機月度平均負荷率Fig.4 Monthly average loading rate of 10 machines

其中α 為放松購電費用約束的比例系數。取α 的范圍為[0，0.001，0.002，…，0.02]，可得購電費用與煤耗之間的關系，以及煤耗相對購電費用的邊際成本如圖5 所示。

圖5 煤耗與購電費用之間的相對關系Fig.5 Relationship between coal consumption and electricity purchase cost

從圖中可以看到，購電費用約束最多放開1.5%左右，煤耗已經達到最小值（同時購電費用也達到了最大值），即煤耗優化已經到達其極限。同時，通過煤耗相對購電費用的邊際成本，可以知道為優化經濟性而付出的節能性代價。例如，當購電費用為157 億元時，為降低0.1%的購電費用，需要帶來多消耗約800 噸煤的代價。

同理，若先計算以煤耗為目標的單目標優化，再以煤耗為約束計算最優購電成本，可得二者的關系如圖6 所示。

圖6 煤耗與購電費用之間的相對關系Fig.6 Relationship between coal consumption and electricity purchase cost

下面通過博弈方法求解雙目標優化問題的均衡點。采用上述方法，將放縮步長減小至0.0001，可以求得問題的帕累托前沿，之后在帕累托前沿上尋找滿足式（8）的點，最終結果如圖7 所示。

圖7 討價還價博弈下的購電費用和煤耗的Nash 均衡點Fig.7 Nash equilibrium of electricity purchase cost and coal consumption in the bargaining game

在這一均衡點上的系統年度購電費用與煤耗分別為156.62 億元和1159.1 萬噸。

3.2 算例2：廣東系統

采用廣東電網真實系統進行計算。該系統共有123 臺燃煤機組，則優化問題共有1 476 個變量，18 萬個不等式約束。按照廣東電網2011年實際發電計劃，購電費用為1 174.9 億元，煤耗：6 796.1 萬噸。取分別為10%、20%，以煤耗最優或購電費用最優所計算的單目標優化結果如表4 所示。

表4 廣東電網數據計算結果對比Tab.4 Computational result for the real data of Guangdong power grid

由表4 中可以看出，不同的優化方案相比實際購電情況，在煤耗和購電費用上均有了大幅改進。取為20%，計算煤耗相對購電費用的變化關系與購電成本如圖8 所示。

圖8 煤耗與購電費用之間的相對關系Fig.8 Relationship between coal consumption and electricity purchase cost

購電費用放松的步長為0.05%。可見當購電費用約束放松約0.5%時已至最大值。

計算優化問題的帕累托前沿與Nash 均衡解如圖9 所示。此時，購電費用為1 165.9 億元，煤耗為6 738.1 萬噸，比實際方法購電費用省錢9 億元，省煤48 萬噸。該計算結果表明了本文提出的基于討價還價博弈的經濟性與節能性協調方法的合理性。

4 結語

本文提出的中長期購電計劃模型，可以在考慮電網實際運行中的公平性因素的基礎上，對系統的經濟性和節能性進行優化，并能夠定量分析二者之間的關系，計算出二者之間相互替代的邊際成本。對這樣一個雙目標優化問題，采用討價還價博弈求解均衡解。從社會的角度來看，均衡解表示經濟性與節能性目標之間相互平衡，意味著社會效益達到了最大，因而是這一優化問題的一個“最優”解。

本文所提出的模型和算法具有很好的通用性，能夠解決電網調度中面臨的實際問題。博弈算法能夠反映經濟性與節能性之間相互影響而又相互背離的關系，具有明確的物理意義。通過算例表明了該算法在提高經濟性與節能性上的重要作用，因此具有較強的工程實用價值。

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