基于擬合與粒子群優化的VG方程參數估計

曹懷火，歐陽艾嘉，艾海男

1.池州學院 數學與計算機科學系，安徽 池州 247000

2.湖南大學 計算機與通信學院，長沙 410082

3.重慶大學 三峽庫區生態環境教育部重點實驗室，重慶 400045

1 引言

土壤水分特征曲線是表征土壤含水率與土壤水吸力的關系曲線，是定量研究土壤水分運動的重要參考。影響土壤水分特征曲線的因素非常復雜，通常情況下難以從理論上得出確定的關系式。因此，人們尋求一些經驗公式來數值模擬土壤水分特征曲線，目前國內外最為普遍使用的描述土壤水分特征曲線的Van Genuchten方程[1]（簡稱VG方程）是美國學者Van Genuchten在1980年提出的，其具體表達式為：

其中θ為土壤含水率（m3/cm3）；h為土壤水吸力（cm）；θs為土壤飽和含水率（cm3/cm3）；θr為土壤殘余含水率（cm3/cm3）；α,m,n為土壤水分特征曲線形狀參數，m=1-1/n，n>1。

通常對于求解VG方程式（1）的參數估計問題采用間接法，即轉化為如下最優化模型（2）的求解問題：

其中θi為實測土壤含水率；hi為實測土壤基質勢；N為實測數據組數。傳統的優化方法[2-5]大多基于梯度計算，計算效率比較高，但由于其固有的局部優化性，并不適合于全局優化問題的求解。于是很多學者對求解VG方程的參數估計問題引入了智能進化算法，如遺傳算法、粒子群算法等[6-8]，同時也取得了一定的效果。

由于遺傳算法和粒子群算法受初值影響，易于產生局部最優解等缺陷，目前很多學者給出了一些改進的遺傳算法[9]和改進的粒子群算法[10]。為了提高粒子群算法的收斂概率和減少迭代次數，綜合文獻[11-12]方法的思想，將lsqcurvefit擬合方法與粒子群優化算法相結合，構造一種新的混合型粒子群優化算法，并用于求解VG方程的參數估計問題。該算法不僅包含粒子群算法的全局搜索能力，還具有lsqcurvefit擬合函數較強的局部優化能力。

2 算法構造

2.1 粒子群優化（PSO）算法簡介

粒子群優化算法是一種進化計算技術，它是模仿鳥群或魚群的社會行為而提出的算法。首先初始化一群隨機粒子，然后粒子們就追隨當前的最優粒子在解空間中搜索，即通過迭代找到最優解。假設d維搜索空間中的第i個粒子的位置和速度分別為Xi=(xi1,xi2,…,xid)和Vi=(vi1,vi2,…,vid)，在每一次迭代中，粒子通過跟蹤兩個最優解來更新自己，第一個就是粒子本身所找到的最優解，即個體極值pbest，Pi=(pi1,pi2,…,pid)；另一個是整個種群目前找到的最優解，即全局最優解gbest，在找到這兩個最優解時，粒子根據如下公式來更新自己的速度和新的位置：

其中w為慣性權因子，c1和c2為正的學習因子，r1和r2為0到1之間均勻分布的隨機數。

2.2 基于Lsqcurvefit擬合的粒子群優化算法

PSO算法的搜優速度在一定程度上快于其他進化算法，但卻存在全局搜索能力極強而局部尋優能力比較差，也就是說該算法可以用于極快的速度搜索到最優解附近，但要進一步達到最優解則速度很慢。為了加快局部尋優能力，將lsqcurvefit擬合方法與PSO算法相結合，構造一種新的混合型粒子群優化算法（LPSO算法），其基本思路是在進化過程當中利用非線性擬合函數lsqcurvefit優化初始種群，通過lsqcurvefit函數較強的局部優化能力來提高收斂速度，進而同時具有PSO算法的全局優化能力和lsqcurvefit擬合方法的高效局部優化能力。主要步驟如下：

步驟1隨機初始化種群中各微粒的位置和速度，并確定粒子種群規模N、學習因子c1，c2以及慣性權因子w。

步驟2用Matlab中的非線性擬合函數lsqcurvefit優化初始種群位置，其調用格式為：

其中X為優化后的初始種群，resnorm為要返回的殘差平方和，fun為擬合函數，x0為初始種群，xdata、ydata分別為實測數據。

步驟3計算每個微粒的適應值，并將當前各微粒的位置和適應值存儲在各微粒的pbest中，將所有pbest中適應值最優個體的位置和適應值存儲于gbest中。

步驟4用式（3）～（4）更新各微粒的速度和位移。

步驟5對于每個微粒，將其適應值與其經歷過的最好位置作比較，如果較好，則將其作為當前的最好位置。

步驟6比較當前所有pbest和gbest的值，更新gbest。

步驟7若滿足停止條件，搜索停止，輸出結果，否則返回步驟4繼續搜索。

3 數值實驗與結果分析

3.1 數值實驗

為了驗證所提出的LPSO算法的優化性能和優化精度，以石家莊農業現代化研究所欒城實驗站提供的土壤數據[3]為例。算法的參數設置為：學習因子c1=c2=1.2，粒子數N=200，慣性權因子w=0.45，最大迭代次數為1 000次。在計算過程當中，參數α，n，θs，θr的取值范圍為[0，5]。

驗證分成兩部分。第一部分是分別采用LPSO算法與PSO算法進行求解VG方程參數的40次數值實驗，以分析其能夠收斂的次數、收斂效率以及收斂迭代次數來比較兩者的優缺點。第二部分從最優化準則函數值的角度，分別采用lsqcurvefit擬合方法、PSO算法和LPSO算法對VG方程的參數進行估計，以比較LPSO算法與PSO算法以及lsqcurvefit擬合函數的最優值。

3.2 結果分析

表1給出了LPSO算法與PSO算法的優化性能結果比較。由表1可以看出，LPSO算法的收斂次數為40次，收斂概率為100%，而PSO算法的收斂次數僅有7次，收斂概率為17.5%。由此可見，在收斂性能上，由于LPSO算法引入lsqcurvefit擬合函數，使其收斂效率比PSO算法大大提高。從收斂時迭代次數的分布來看，LPSO算法的收斂迭代次數在區間[101，200]的次數最大達到22次，而PSO算法在區間[101，200]的收斂迭代次數僅有3次。因此，LPSO算法與PSO算法相比，不但收斂效率提高，而且收斂迭代次數也大大增加。

表2給出了lsqcurvefit擬合方法、PSO算法和LPSO算法估計VG方程參數的函數最優值結果比較。由表2可以看出，LPSO算法的結果要比lsqcurvefit擬合[3]方法、PSO算法的結果都小一些。另外，lsqcurvefit擬合方法對參數初值的依賴很強，而LPSO算法沒必要給出各參數的初值。綜合可見，LPSO算法對參數估計的結果要優于lsqcurvefit擬合方法和PSO算法計算的結果。

表1 VG方程的粒子群算法優化性能比較

表2 VG方程的參數估計結果比較

4 結束語

本文將lsqcurvefit擬合方法與粒子群（PSO）算法相結合，實現了不同土樣的土壤水分特征曲線VG方程的參數估計，并與PSO算法和lsqcurvefit擬合方法相比較，結果表明了LPSO算法求解VG方程參數效果更好，避免了初值選取和陷入局部最優解的問題。另外該算法也可適用于其他類似的非線性參數估計問題。

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