最小一乘法GM(1,1)在變形監測中的應用

謝波,汪荃

(1.重慶水利電力職業技術學院,重慶 402160； 2.武漢科島地理信息工程有限公司,湖北武漢 430079)

最小一乘法GM(1,1)在變形監測中的應用

謝波1?,汪荃2

(1.重慶水利電力職業技術學院,重慶 402160； 2.武漢科島地理信息工程有限公司,湖北武漢 430079)

在分析GM(1，1)建模過程和最小一乘法原理的基礎上提出最小一乘法GM(1，1)，解算最小一乘法GM(1，1)的線性規劃問題，分析和比較了最小一乘法GM(1，1)和GM(1，1)在變形監測數據處理中的應用。結果表明：將變形系統看成灰色體系，采用最小一乘法GM(1，1)模型預報沉降變形監測結果是可行的和有效的，即使在較少的數據信息情況下，通過縮短外推時間，也可以達到較高的預測精度，具有實用和推廣價值。

灰色模型；變形監測；時間序列；預測

1 引 言

灰色系統理論是用來解決信息不完備的隨機時間序列數據的數學方法,它利用原始數據序列累加生成的新數據序列來建立一個微分方程形式的時間連續函數模型GM(n,h),并以此作出預測[1]。最常用的灰色模型為一階單變量灰色模型GM(1,1),用最小二乘法進行灰色模型GM(1,1)的參數估計[2～4],但最小二乘法的穩健性較差,而最小一乘法能有效降低異常數據對回歸系數的敏感性影響。本文在分析GM(1,1)建模過程和最小一乘法原理的基礎上提出最小一乘法GM(1,1),并利用Matlab 6.5解算最小一乘法GM(1, 1)的線性規劃問題,最后對兩種方法在變形監測數據處理中的應用進行分析和比較,得出一些有益的結論。

2 GM(1，1)模型

設原始數據序列為:

Y=[x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(n)]T

則用最小二乘法估計微分方程的系數a,b:

將a、b帶入GM(1,1)模型的白化微分方程:

令x(1)(0)=x(0)(1),上述方程的解為一時間函數:作逆累加生成,還原GM(1,1)模型為:

此式即為GM(1,1)的預測模型。

3 最小一乘法GM(1，1)模型

3.1 最小一乘法的原理

從本質上講,最小二乘法的準則是誤差平方和最小,最小一乘法的準則是誤差絕對值和最小,在上述準則下求式(6)的回歸系數a、b。

用最小一乘法來估計回歸系數能降低異常點對回歸系數的敏感性影響,穩健性較強,因此在某些方面,人們已經偏向于用最小一乘法來估計回歸系數,并對其統計性質進行研究[5]。

3.2 最小一乘法GM(1，1)模型的原理

基于最小一乘法的GM(1,1)模型在解算微分方程式(1)的系數a、b時應用最小一乘準則,即求下式:

作如下變換,令:

預報函數為:

則式(7)轉化為線性規劃問題[6]:

4.2 最小一乘法GM(1，1)模型解算

解算最小一乘法GM(1,1)模型的關鍵在于解算線性規劃問題式(8)。運用工具軟件Matlab 6.5求解時,可轉化為如下標準計算程序[7],其中的參數轉換為:

求解上述線性規劃問題得到a′、a″、b′、b″,并計算得a=a′-a″,b=b′-b″。

4 工程應用實例

預報函數為:

以某高層建筑HD點沉降觀測數據為例。由于該建筑物發生沉降的機理復雜,沉降觀測點的變形值僅是時間的變量,且觀測值序列為等時間間隔數據,因而可以建立灰色模型來進行預測。

4.1 GM(1，1)模型的建立及解算

監測點HD的原始數據序列見表1。為了驗證灰色理論的有效性和優越性,僅取4月11日～5月1日4期的觀測值序列為建模樣本序列:

基于最小二乘法解算GM(1,1)微分方程的系數a、b:

4.3 模型預測數據及分析

根據上述兩種灰色模型建立的預報函數,預測后面8期的數據,如表1所示。從表1可見,利用4月11日～5月1日4期的觀測值序列建立的GM(1,1)和最小一乘法GM(1,1)模型的擬合數據精度都較好,但是預測數據隨著往后預測的時間推移,預測數據的誤差越來越大。說明利用前4期的靜態建模,作中長期預測,偏差越來越大。對于4月11日～6月24日全部觀測值數據序列,兩種模型整體的全中誤差分別為1.61mm和1.60mm。

觀測值和預測值 表1

由于觀測值是時間序列數據,且從表1中可見,以4月11日～5月1日觀測值建立預報函數,預報5月8日的觀測值的精度較高。因此,重新按如下思路建立預測模型:以任意的連續的前4期觀測值建立模型,僅對其后的第5期進行一步預測,如此循環推進預測,預測數據如表2所示。從表2可見,GM(1,1)和最小一乘法GM(1,1)模型的一步預測精度較高,兩種模型的全中誤差分別為0.33 mm和0.37 mm。

觀測值和一步預測值 表2

5 結 論

(1)影響建筑物沉降的因素較多,模型建立難度較大,將灰色理論及灰色模型預報技術應用于變形監測點沉降預報的研究結果表明:將變形系統看成灰色體系,采用GM(1,1)或最小一乘法的GM(1,1)模型預報沉降變形監測結果是可行的和有效的。

(2)灰色模型尤其適用于呈現單調趨勢變化的時間序列,隨著時間的外推,模型預測的誤差越來越大,因而,為提高預測精度,可根據外推時間的長短,應用近期的觀測數據建立預測模型,能夠滿足較高預測精度的要求。

(3)GM(1,1)或最小一乘法的GM(1,1)建模需要的原始數據較少,甚而在僅有4期原始數據序列的情況下也能得到很好的預測結果,并且計算過程簡單,利用工具軟件較容易實現,因而在實踐中具有實用價值。

[1] 鄧聚龍.灰色系統基本方法[M].武漢：華中理工學院出版社，1981.

[2] 尹暉，陳永奇，張琰.貧信息條件下的多點變形預測模型及其應用[J].測繪學報，1997，26(4)：365～372.

[3] 李斌，朱健.非等間隔灰色GM(1，1)模型在沉降數據分析中的應用[J].測繪科學，2007，32(4)：52～55.

[4] 馬寶卿.用灰色模型預測邊坡變形的新方法探討[J].測繪通報，2002，11：17～24.

[5] 陳希儒.最小一乘線性回歸[J].數理統計與管理，1989，8(5)：48～55.

[6] 蒲俊，吉家鋒，伊良忠.MATLAB 6.0數學手冊[M].上海：浦東電子出版社，2002.

[7] 仇環.地表變形監測數據挖掘[D].淄博：山東理工大學，2008：23～24.

App lication of GM(1,1)M odel Based on Least Absolute Deviation to Deformation Observation

Xie Bo1,Wang Quan2
(1.Construction Department of Chongqing Hydroelectric College,Chongqing 402160,China；2.Wuhan Kedao Geographical Information Enginering Co.,Ltd.Wuhan 430081,China)

Based on analysis of progress of GM(1,1)modeling and principle of least absolute deviation,the article propose GM(1,1)model based on leastabsolute deviation and solute the linear programming problem in GM(1,1)model based on least absolute deviation,analyze and compare GM(1,1)model based on least absolute deviation with GM (1,1)in application of deformation observation data processing.The results show that take The deformed system as gray system and adopt GM(1,1)model based on least absolute deviation to predict deformationmonitoring results is feasible and effective,even in the case of less data,extrapolation by shortening the time,higher prediction accuracy can also be reached,so it has practical and promotional value.

green model；deformation observation；time series；forecasting

1672-8262(2013)06-150-03

P216，TU196+.1

A

2013—05—28

謝波(1973-),男,工程師,主要研究方向為精密工程測量和測量數據處理。