動態GM(1,1)在建筑物沉降變形分析中的應用研究

周呂，韓亞坤，陳冠宇，胡紀元

(1.桂林理工大學測繪地理信息學院，廣西桂林 541006；2.廣西空間信息與測繪重點實驗室，廣西桂林 541006)

動態GM(1,1)在建筑物沉降變形分析中的應用研究

周呂1，2?，韓亞坤1，2，陳冠宇1，2，胡紀元1，2

(1.桂林理工大學測繪地理信息學院，廣西桂林 541006；2.廣西空間信息與測繪重點實驗室，廣西桂林 541006)

介紹了灰色系統理論。針對傳統GM(1，1)模型在建模時只從靜態角度考慮未來時刻的狀態這一缺陷，本文引入了可以實時加入系統最新信息的動態GM(1，1)預測模型。利用傳統GM(1，1)模型與動態GM(1，1)模型對某橋梁監測點進行沉降變形分析與預測。通過對比分析實例計算結果表明，動態GM(1，1)模型可以有效地修正預測模型，在一定程度上提高了模型的預測精度，其預測效果優于傳統GM(1，1)模型。

沉降變形；動態GM(1，1)；變形預測

1 引 言

變形監測就是在時間域與空間域下進行的大地測量工作，其主要任務是確定在各種外力和荷載的作用下，變形體的形狀、大小及其位置發生變化的空間狀態與時間特征[1]。建筑物沉降變形分析是通過對特定監測點進行定期監測，獲得原始監測數據，并對這些監測數據進行整理、分析得出變形體變形規律的過程。隨著科學技術的進步和計算機技術的發展，各種理論與方法都在應用于建筑物的變形分析與變形預報的研究中。目前在建筑物變形分析預測中，應用較廣泛地模型有:小波理論模型[2]、灰色系統預測模型[3]、回歸分析模型[4]、基于Kalman濾波的BP神經網絡法[5]、時間序列分析法[6]、模糊神經網絡預測模型[7]等等。本文在傳統灰色GM(1，1)模型的基礎之上，引入動態GM(1，1)預測模型，結合建筑物的實際沉降變形監測數據，建立動態GM(1，1)預測模型。通過工程實例證明動態GM(1，1)預測模型較傳統灰色GM(1，1)模型精度高，適合應用于建筑物的沉降變形分析與預報。

2 傳統灰色GM(1，1)模型[8]

灰色系統就是指既含有已知的又含有未知的或非確知的信息系統[8]?；疑到y理論的研究對象是部分信息已知，部分信息未知的小樣本、貧信息不確定性系統。它通過對較少或不確定的表示系統行為特征的信息作生成變換來建立灰色模型(Grey Model)，以此來正確把握系統運行行為和演化規律。GM(1，1)模型是一個只需一個灰色數列且適用于變形預測分析的模型。GM(1，1)預測模型的建立過程如下[8]:

為了提高系統原始數據的規律性，可對灰色量采用數據生成方式，獲得有較強規律性的生成數列。常用的生成方法主要有:累加生成、累減生成、均值生成等。

令x(0)為某一監測點各期的等間隔非負原始數據序列:

式中n為序列長度，k=1，2，…，n。對原始序列進行一次累加生成，得到光滑的生成數列(記x(1)=AGO x(0)):

對式(2)時間求導建立GM(1，1)一階線性灰微分方程，即GM(1，1)預測模型的白化方程:

式中a，b為待定常數。a用來控制系統發展態勢的大小，稱為發展系數；b用來反映數據的變化關系，稱為灰色作用量。

將式(3)變換可得灰差分方程:

式中z(1)(k)為x(1)的緊鄰均值:

式(4)可寫成YN=Bα其中B為累加生成矩陣，YN為數據向量，α為參數矩陣。

根據最小二乘原理可求得:α=(BTB)-1BTYN(6)

將求得的待定參數及邊界條件x(1)=x(0)代入式(3)得GM(1，1)白化方程的時間響應式:

通過累減生成GM(1，1)預測模型:

3 動態GM(1，1)模型

傳統灰色GM(1，1)模型建模時，采用的是現實狀態t=n為止的過去的數據。隨著時間的推移，將會有一些隨機干擾因素進入系統，影響后期的預測。為了彌補上述缺陷，準確的預測建筑的沉降變形情況，對變形進行動態分析，需要將t＞n的這些未來因素考慮進去，即GM(1，1)模型要把每一個新的數據送入原始序列中，重新建立GM(1，1)預測模型。

動態GM(1，1)模型是傳統GM(1，1)模型的改進，其建模原理是依據原始序列x(0)=[x(0)(1)，x(0)(2)，…x(0)(n)]構建傳統GM(1，1)模型，根據傳統GM(1，1)模型求得t=n+1時刻的預測值x(0)(n+1)，然后將x(0)序列中的x(0)(1)舍去，加入x(0)(n+1)到原始序列，重新構建灰色建模序列，依據新的數據序列x1

(0)=[x(0)(2)，x(0)(3)，…x(0)(n+1)]建立的模型，即為動態GM(1，1)模型。

4 模型精度檢驗

本文采用后驗差檢驗法[9]評判模型精度，該檢驗法由后驗差比值C和小誤差概率P來共同描述。設實測數據方差為s21，殘差數據方差為s22，則計算式分別為:

小誤差概率為:P=P{｜q(k)-ˉq｜＜0.6745s1}

按照C和P兩個指標，可以綜合評判模型精度，各精度等級如表1所示。

后驗差檢驗法精度等級表 表1

5 工程實例

本文以貴廣高鐵某橋梁的沉降監測數據為例，該橋梁的沉降變形監測，使用Trimble的DiNi03電子水準儀進行國家二等水準觀測，每7天觀測1次。本文依據該橋梁某監測點連續11期的觀測數據，利用GM (1，1)模型和動態GM(1，1)模型對其進行沉降變形分析與預測，并與實測數據進行對比分析。

取監測點前8期數據分別建立傳統GM(1，1)模型并預測第9期至第11期的沉降變形量。建立動態GM (1，1)模型時，依據傳統GM(1，1)模型預測第9期數據，用第9期的預測值替換原始監測序列中的第9期實測數據，并且剔除原始序列的第1期數據組成新的等維的序列，按照建立傳統GM(1，1)模型的方法建立動態GM(1，1)模型，逐步循環，預測后3期的沉降變形量。

本文的計算過程通過MATLAB R2008a編程實現模型的建立與預測，把原始監測數據帶入程序中可得:

通過上述三式計算可得監測點的預測結果，如表2所示。

由表2可知，在運用傳統GM(1，1)模型與動態GM (1，1)模型對監測點的第9期～第11期進行預測時，最大殘差-2.32mm出現在傳統GM(1，1)模型中，且動態GM(1，1)模型第二步循環時預測值的殘差較動態GM (1，1)模型第一步循環時的殘差小，隨著動態GM(1，1)模型保持維數不變，不斷更新遞補原始建模序列，該模型的預測精度逐漸提高；同時，監測點的模型預測值的相對誤差也隨著動態GM(1，1)模型保持維數不變，不斷更新遞補原始建模序列，各期的相對誤差逐漸減小。

采用均方誤差以及平均相對誤差對上述兩種模型的預測值進行精度評判，其結果如表3所示。

由表3可以得出，隨著動態GM(1，1)模型的等維循環建立，預測值的均方誤差由1.54 mm變為0.47 mm，平均相對誤差降低了0.22，模型的預測精度有較大的提高。

兩種模型預測結果對比表 表2

模型誤差對比表 表3

6 結 論

建筑物在施工過程中，隨著荷載的增加，初期與后期的沉降量與沉降速度不一樣，后期的沉降速度相對較慢，沉降量較少，故不能用前期的監測數據來預測長期的沉降變形情況。本文結合實際的工程實例，建立傳統的GM(1，1)模型與動態GM(1，1)模型分別對監測點進行沉降變形分析與預測。通過對比分析可得:

(1)傳統的GM(1，1)模型在建模時保留了序列初期的沉降信息，且隨著時間的推移，灰色系統會加入一些未來的噪聲干擾，傳統的GM(1，1)模型在建模預測時并沒有將未來的噪聲考慮進去，導致預測值隨著時間的推移偏離實測值越來越大；

(2)在建立動態GM(1，1)模型時，可以及時剔除建模序列中初期沉降信息，并不斷引入近期的沉降信息，保障模型是一個遞補動態預測模型，可以有效地修正預測模型誤差，提高預測精度。

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[8] 鄧聚龍.灰色系統基本方法[M].武漢:華中科技大學出版社，2005.

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The App lied Research of Dynam ic GM(1，1)in Building Settlement Deformation Analysis

Zhou Lv1，2，Han Yakun1，2，Chen Guanyu1，2，Hu Jiyuan1，2

(1.College of Surveying，Mapping and Geoinformation，Guilin University of Technology，Guangxi 541006，China；2.Guangxi Key Laboratory for Spatial Information and Geomatics，Guilin 541006，China)

This paper introduces grey system theory.Aiming at the deficiency of traditional GM(1，1)model considering future state only in a static view，this paper introduces the dynamic GM(1，1)prediction model that can add latest information into system in real time.Using traditional GM(1，1)model and dynamic GM(1，1)model to analyze and predict a bridgemonitoring point settlement deformation Through comparing and analyzing the calculation results of project example shows that the dynamic GM(1，1)can effectively revise predictionmodel and improve the prediction precision of themodel in a certain extent，its prediction effect is superior to the traditional GM(1，1)model.

settlement deformation；dynamic GM(1，1)；deformation prediction

1672-8262(2013)05-119-03

P258，TU196.2

A

2013—05—17

周呂(1988—)，男，研究生，精密工程測量與變形監測技術。

廣西研究生教育創新計劃項目(YCSZ2012083)，國家級大學生創新創業訓練計劃項目(201210596003)。