改進貝葉斯聚焦的寬帶自適應單脈沖算法

陳 亮 盛衛星 韓玉兵 馬曉峰

（南京理工大學電子工程與光電技術學院，江蘇 南京210094）

引 言

數字波束形成技術以其靈活的多波束性能和強抗有源干擾性能在雷達、聲納、無線通信等領域得到了廣泛應用.隨著技術的發展，為提高距離分辨能力和成像分辨率，一些先進雷達系統的帶寬越來越寬，寬帶數字波束形成成了陣列天線和陣列信號處理領域的一個研究熱點.

過去十幾年來，對于寬帶波束形成的研究，學者們做出了很多的努力，并且取得了一定的成果.例如，有學者提出利用空時聯合的自適應處理方法［1-4］，通過在每一個天線單元后增加一個有限長單位沖激響應濾波器，提高系統的自由度，來實現寬帶數字波束形成.有的學者提出了利用Bessel函數展開的方式實現寬帶波束形成［5］.有的學者提出了將寬帶波束形成問題轉換為一個凸優化問題，通過設計個性化的代價函數，并利用現有的凸優化解決工具，實現寬帶數字波束形成［6-7］.近幾年來，相干信號空間聚焦類算法［8-11］由于相對適中的運算量以及較好的性能得到了眾多學者的廣泛關注，酉約束陣列導向矢量聚焦（Unitary Constrained Array Manifold Focusing，UCAMF）［8］、旋轉信號子空間（Rotational Signal Subspace，RSS）［9，11］、雙 邊 相 關 變 換（Two-sided Correlation Transformation，TCT）［10］等聚焦算法相繼被提出.然而，上述算法的最大缺點在于，聚焦矩陣的計算是建立在期望信號以及干擾來波方向先驗已知的條件下的.如果預計的期望信號及干擾角度來向信息與實際的角度來向存在偏差，那么聚焦算法的性能將急劇下降，從而影響到最終的寬帶波束形成性能.

目前，窄帶自適應單脈沖算法的研究成果比較豐富［12-14］，而針對寬帶自適應單脈沖算法的研究并不是很多.Bucris在文獻［15］中提出了基于Bayesian聚焦的寬帶數字波束形成算法.該算法假設期望信號和干擾信號的來波方向服從正態分布，在一定范圍內，克服了角度先驗估計誤差對最終波束形成性能的影響.在此基礎上，本文針對單脈沖雷達實際工作環境中的具體情況，重新設計聚焦矩陣，提出了改進算法.一方面，該算法進一步降低了系統對先驗信息的要求，增強了算法的普遍性和實用性；另一方面，在保證和波束性能的情況下，該算法克服了傳統Bayesian方法不能直接被應用到差波束求解上的缺陷.

1 寬帶陣列信號模型

寬帶信號可以被看作是若干相鄰頻率窄帶信號的組合，以簡化分析.假設寬帶信號s（n）是由J個窄帶信號疊加而成的，即

式中：sfj（t）是以fj為中心頻率的窄帶信號成分的時域采樣.對式（1）中的每一個窄帶信號運用窄帶陣列信號模型，那么寬帶信號下的陣列接收數據可以寫成

式中：a（fj，θ）表示fj頻率下，來波方向為θ的陣列流形矢量；n（t）表示噪聲信號，它也可以被寫成J個窄帶噪聲信號之和為

將式（3）代入式（2）可以得到

當有 K 個遠場信號s1（t），s2（t），…，sK（t）分別來自θ1，θ2，…，θK方向的時候，總的陣列輸出寬帶信號可以表示為

式中：A（fj，θ）＝［a（fj，θ1），a（fj，θ2），…，a（fj，θK）］；Sfj（t）＝［s1，fj（t），s2，fj（t），…，sK，fj（t）］T.從式（5）可以看出，該數據模型和窄帶陣列數據模型是非常相似的.

2 傳統聚焦算法的基本原理

相干信號子空間類方法，對接收到的數據進行快速傅里葉變換處理，將寬帶接收信號劃分為若干個互不重疊的窄帶子頻率帶，對每個窄帶子頻率帶內的數據進行聚焦處理，將它們聚焦到預先設定的參考頻率上.接著，算法對聚焦之后的協方差矩陣求平均，從而減小了信號之間的相干系數，達到了解相干的目的.其核心思想實際上就是頻域平滑技術.對于寬帶自適應波束形成來說，利用經過了聚焦處理和平均之后的協方差矩陣，在參考頻率點上，進行經典的窄帶自適應波束形成算法，就能實現寬帶的自適應波束形成.整個算法的結構框圖如圖1所示.

如何構造聚焦矩陣就成為此類算法的關鍵問題.不同的聚焦矩陣選取對應不同的算法，其核心思想都是在某種準則下，找到聚焦頻點和參考頻點之間的某種關系.文獻［9］構造如下的代價函數：

式中：T（fj）表示聚焦頻率為fj時對應的聚焦矩陣；A（f0）和A（fj）分別表示參考頻率和聚焦頻率下對應的陣列流形矢量.為了簡潔，文后都用A（f0）和A（fj）代替A（f0，θ）和A（fj，θ）.該算法即為 RSS算法，其核心思想是使各頻點聚焦后的陣列流形矢量和參考頻率下的陣列流形矢量之間的誤差最小.文獻［10］構造了如下所示的代價函數為

圖1 相干子空間類方法整體框圖

式中：

該算法就是TCT算法，其導出的聚焦矩陣是使各頻率點聚焦后并且去噪的協方差矩陣與參考頻率處去噪后的協方差矩陣之間的誤差為最小.

其它的相干聚焦算法還包括總體最小二乘算法，信號子空間變換算法等.但是，這類算法要么就是必須要精確地知道信號和干擾的來向，要么就是直接的數據域求解，微小的來向估計誤差會帶來很大的聚焦誤差，從而導致波束形成算法性能的下降，而直接的數據域求解又帶來巨大的計算量.這些短板限制了此類算法的應用.

3 改進的Bayesian聚焦算法

針對傳統聚焦算法在來波方向估計存在誤差的情況下，性能惡化的事實，文獻［15］提出了基于Bayesian聚焦的寬帶波束形成算法.

考慮到信號和干擾來波方向的不確定性，最優聚焦矩陣可以通過如下方法獲得

式中：T（fj）表示聚焦頻率為fj時對應的聚焦矩陣；Eθ｛·｝表示對按某一規律隨機分布的來波方向角求數學期望；f0和fj分別表示參考頻率和聚焦頻率；‖·‖2F表示二范數的平方.假設共有K個遠場信號，并且各自的來波方向呈隨機分布且相互獨立，可得

式中：aθ（fj）表示來波方向為θ，頻率為fj情況下的陣列流形矢量；fθi表示第i個遠場信號來波方向的概率密度函數.由于各個來波方向角相互獨立，式（9）就可以轉換為一個一重積分的求解問題，從而簡化了聚焦矩陣的計算，具體步驟如下：

定義：

可以看出，p2（θ）反映出的是K個遠場信號來波方向不確定性的總體表征.將式（10）、（11）代入式（8）中，得

式（12）就是Bayesian聚焦矩陣求解的核心公式.從上面的分析可以看到，聚焦矩陣求解的基本思想就是：在考慮來波方向不確定因素的情況下，使得聚焦前后的陣列流形矢量誤差的期望值為最小的那個聚焦矩陣，就是最優解.不同的來波方向概率密度函數對應不同的聚焦算法.比如說，當來波方向概率密度函數滿足在觀察角度范圍內均勻分布的時候，對應全局聚焦算法；當來波方向概率密度函數滿足在某些角度上出現為必然事件，而在其余角度位置上出現為不可能事件的時候，對應旋轉信號子空間（RSS）算法.

為了求解式（12）中的最優聚焦矩陣，首先求解一個特殊情況，也就是來波方向概率密度函數為均勻分布下的解.根據文獻［16］可以知道，任一頻點下的陣列流形矢量都可以用一組正交基函數的線性組合表示，如果采用傅里葉基函數的話，有

式中：G為基函數系數矩陣；H為基函數矩陣；hn（θ）即為H中的第n行元素.在不考慮陣元間互耦以及假設陣元具有全向性的時候，G的第m行第n個元素可以表示為

式中：（θm，rm）是第m陣元位置的極坐標表示；Jn（·）表示n階第一類Bessel函數.如果式（13）中采用的正交函數基為N階的話，那么G為一個M×（2 N＋1）的矩陣，而H為一個（2 N＋1）×1的矩陣.式（14）中n的變化范圍是 -N到N.

由上面的分析可知，該頻點下的聚焦誤差可以重新寫成

式中，Gθ（f0）表示參考頻點下的G矩陣.經推導可以得到，此時的最優聚焦矩陣為

式中‘?’表示矩陣偽逆.

文獻［13］考慮來波方向的不確定性，結合其概率密度函數，利用上述思想，令

由式（13）和（17）可以看出，Bayesian方法相比于全局聚焦方法，區別僅僅在于導向矢量前的加權函數p（θ）的不同.經過簡單的數學推導可以得到

式中

由式（18）可以看到，新基函數系數矩陣C可以被看作是ρ矩陣和G矩陣的卷積.其中，Cmn是系數矩陣C的第m 行n列元素.式（19）中，ρ矩陣表示對式（11）中的p（θ）做正交基函數分解得到的系數矩陣，ρn為ρ矩陣的第n個元素.

類似式（16）可以得到此時的最優聚焦矩陣為

如前所述，不同的概率密度函數對應具體不同的聚焦算法.文獻［15］著重考慮和波束性能，提出期望信號來波方向和干擾來波方向均服從正態分布的假設，即

式中：θ1和θ2為假設的期望信號和干擾來波方向的平均值；σ1和σ2分別為標準差.當期望信號以及干擾信號的實際來波方向與預計的期望值差別不大的時候，該算法具有比較低的聚焦誤差，而這種性能的獲得是以增加大偏離角下的聚焦誤差換來的.所以，此種概率密度函數的假設，同樣具有一定局限性.

對單脈沖角度跟蹤下的應用.傳統的Bayesian算法并不能直接應用在差波束上，這并不是由自適應波束形成算法所造成的，而是聚焦算法本身的問題，所以，文后對此問題的分析都是建立在非自適應波束形成的基礎上的.

理想的情況是沒有任何聚焦誤差的情況，為了簡化分析，假設陣列為一個均勻線陣，陣元個數為偶數，選取陣列中心的位置為參考.經過聚焦處理之后，寬帶信號某一頻點下非自適應的靜態單脈沖比，就完全和窄帶條件下非自適應的靜態單脈沖比相同，可以按照如下公式表示為

式中：ε和εt分別表示實際角度和指向角度對應的方向余弦；d和λ分別表示陣元間距和波長.如果實際情況中包含聚焦誤差的話，那么被聚焦誤差“污染”了的單脈沖比可以表示為

式中er（m）表示第m個陣元對應的聚焦誤差.因為只有分子對差波束起作用，可將式（23）中分子上的誤差部分單獨取出為

從式（24）可以看到，當聚焦誤差在陣元上呈現對稱分布特性的時候，也就是er（m）＝er（-m）的時候，誤差部分對差波束產生的貢獻基本接近于0.

考慮到全局聚焦方法［17］在整個角度域內，具有相對比較平坦的聚焦誤差分布，并且聚焦誤差在陣元上的分布具有對稱特性，有利于對稱取反法下自適應差波束的求解.同時，傳統Bayesian方法下的和波束又具有較好的干擾抑制性能，將上述兩種方法的思想結合起來，給出如下的概率密度函數假設

式（22）假設期望信號來向服從均值為θ1，標準差為σ1的正態分布，而干擾信號方向假設服從平均分布.其中Δθ為干擾信號來波方向平均分布的范圍.

干擾信號的來波方向范圍估計方法如下：

首先，在時間域上對接收到的陣列信號進行相干累加，降低噪聲成分，即

遍歷整個角度范圍，通過對感興趣頻帶上的靜態波束形成結果進行累加，得到整個角度遍歷結果，即.

通過設置合適的門限值，判斷上一步中的結果.如果對應某個角度下的值大于門限，就認為該處出現干擾的可能性比較大，反之則認為不可能出現干擾.概率密度函數可以表示為

假設不僅降低了算法對先驗知識的要求，不需要任何干擾信號來波方向的先驗知識，增加了整個系統的靈活性，從文后的仿真實驗可以看出，提出的改進方法，在改善和波束性能和穩健性的同時，解決了大偏差角下的大聚焦誤差問題，比全局聚焦方法和傳統Bayesian聚焦方法更具優勢，從而被成功地運用到寬帶自適應差波束的求解上.

在上述基本原理的基礎上，給出整個算法的基本原理.通過上面的分析可知，經過聚焦處理后的數據協方差矩陣為

那么，總的協方差矩陣為各個頻點上被聚焦后的協方差矩陣的和為

和、差波束均采用線性約束最小方差（Linearly Constrained Minimum Variance，LCMV）準則，該準則的核心思想是：在滿足期望方向恒定增益約束的同時，使得總的輸出功率最小，從而對干擾信號起到抑制作用，即

式中：w表示待求解的權重系數矢量；c為約束導向矢量，對于寬帶波束形成來說，通常將其設定為參考頻率下，期望方向的陣列流形矢量；f為約束響應矢量，用來保證期望方向上的增益值.

對和波束形成來說，c＝a（θ，f0），θ和f0分別表示期望信號的來波方向以及參考頻率.如前所述，對稱取反法下，差波束對應的約束導向矢量為和波束下約束導向矢量的前一半元素不變，后一半元素取相反數，即

式中：符號‘·’表示哈達瑪乘積.取這樣的導向矢量的目的，實際上是為了在干擾方向形成零陷的同時，在差波束方向圖對應期望信號方向上產生零深.利用拉格郎日乘數法可以得到式（31）的解為

至此，我們給出算法的具體步驟：

1）通過陣列接收數據，利用式（25）、（27）和（28），估計出外界干擾來波方向的概率密度函數分布，并進而構造p2（θ）.

2）在給定的基函數階數及陣列結構下，利用式（14）計算得到矩陣G.

3）利用式（18）和（19），計算系數矩陣C.

4）利用式（20），計算各個頻點下的聚焦矩陣T（fj）.

5）利用式（29）和（30）計算經過頻域平滑后的數據協方差矩陣R.

6）根據式（32）和式（33），計算和、差波束權重系數矢量w.

4 計算機仿真及分析

仿真參數設置如下：實驗采用均勻分布線陣，陣元間距為信號最大頻率對應波長的一半，陣元數目為20個；期望信號和干擾信號都采用線性調頻的形式，中心頻率為1 500Hz，帶寬為600Hz，參考頻率為1 500Hz，相對帶寬為40%；信號快拍數為256；噪聲功率為1.為突出文章中提出算法的優越性，將所提改進方法對應的仿真結果和傳統Bayesian方法［15］、RSS聚焦方法［9］以及全局聚焦方法［17］的結果進行比較.

4.1 干擾信號來波方向的概率分布估計

需要對干擾信號來波方向的概率密度函數進行合理的估計，結果如圖2所示.

式（25）中的門限值被設為掃描結果最大值的0.9倍.從圖2可以看到：在實際的干擾信號來波方向為70°的情況下，估計得到的干擾信號來波方向的概率密度函數服從60°度到80°范圍內的均勻分布.后面的仿真中，均假設干擾信號來波方向服從該概率密度函數.

4.2 輸出信干噪比隨輸入信噪比變化實驗

本實驗給出了各種方法下，和波束輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化曲線.圖3給出了DOA估計誤差較小的時候，輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化.

假設期望信號來自105°，干擾信號來自70°，干擾噪聲比為40dB.傳統Bayesian方法中，兩正態分布函數的均值分別是105°和70°，恰好對準實際信號和干擾來向，標準差均設置為1.5.改進方法中的正態分布函數均值為105°，方差也為1.5，和傳統方法中的設置一樣.可以看到，低信噪比條件下，RSS算法性能相對要比其它算法好一點，原因在于信號實際來波方向和假設的方向是完全對準的，因而具有最優的性能，其余算法性能基本相當.當信噪比比較高的時候，改進Bayesian方法具有比較好的性能，而其余方法性能有明顯的下降.

圖3 DOA估計誤差較小時，輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化

圖4給出了DOA估計誤差較大的時候，輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化.這里，信號方向仍然被設定為105°，而干擾方向被設定成60°.此時，由于比較大的來波方向估計誤差，RSS聚焦方法下的波束形成性能急劇下降，完全起不到自動抑制干擾的目的.傳統Bayesian盡管在一定程度上抑制了干擾，但是整體效果不如文中提出的改進Bayesian方法.而全局聚焦方法本身與期望信號和干擾信號的來向沒有關系，所以其結果也和圖3中的類似，在高信噪比條件下性能明顯下降.

圖4 DOA估計誤差較大時，輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化

綜合圖3和圖4的結果，可以看到，文中提出的改進方法，能夠充分利用陣列接收到的信號，波束形成性能穩健，對外界干擾環境的變化不敏感，保證了輸出信干噪比性能.

4.3 和、差波束方向圖實驗

本實驗信噪比為0dB，干噪比取40dB.和、差波束均采用LCMV波束形成算法.結果如圖5和圖6所示.

從圖5可以看到：各個方法下的和波束方向圖都能自動地將主瓣對準期望信號方向，在干擾方向上產生零陷.然而，相比于其他聚焦方法，傳統的Bayesian聚焦算法在大角度估計誤差下，方向圖和參考頻點下的方向圖之間的偏差比較大.方向圖邊緣部分的發散也就更大.

從圖6可以看到：雖然各個方法下的自適應差波束方向圖都能在干擾方向產生零陷，但是由于大角度偏差帶來大估計誤差問題，以及誤差的非對稱分布，導致傳統Bayesian聚焦方法和RSS算法在期望信號指向位置沒有能夠產生零深，并且方向圖畸變，旁瓣電平明顯上升.

4.4 聚焦誤差隨角度變化實驗

圖7給出了各種不同聚焦算法下，各個不同頻點下，聚焦誤差在整個角度域內的變化情況.觀察頻點為最小頻率（1 200Hz），中心頻率（1 500Hz），測試頻率（1 350Hz）和最大頻率（1 800Hz）.

從圖7可以看出：RSS聚焦算法只有在70°和105°兩個位置具有比較小的聚焦誤差，這也就解釋了不同頻率下的和波束方向圖圖5（a），差波束方向圖圖6（a）僅僅在期望信號和干擾信號這兩個位置重合，而其余位置上均不重合的原因.全局聚焦算法在整個角度域內的分布相對比較平坦.傳統Bayesian方法在70°和105°附近的聚焦誤差很小，其他角度位置上，聚焦誤差則迅速上升，并且在70°和105°之間的角度范圍內，聚焦誤差曲線有“凸起”.改進方法則具有比較好的聚焦性能，相比與全局聚焦方法和RSS方法，在70°和105°位置，其具有更小的聚焦誤差.而相比于傳統Bayesian方法，其“凹口”更寬，穩健性更好.

圖7 各個方法下聚焦誤差隨來波角度的變化

4.5 聚焦誤差在陣元上的分布實驗

本實驗研究了1 350Hz下，聚焦誤差在陣元上的分布情況.結果由圖8給出.

圖8 聚焦誤差在陣元位置上的分布

從圖8的結果可以看出，改進方法下，聚焦誤差在整個陣元上的分布基本呈現出對稱的特性.而傳統Bayesian方法下的聚焦誤差在陣元上的分布不具有規則性.這也應證了式（24）要求的誤差分布具有對稱性的理論推導.觀察圖8可以進一步發現：陣列最兩端處的陣元，其對應的聚焦誤差是比較大的，可以理解此陣元在進行波束形成的時候是“失效”的.這種“失效”，導致系統實際的自由度會有所減少，從而使和波束方向圖主瓣略有展寬，這也與圖5中的結果吻合.

4.6 單脈沖測角誤差實驗

圖9給出了各個方法下，自適應單脈沖比曲線的比較.可以看出RSS方法下，單脈沖比曲線產生了明顯的畸變，而傳統Bayesian方法更是出現了明顯的零點漂移.全局聚焦算法與前二者相比，穩定性有所提高，但單脈沖比曲線也存在隨頻率發散的問題.文中提出的改進Bayesian方法，單脈沖比曲線線性特性好，零點對準期望指向，不隨頻率的變化而發散，具有較好的跟蹤性能.

圖9 各個方法下自適應單脈沖比曲線

圖10給出了在改進方法下，自適應單脈沖測角誤差隨著輸入信噪比變化的情況.可以看到，隨著輸入信噪比的增加，單脈沖跟蹤的角度誤差在逐步減小，當輸入信噪比增大到一定程度之后，角度估計誤差保持穩定，并最終收斂在一個接近于0的值上.因為自適應波束形成算法只能對有源干擾信號進行抑制，而沒有辦法濾除噪聲信號，所以最終角度估計誤差的值也只能收斂到一個非常接近0的地方，而不能夠達到絕對0值.圖10反映出來的結果，也從另外一個方面驗證了提出的方法運用到自適應單脈沖的正確性和可靠性.

圖10 改進方法下單脈沖測角均方根誤差隨輸入信噪比變化

4.7 算法復雜度比較

文章所提方法、傳統Bayesian方法、RSS聚焦方法以及全局聚焦方法的運算量在本節中進行比較.由于無論是哪種方法，都需要對各個頻點下的聚焦矩陣進行計算，所以，這里給出上述幾種方法的運算復雜度都是針對一個頻點的，并且以復數乘法（Complex Maltiply，CM）的次數來衡量.

假設陣元個數為M，信源個數為K，來波方向概率密度函數正交分解的階數為P，來波方向概率密度函數角度采樣點的個數為Na，Bessel函數分解的階數為Nb，快拍數為Ns.

RSS聚焦方法總共分為三個步驟，1）At＝Aθ（fj）Aθ（f0）H需要KM2次CM；2）對上式的結果進行奇異值分解，需要20 M3次CM；3）T＝VUH，需要M3次CM，所以總共需要21 M3＋KM2次復數乘法運算.

傳統Bayesian方法總共分為三個步驟，1）如式（19）所示，對來波方向概率密度函數進行正交分解，需要（2P＋1）Na次CM；2）按照式（18）計算C（fj，ρ（θ）），此步驟需要（2 Nb＋1）（2P＋1）M 次 CM 運算；3）按照公（20），對聚焦矩陣進行計算，此步驟需要20 M3次CM運算；所以該方法總共需要20 M3＋（2P＋1）（2 MNb＋Na＋M）次CM.

全局聚焦方法只需要進行一次矩陣偽逆運算和一次矩陣乘法，總共需要20 M3＋（2 Nb＋1）M2次CM.

文中所提出的改進方法以傳統的Bayesian方法為框架，所以基本的運算復雜度和傳統Bayesian方法相同，只是多出式（27）所示的對來波方向概率密度函數的更新操作，此步驟需要MNs次CM運算，所以改進方法總的算法復雜度為20 M3＋（2P＋1）（2 MNb＋Na＋M）＋MVs.

令K＝2，P＝30，Na＝180，Nb＝30，Ns＝256，圖11給出了各個方法對應的算法復雜度隨陣元個數變化的情況.

圖11 各種方法運算復雜度的比較

從圖11可以看出，改進的Bayesian方法和傳統Bayesian方法擁有近乎相似的復雜度，相比于RSS聚焦方法和全局聚焦算法，在運算復雜度上只有微小的增長，而從之前的分析中可以看到，增長主要來自于式 （18）和（27）對應的計算.之前的實驗結果已經表明：本文提出的改進方法，無論在和、差波束方向圖、輸出信干噪比以及單脈沖比曲線上，都具有更好的性能，算法的應用范圍更廣，應用條件更加寬松，那么微小的運算復雜度的增加也是可以接受的，該方法也更符合工程實際需要.

5 結 論

研究并提出了一種基于改進Bayesian聚焦的寬帶自適應單脈沖測角算法.該算法在傳統Bayesian算法的基礎上，假設期望信號來波方向服從正態分布，干擾信號的來波方向服從均勻分布.仿真試驗表明，改進方法一方面改進了文獻［13］中的Bayesian聚焦方法和波束性能，另一方面也克服了原有方法不能直接被用來解決差波束問題的缺陷.新方法在幾乎不增加運算復雜度的情況下，保證了單脈沖測角精度，對寬帶自適應波束形成算法在實際工程中的應用更具有一定指導意義.

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