二/三階三角Bézier曲線

嚴蘭蘭， 韓旭里， 鄔國根， 黃國輝

（1. 東華理工大學理學院，江西 撫州 344000；2. 中南大學數學與統計學院，湖南 長沙 410083）

二/三階三角Bézier曲線

嚴蘭蘭1,2， 韓旭里2， 鄔國根1， 黃國輝1

（1. 東華理工大學理學院，江西 撫州 344000；2. 中南大學數學與統計學院，湖南 長沙 410083）

構造了兩組由三角函數形成的基函數，并由這兩組基函數定義了兩種新的曲線，分別稱為二階、三階T-Bézier曲線。這兩種曲線分別具有和二次Bézier曲線、三次Bézier曲線一樣簡單的結構，而且都具有 Bézier曲線的基本性質，如凸包性、對稱性、幾何不變性、端點插值和端邊相切性。此外，在普通Bézier曲線的G1光滑拼接條件下，二階T-Bézier曲線可以達到G3光滑拼接，三階T-Bézier曲線可以達到G2光滑拼接。另外，給出了用二階T-Bézier曲線來構造與給定多邊形相切的曲線的方法，該方法簡單有效，而且曲線對給定的多邊形是保形的。

曲線設計；Bézier曲線；連續性；切線多邊形

Bézier曲線具有結構簡單、直觀等諸多優點，從而成為計算機輔助幾何設計中表示曲線的重要工具之一。雖然如此，在實際應用中，Bézier曲線依然表現出一些不足，主要表現在3方面：（1）由于單一的Bézier曲線無法表示復雜的形狀，所以為了滿足實際工程的需求，往往需要構造組合Bézier曲線，而為了保證組合曲線的光滑性，相鄰曲線的控制頂點間必須滿足一定的連續性條件，當對光滑性要求較高時，條件會比較復雜從而難以實現。（2）由于Bézier曲線的形狀由其控制頂點唯一確定，所以若要修改曲線的形狀，必須改變控制頂點，重新計算曲線方程。（3）Bézier曲線不能表示工程上常用的除拋物線以外的圓錐曲線。

對于Bézier曲線的（2）、（3）個缺點，很多文獻提出了解決辦法。如文獻[1-6]構造了含參數的、性質類似于Bernstein基函數的新的基函數，使得由之定義的曲線在具備 Bézier曲線基本性質的同時，還具有形狀可調性。文獻[7-11]在非多項式空間上構造了性質類似于 Bernstein基函數的新的基函數，使得由之定義的曲線在具備Bézier曲線基本性質的同時，還能表示一些圓錐曲線和超越曲線。但是對于Bézier曲線的上述第一個不足，很少有文獻專門對其研究。

為了克服Bézier曲線的（1）個不足，使曲線能夠在相對簡單的條件下實現更高階的光滑拼接，這里構造了結構類似于二次Bézier曲線的新曲線——二階T-Bézier曲線，以及結構類似于三次Bézier曲線的新曲線——三階T-Bézier曲線。這兩種曲線不僅保留了普通Bézier曲線的諸多優良性質，而且在普通Bézier曲線的光滑拼接條件下，二階T-Bézier曲線可以達到光滑拼接，三階T-Bézier曲線可以達到光滑拼接。

1 基函數及其性質

1.1 二階基函數

為二階三角 Bernstein基函數，簡稱二階T-Bernstein基。

如圖1所示，二階T-Bernstein基的圖形。

圖 1 二階T-Bernstein基

二階T-Bernstein基具有下列性質。

4） 端點性質：在首末端點處，有

1.2 三階基函數

為三階三角 Bernstein基函數，簡稱三階T-Bernstein基。

如圖2所示，三階T-Bernstein基的圖形。

圖 2 三階T-Bernstein基

三階T-Bernstein基具有下列性質。

4） 端點性質：在首末端點處，有

2 曲線及其性質

2.1 二階曲線

為二階三角Bézier曲線，簡稱二階T-Bézier曲線。

由基函數的性質，易知二階 T-Bézier曲線具有凸包性、幾何不變性、對稱性。由式(2)～(5)以及式(10)可知，在T-Bézier曲線的端點處，有

由式(11)、(12)可知，二階T-Bézier曲線具有普通Bézier曲線的端點插值、端邊相切性。由式(12)～(14)可知，二階 T-Bézier曲線在起點、終點處的一階至三階導矢分別共線。

如圖3所示，由相同控制頂點所確定的二階T-Bézier曲線（實線）和普通二次Bézier曲線（虛線）。從圖中可以看出，二階 T-Bézier曲線對控制多邊形的逼近性優于二次Bézier曲線。

圖 3 二階T-Bézier曲線與二次Bézier曲線

2.2 三階曲線

為三階三角Bézier曲線，簡稱三階T-Bézier曲線。

由基函數的性質，易知三階T-Bézier曲線具有凸包性、幾何不變性、對稱性。由式(7)～(9)以及式(15)可知，在三階T-Bézier曲線的端點處，有

由式(16)～(18)可知，三階 T-Bézier曲線也具有普通Bézier曲線的端點插值、端邊相切性，且三階T-Bézier曲線在起點、終點處的一階、二階導矢分別共線。

如圖4所示，由相同控制頂點所確定的三階T-Bézier曲線（實線）和普通三次Bézier曲線（虛線）。從圖4中可以看出，三階T-Bézier曲線對控制多邊形的逼近性優于三次Bézier曲線。

圖 4 三階T-Bézier曲線與三次Bézier曲線

3 組合曲線的連續性

其中 C＞ 0, 則兩曲線G3連續。

證明：由式(11)～(14)知

要使兩曲線G3連續，必須

其中， β1, β2,β3為參數，且 β1＞ 0（見參考文獻[12]）。將式(20)代入式(21)并整理，得到

對于普通 Bézier曲線和大多數文獻中給出的擴展Bézier曲線而言，在式(19)所給條件下，相鄰曲線間只會達到 G1連續，而二階 T-Bézier曲線卻可以達到G3連續。如圖5所示，由兩條二階T-Bézier曲線段構成的G3連續的組合曲線。

圖 5 G3連續的組合二階T-Bézier曲線

其中 C＞ 0, 則兩曲線G2連續。

證明 該定理的證明方法和過程與定理1相同。

如圖6所示，由兩條三階T-Bézier曲線段構成的G2連續的組合曲線。

圖6 G2 連續的組合三階T-Bézier 曲線

4 二階T-Bézier曲線的應用

給定閉多邊形 P0, P1,…,Pn，其中 P0=Pn ，下面分析如何構造一條封閉的組合二階T-Bézier曲線，使之與給定閉多邊形的每一條邊都在指定點相切[13]。假設閉多邊形第i條邊上的切點為

其中， ki∈ (0,1)(i = 1,2,… ,n) 為切點調節參數。

式(11)、(12)和式(23)～(25)可知

由式(26)、(27)可知，第i條二階T-Bézier曲線段與給定閉多邊形相切于點 Ti和 Ti+1。另外，由定理1可知，相鄰二階T-Bézier曲線段在連接點處均G3連續。

這里提供構造與給定多邊形相切的曲線方法具有以下優點：

1） 曲線的所有控制頂點直接由給定閉多邊形頂點和切點確定；

2） 相鄰曲線段在連接點處 G3連續，可以滿足工程上的大部分需求；

3） 與普通的二次Bézier曲線一樣，由于二階T-Bézier曲線段不存在拐點，且曲線的凹凸性與控制多邊形一致，所以整條曲線對給定的切線多邊形是保形的。

如圖7所示，與給定多邊形相切于指定點的二階T-Bézier曲線。圖中點線為給定的切線多邊形，打星號點為指定的切點，實線為二階T-Bézier曲線。

圖7 與給定多邊形相切的二階T-Bézier曲線

5 總結與展望

這里定義的二階和三階T-Bézier曲線，均可以在比較簡單的條件下實現較高階的光滑拼接，可以滿足大多數工程實際中的需求。下一步的目標是尋找既能簡單拼接，又能表示圓錐曲線，而且還具有形狀可調性的新曲線。

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Triangular Bézier Curve of Order Two/Three

Yan Lanlan1,2, Han Xuli2, Wu Guogen1, Huang Guohui1
( 1. College of Science, East China Institute of Technology, Fuzhou Jiangxi 344000, China 2. School of Mathematics and Statistics, Central South University, Changsha Hunan 410083, China)

Two sets of basic functions formed by triangular functions are constructed, and two new kinds of curves based on them are defined. We call them T-Bézier curve of order two and T-Bézier curve of order three respectively. They have the same simple structures with quadratic Bézier curve and cubic Bézier curve respectively. They have many properties of usual Bézier curve, such as convex hull property, symmetry, geometric invariance, endpoint interpolation and end edge tangent property. In addition, under the G1continuity conditions, the T-Bézier curve of order two can achieve G3continuity, and the T-Bézier curve of order three can achieve G2continuity. Furthermore, the method of using the T-Bézier curve of order two to construct combination curve with given tangent polygon is also given. This method is simple and effective. The curve is conformal to the given polygon.

curve design; Bézier curve; continuity; tangent polygon

TP 391.72

A

2095-302X (2013)05-0071-05

2012-12-18；定稿日期：2013-04-07

國家自然科學基金資助項目（11261003，11271376，60970097）

嚴蘭蘭（1982-），女，湖北浠水人，博士研究生，講師，主要研究方向為計算機輔助幾何設計。E-mail：yxh821011@yahoo.com.cn