雙殼鋁合金車體一次彎曲固有頻率的計(jì)算方法

趙 水， 賀 鑫， 原 欣

（1．青島職業(yè)技術(shù)學(xué)院海爾學(xué)院，山東 青島 266555；2. 山工機(jī)械青島研發(fā)中心，山東 青島 266061；3. 青島四方川崎車輛技術(shù)有限公司，山東 青島 266061）

雙殼鋁合金車體一次彎曲固有頻率的計(jì)算方法

趙 水1， 賀 鑫2， 原 欣3

（1．青島職業(yè)技術(shù)學(xué)院海爾學(xué)院，山東 青島 266555；2. 山工機(jī)械青島研發(fā)中心，山東 青島 266061；3. 青島四方川崎車輛技術(shù)有限公司，山東 青島 266061）

車體結(jié)構(gòu)體的固有頻率是鐵路車輛設(shè)計(jì)中的重要指標(biāo)之一。為了在車體的設(shè)計(jì)階段就能保證一次彎曲固有頻率在10Hz以上，推導(dǎo)了車體一次彎曲固有頻率的解析計(jì)算方法，并與有限元的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較并分析了兩者存在誤差的原因，使該計(jì)算方法為車體設(shè)計(jì)提供一定的參考。

車體構(gòu)體；固有頻率；解析計(jì)算；數(shù)值計(jì)算；模態(tài)分析

伴隨著我國軌道交通系統(tǒng)的快速發(fā)展，鐵路車輛設(shè)計(jì)理念也發(fā)生了巨大變化。對(duì)于車體來說，不但要在可靠，安全的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)輕量化和高速行駛能力，還要求優(yōu)良乘坐舒適性和結(jié)構(gòu)的疲勞壽命，因而車體的模態(tài)特性就顯得尤為重要。

車體結(jié)構(gòu)屬于彈性體，具有自身的固有頻率與振動(dòng)型式。雖然車體的一般構(gòu)件由于較大的剛度而具有較高的振動(dòng)頻率，但是整個(gè)車體的彎曲剛度相對(duì)較低，導(dǎo)致一次彎曲振動(dòng)頻率較低，容易與整個(gè)車輛剛性系統(tǒng)的振動(dòng)發(fā)生耦合，產(chǎn)生共振，從而影響乘坐的舒適性[1]。按照規(guī)范，整備狀態(tài)車體的一次彎曲自振頻率不得低于10Hz[2]。所以在車體的設(shè)計(jì)階段中應(yīng)計(jì)算其固有頻率并保證滿足這一要求，從而避免在制造出樣車進(jìn)行振動(dòng)試驗(yàn)時(shí)，一旦因彎曲固有頻率過低而重新更改設(shè)計(jì)，造成設(shè)計(jì)周期和成本的大幅增加。我國的高鐵及動(dòng)車組大部分是鋁合金車體材料，所以，以日本某型雙殼鋁合金車體為例，推導(dǎo)在設(shè)計(jì)過程中車體固有頻率的計(jì)算方法。

1 一次彎曲固有頻率的計(jì)算

車體固有頻率的計(jì)算可分為解析計(jì)算和數(shù)值計(jì)算。解析計(jì)算是通過建立簡化的數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)公式計(jì)算出結(jié)果，用于車體的基本設(shè)計(jì)階段。數(shù)值計(jì)算是通過建立有限元模型，利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行有限元法求解。

1.1 解析計(jì)算

首先要將車體構(gòu)體進(jìn)行簡化以便于計(jì)算。車體在發(fā)生一次彎曲振動(dòng)時(shí)，將車體看作為一個(gè)由兩端剛性支撐的彈性體，車體在兩個(gè)支撐點(diǎn)之間上下振動(dòng)，即可以看作是一個(gè)質(zhì)量體的上下振動(dòng)，因此，截取車體中間斷面，從而可以建立一個(gè)單自由度無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)來表示車體的彎曲振動(dòng)，其數(shù)學(xué)模型如圖1所示。該系統(tǒng)一次固有頻率可由式1得到。

圖1 車體的一次彎曲振動(dòng)數(shù)學(xué)模型

其中

fc：車體結(jié)構(gòu)的一次彎曲固有頻率

g：重力加速度(9800mm/s2)

δ：車體重量（整備狀態(tài)下）引起的車體最大撓度(mm)

為了計(jì)算δ，將車體簡化為兩點(diǎn)支撐的承受均布載荷的細(xì)長梁結(jié)構(gòu)，其數(shù)學(xué)模型如圖2所示。

圖2 計(jì)算車體撓度的彎曲梁模型

該梁結(jié)構(gòu)的最大撓度計(jì)算公式為：

其中：

W：車體重量(N)

L：車體總長(mm)

L1：轉(zhuǎn)向架中心間距(mm)

L2：前位轉(zhuǎn)向架到前位車端的距離(mm)

L3：后位轉(zhuǎn)向架到后位車端的距離(mm)

E：彈性模量(69000N/mm2)

Iz：車體斷面的形心主慣性矩(mm4)

對(duì)于整個(gè)車體的垂向彎曲來說，抗彎剛度主要是由縱向貫通材料決定的，因而，在求解車體斷面的形心主慣性矩時(shí)，只考慮在車輛縱方向上全貫通的型材，計(jì)算主慣性矩的斷面如圖3所示。圖3中的坐標(biāo)軸為形心主軸。

圖3 車體斷面

利用慣性矩的移軸公式3可以分別計(jì)算出各個(gè)型材斷面相對(duì)于車體斷面形心主軸的慣性矩Iz I，再由疊加法計(jì)算出車體斷面的主慣性矩Iz。該車體斷面共包含 24塊型材。計(jì)算結(jié)果為9.86e10mm4。

其中：

Ai：各個(gè)型材斷面的截面積(mm2)

yi：各個(gè)型材斷面形心到車體斷面形心的沿Y軸的距離。

將 Iz帶入到式(2)可計(jì)算出車體的撓度為：

其中車重為47.6ton（包括人員重量），車廠20.6m, 軸距14.4m。

最后，由式(1)計(jì)算出車體的一次彎曲固有頻率為：

為了與有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，本文也計(jì)算出了車體構(gòu)體的一次彎曲固有頻率，即將構(gòu)體質(zhì)量19.4ton帶入式(2)中，求得 δ =0.606mm，構(gòu)體的一次彎曲固有頻率為20.2Hz。

1.2 有限元法計(jì)算

有限元法是利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的主要方法。有限元模態(tài)解析實(shí)際上是對(duì)離散的車體模型所對(duì)應(yīng)的拉格朗日振動(dòng)方程進(jìn)行求解，得到的特征值即為固有頻率，特征向量即為振型[3]。對(duì)于車體的模態(tài)解析，可分為兩種工況：

工況1 只施加車體構(gòu)體質(zhì)量。

工況2 施加車體質(zhì)量（整備質(zhì)量）。

對(duì)于設(shè)備的質(zhì)量，通過分別計(jì)算出各設(shè)備重心的位置并建立集中質(zhì)量單元來施加，集中質(zhì)量單元與車體安裝部位剛性連接。

車體模態(tài)分析不同于強(qiáng)度分析，在能夠計(jì)算出固有頻率并獲得整體振型的前提下，使用等效剛度的梁板組合單元建模，可以極大地提高建模效率和節(jié)省計(jì)算時(shí)間，降低分析成本。對(duì)于雙殼鋁合金車體，可以用一層板單元和梁單元來表示，使用梁板組合單元的剛度與實(shí)際結(jié)構(gòu)的剛度相等效。

使用Femap前后處理器和NXNASTRAN求解器進(jìn)行模型的建立和模態(tài)解析，在前處理器中建立等效剛度單元的方法，如圖4所示。

圖4 雙殼鋁合金型材斷面

圖4 雙殼鋁合金型材可以看作兩個(gè)部分，即內(nèi)外板和中間的肋板。對(duì)于內(nèi)外板使用一層板單元來表示。為了使剛度相等，在考慮拉伸壓縮載荷時(shí)，建立的板單元板厚為2t，在彎曲載荷條件下，注意到雙層殼體與板厚為2t板的截面慣性矩不同，可以通過在NASTRAN的卡片中輸入彎曲慣性矩比率來等效彎曲剛度[4]。雙殼結(jié)構(gòu)內(nèi)外板的截面慣性矩為：

厚度為2t板的截面慣性矩為：

彎曲慣性矩比率為：

其中b為型材的截面的寬度，h、 h1、t參照?qǐng)D4。

對(duì)于中間肋板的截面，將其視為梁截面，則有限元計(jì)算所需梁單元的截面屬性（慣性矩Ix和Iy、面積 A以及扭轉(zhuǎn)系數(shù) J）可在前處理器Femap中建立截面的幾何模型直接獲得。有限元模型如圖5所示。

圖5 有限元模型（工況2）

使用NX/NASTRAN求解器進(jìn)行模態(tài)解析，并觀察各階模態(tài)振型圖，可以看出車體第一次振型為斷面菱形振動(dòng)，第二階振型則為整體垂向彎曲振動(dòng)，其固有頻率如表1所示。圖6、圖7分別為工況1和工況2的一次彎曲振型。

表1 車體一次彎曲固有頻率

圖6 第一次彎曲振型（工況1）

圖7 第一次彎曲振型（工況2）

2 計(jì)算結(jié)果的比較

兩者計(jì)算對(duì)比如表2所示。

表2 兩者計(jì)算對(duì)比表

有限元法計(jì)算的結(jié)果與真實(shí)固有頻率接近，這是因?yàn)榻馕鲇?jì)算對(duì)車體模型進(jìn)行了簡化，使得車體的抗彎剛度比真實(shí)剛度要偏大。因?yàn)樵诮馕鲇?jì)算過程中，由于將車體看作為一根梁，車體的斷面即為梁的截面，而梁的截面是剛性的，即截面形狀和截面面積沒有變化，導(dǎo)致了車體抗彎剛度比真實(shí)剛度偏大，撓度比真實(shí)撓度要小。而有限元計(jì)算過程中，車體的斷面是有柔性的，因此，解析計(jì)算的結(jié)果與有限元法計(jì)算的結(jié)果有誤差。另外一個(gè)原因是有限元計(jì)算時(shí),由于在設(shè)備的安裝部位使用集中質(zhì)量單元，計(jì)算的結(jié)果不僅僅是整車的一階彎曲振動(dòng)，還包含集中質(zhì)量連接處單元的局部的振動(dòng)，從而使得工況2下，兩者誤差要更大。

此外，車體構(gòu)體的一次彎曲固有頻率高于車體整備狀態(tài)下的固有頻率，這與實(shí)際情況是相符的。因?yàn)閷?duì)于一次彎曲振動(dòng)而言，車體可以看作為單自由度的無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)，由于工況1的質(zhì)量小于工況2的質(zhì)量，因而產(chǎn)生的垂向位移δ小，由公式1可以推導(dǎo)出一次彎曲固有頻率大。車體在滿載的時(shí)候，彎曲固有頻率低于空載的時(shí)候，更容易與轉(zhuǎn)向架產(chǎn)生共振。

3 結(jié) 論

1） 雖然解析計(jì)算結(jié)果與真實(shí)固有頻率存在誤差，但是這種誤差是有一定范圍的，即車體斷面的剛度誤差，在將解析結(jié)果減去誤差值，就可以計(jì)算得到接近于真實(shí)的固有頻率。

2） 解析計(jì)算是車體設(shè)計(jì)初級(jí)階段，對(duì)車體固有頻率高效率的，簡單的，近似的計(jì)算方法，對(duì)于車體的型材斷面、車體的長度、枕梁的安裝位置等基本設(shè)計(jì)有重要的參考作用，能夠盡量避免后期有限元計(jì)算階段中由于固有頻率過低，而針對(duì)車體設(shè)計(jì)進(jìn)行大的變動(dòng)，增加大量的人力和時(shí)間成本。

3） 將車體簡化成的彎曲梁模型，不但可以用來計(jì)算撓度，還可以計(jì)算車體橫截面的應(yīng)力，并進(jìn)行強(qiáng)度的初步確認(rèn)。

[1] 趙洪倫, 龔積球. 軌道車輛結(jié)構(gòu)與設(shè)計(jì)(第1版)[M].北京: 鐵道工業(yè)出版社, 2009: 262.

[2] 中華人民共和國鐵道部科技教育司科教裝.200km/h及以上速度級(jí)鐵道車輛強(qiáng)度設(shè)計(jì)及試驗(yàn)鑒定暫行規(guī)定[S]. [2001]21號(hào)

[3] 郭乙木, 萬 力, 黃 丹. 有限元法與MSC. Nastran軟件的工程應(yīng)用(第1版)[M]. 北京: 機(jī)械工業(yè)出版社, 2006: 100-107.

[4] 羅 旭, 趙明宇. Femap& NX Nastran 基礎(chǔ)及高級(jí)應(yīng)用(第 1版)[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2009: 308-310.

The Calculation Methods for First Warp Model Frequency of Double-shell Aluminum Alloy Carbody

Zhao Shui1, He Xin2, Yuan Xin3
( 1. Haier School of Qingdao Technical College, Qingdao Shandong 266555, China; 2. Shandong Sem Mechinery Co., Ltd.Sem R&D Center Qingdao, Qingdao Shandong 266061, China; 3. Qingdao sifang Kawasaki rolling stock technology company, Qingdao Shandong 266061, China )

Model Frequencies of carbody structure are the important parameters in the design of rail vehicles. In order to assure the first warp model frequency that is above 10Hz during the design phase, the formulas is derived, and FEA proceed. Then the results are compared with each other and the reasons for the difference between them are concluded. The calculation is useful for the design of carbody structure.

carbody structure; model frequency; analysis calculation; numerical calculation; model analysis

TH 113.1

A

2095-302X (2013)05-0099-04

2012-11-19；定稿日期：2013-05-03

趙 水（1979-），男，山東膠州人，講師，碩士，主要研究方向?yàn)闄C(jī)械設(shè)計(jì)與制造。E-mail: 315011679@qq.com