基于約束最小冗余線陣與干擾對消的測向方法

李 磊，祁德元，路翠華

（1.海軍航空工程學院a.研究生管理大隊；b.7系，山東煙臺264001；2.91115部隊，浙江定海316041）

波達方向估計（DOA）是陣列信號處理所要研究的主要問題之一。自從1968年Moffet A.T 提出最小冗余線陣（MRLA）以來[1]，引起廣大學者對最小冗余線陣的深入研究[2-5]。與均勻線陣相比，最小冗余線陣可以通過減少現有冗余陣元的數目實現最大空間分辨力，擴大陣列孔徑，在等量陣元前提下能夠大幅提高可測信源的個數。但是，當存在有源干擾時，有源干擾將占據等同于干擾個數的自由度，降低了陣列測向時對信源的分辨個數。同時，最小冗余線陣的非均勻性導致了偽峰的出現，文獻[6]從波束形成的角度對此問題進行了研究。

針對以上問題，本文提出一種基于約束最小冗余陣列與干擾對消相結合的測向方法。以均勻線陣（ULA）及文獻[7]中約束最小冗余線陣多重信號分類法（MUSIC）作為對比算法，首先將有源干擾與無源干擾背景下的陣元輸出的協方差矩陣，實施干擾對消運算；然后，對干擾對消后的協方差矩陣進行變換，重構了一個新的數據協方差Toeplitz矩陣；最后，通過MUSIC算法求解信號來波方向。此算法不僅具有抗有源干擾的能力，而且擴展了陣列孔徑，可以利用有限個陣元實現對更多信源的估計；同時有效抑制了偽峰的出現，顯著提高了最小冗余陣列在低信噪比時的估計性能。

1 約束最小冗余線陣

考慮一個由N個全向陣元組成的均勻線性陣列，如圖1 所示。陣列間距d取半波長λ，取第1 個陣元為參考位置，則陣元位置關于λ2的歸一化值為x1=0,x2=1,…,xN=N-1。假設M個遠場不相關窄帶信號（M＜N）分別從θi(i=1,2,…,M)方向入射到接收陣列，各信源互不相關，噪聲互不相關，信號和噪聲不相關，則第p個陣元的輸出信號可表示為

式（1）中：si(t)為入射信號的中心波長；Wp(t)為第p個陣元中的加性零均值高斯白噪聲。

圖1 均勻線性陣列Fig.1 Uniform linear array

則陣列的輸出信號矢量可表示為

式（2）中：

假設信源功率為P1,P2,…,PM，各陣元噪聲功率相等為σ2，則陣列數據的協方差矩陣為：

RX(p,q)表示第p個陣元接收數據與第q個陣元接收數據的互相關函數，

當陣列為均勻線陣時，顯然式（9）只能產生N個獨立的元素，RX為厄米特的Toeplitz 矩陣。當陣列為非均勻線陣時，由排列組合原理，如式（10）中所示，式（9）最多可以產生N(N-1)/2+1個獨立元素，RX僅為厄米特矩陣。

線陣的冗余信息的主要產生原因是不同的(p,q)組合生成了相同的互相關函數。若一個基于冗余概念設計的非均勻線陣的冗余信息量最少，稱之為最小冗余線陣；若這種線陣可以同時使式（10）中的n取遍{0,1,…,N′}，稱為約束最小冗余線陣[8-9]。相同陣元數下約束最小冗余線陣的配置方式不止一種，表1 列舉了陣元數為3～9時的其中一種陣元位置配置方式。

2 干擾對消

在上一節的信號環境基礎上加入J個遠場窄帶有源干擾r1(t),r2(t),…,rJ(t)，來波方向為φ1,φ2,…,φJ。信號源、噪聲和有源干擾之間互不相關。當線陣處于無源狀態時，陣元的輸出信號中僅含有有源干擾和噪聲，線陣的輸出為：

當線陣處于有源狀態時，陣元的輸出信號中含有信號、有源干擾和噪聲，線陣的輸出為

由文獻[10]的推導過程可知，當陣列為均勻線陣時，式（16）～（18）成立。

3 基于約束最小冗余線陣與干擾相消技術的測向原理

3.1 約束最小冗余線陣的MUSIC算法

MUSIC 算法是波達方向估計領域的經典子空間類算法之一，它不限于陣列的排列形式，而且有著超分辨的測向能力[11-13]。因此，MUSIC 算法適合于約束最小冗余線陣的測向算法。約束最小冗余線陣具有良好的孔徑擴展性能，相比于均勻線陣能提高陣列的DOA估計性能，使得相同數目陣元可對更多的輻射源進行DOA估計。文獻[7]中便采用了此法對最小冗余線陣進行波達方向估計。下面簡述算法過程：

①由陣列的接收數據得到協方差矩陣R；

②對R特征分解

③確定信號子空間US與噪聲子空間UW；

⑤極大值對應的角度就是信號入射方向。

3.2 算法改進

約束最小冗余線陣的MUSIC 算法雖然擴展了陣列孔徑，提高了分辨力，但存在以下2 方面不足：一方面，沒有進行抗有源干擾設計，當存在J個有源干擾時，有源干擾將會占用J個自由度，因而陣列將降低J個所能分辨的信號個數；另一方面，由于最小冗余陣列的非均勻性，陣列進行波達方向估計的譜峰除了信號來波方向之外，出現較多偽峰，降低了估計性能。

由第2 節干擾對消的推導過程可知，干擾對消可以推廣應用到約束最小冗余線陣，消除有源干擾對約束最小冗余線陣的影響。由式（18）可知對消之后的矩陣不含噪聲信息，因而有利于極低信噪比信號的檢測與估計。同時，為消除陣元非均勻性帶來的不良影響，在保留約束最小冗余線陣的孔徑擴展能力前提下，利用對消后的數據協方差矩陣重構一個新的的協方差矩陣，方法如下。

由第1 節中對最小冗余線陣的分析可知，陣列輸出數據的協方差矩陣可表示成式（19）的形式。

由式（10）可知n可取遍{0,1,…,N′} ，N′≤N(N-1)/2 ， 則構造(N′+1) 維向量p=[R(0),R(1),…,R(N′)]T，將向量p構造一個新的Toeplitz協方差矩陣如下：

顯然，新構造的約束最小冗余線陣的輸出信號的協方差矩陣與(N′+1)陣元的均勻線陣的輸出信號的協方差矩陣完全相同，即2 種陣列的孔徑之比為(N′+1)/N，由此可以證明約束最小冗余線陣的孔徑明顯提高，測向分辨力提升，可測信源個數提升至N′。

重構的協方差矩陣R′包含陣元輸出數據的全部信息，下一步可按照常規MUSIC 算法進行波達方向估計。此算法的實質是利用N陣元約束最小冗余線陣輸出數據的協方差矩陣來構造與之等價的(N′+1)陣元均勻線陣數據協方差矩陣，即保留了約束最小冗余線陣的孔徑擴展能力，又抑制了由于陣列非均勻性導致的偽峰。

由MUSIC 算法譜估計器P=1/(aH(θ)UWUHWa(θ))進行譜峰搜索時，需要按式（21）重構(N′+1)維搜索矢量a′(θ)。

本文所述測向方法步驟總結如下：

①根據無源和有源狀態的陣列輸出數據，按式（18）重構信號協方差矩陣R；

②按式（20）重構Toeplitz矩陣R′；

③對R′特征分解

④確定信號子空間US與噪聲子空間UW；

⑤按式（21）重構導向矢量a′(θ)；

⑦極大值對應的角度就是信號入射方向。

4 仿真分析

為了驗證本文DOA 估計算法有效性的估計性能，檢驗算法在分辨力、孔徑擴展、抗噪能力等方面的性能，下面給出仿真與分析，并與相同陣元數的均勻線陣（ULA）及文獻[7]約束最小冗余線陣的MUSIC算法作了對比。每個仿真均由采用5 個陣元的線陣，即均勻線陣與約束最小冗余線陣的陣元位置關于λ2的歸一化值分別為[0 1 2 3 4]和[0 1 2 6 9]。

仿真1：信源數適當時的DOA估計。

假設有3 個非相干信號，來波方向分別為-30°、30°、45°，信噪比為10 dB，快拍數為200。采用5 陣元約束最小冗余線陣結合本文算法對其進行DOA 估計，為比較估計性能，同時采用5 陣元均勻線陣MUSIC 算法及文獻[7]算法同時進行DOA 估計。仿真結果如圖2所示。

圖2 信源數適當時DOA估計對比Fig.2 DOA estimation with 3 signal sources

仿真2：信號源方位接近時的DOA估計。

假設有3 個非相干信號，來波方向分別為-30°、30°、35°，信噪比為10 dB，快拍數為100。采用5陣元約束最小冗余線陣結合本文算法對其進行DOA 估計，為比較估計性能，同時采用5陣元均勻線陣MUSIC算法及文獻[7]算法同時進行DOA估計。仿真結果如圖3所示。

圖3 信源來波方位接近時DOA估計Fig.3 DOA estimation with close arrival angles

仿真3：信源數接近陣元數時的DOA估計。

假設有4 個非相干信號，來波方向分別為-30°、20°、40°、50°，信噪比為10 dB，快拍數為200。采用5陣元約束最小冗余線陣，結合本文算法對其進行DOA估計，為比較估計性能，同時采用5陣元均勻線陣MUSIC 算法及文獻[7]算法同時進行DOA 估計。仿真結果如圖4所示。

仿真4：存在有源干擾時的DOA估計。

假設有3 個非相干信號，來波方向分別為-30°、30°、45°，一個有源干擾信號來波方向為10°，信噪比為10 dB，快拍數為100。采用5 陣元約束最小冗余線陣結合本文算法對其進行DOA 估計，為比較DOA 估計性能，同時采用5陣元均勻線陣MUSIC算法及文獻[7]算法同時進行DOA估計。仿真結果如圖5所示。

圖5 存在有源干擾時DOA估計Fig.5 DOA estimation with jammers

仿真5：算法性能分析。

在仿真1 的背景下，當信噪比以1 dB為步長，從-5 dB到20 dB變化時，對文獻算法及本文算法分別進行100次蒙特卡洛仿真，考察2種DOA估計值的均方誤差，求均方誤差時的均值以真值代替。仿真結果如圖6所示。

仿真1、2表明：信源數適當時，快拍數和信噪比均相同的情況下，基于約束最小冗余線陣的MUSIC 算法比均勻線陣的MUSIC 算法估計質量高。這是因為約束最小冗余線陣擴展了陣列孔徑，因而可以獲取更多的信息來提高測向分辨力和精度。由仿真5中對3種算法的分辨力的分析可以證明，本文算法的分辨力最高，圖3可以表明當來波方向相差5°時，本文算法仍然可以很好地分辨出不同方位的信源，而其他方法已將要出現漏峰的現象。

仿真3表明：當信源數接近陣元數時，均勻線陣由于達到其分辨信源的最大自由度，估計性能較差；文獻中算法出現由陣元非均勻性導致的數個偽峰的出現，而本文算法通過重構數據協方差矩陣，等同于10元均勻線陣的估計性能，不但擴展了孔徑，而且抑制了文獻算法的偽峰現象。

圖6 估計性能對比Fig.6 Comparation of DOA performance

仿真4表明：當存在有源干擾時，本文算法實現了抗干擾性能，可以準確判決信號來向并濾除干擾信號的影響，這是由于干擾相消運算中去除了有源干擾和噪聲分量。通過干擾相消技術與最小冗余線陣結合，可以通過最小的陣元數可以分辨出最多的信號源。

仿真5：圖6 a）表明本文算法比文獻中算法具有更高的分辨力。陣列在某方向上對信號的分辨力與在該方向陣列方向矢量的變化率有關。定義D(θ)表征分辨力：

將式（4）、（22）分別代入式（22）得：

其中，xp表示第p個陣元關于λ2的歸一化值。對于文獻[7]算法，而本文算法等價于10陣元均勻線陣因此本文算法可以分辨方位間隔更小的信號。

圖6 b）表明本文算法可以在低信噪比時精確估計信號來波方向，相同信噪比時比文獻中算法具有更小的均方誤差（RMSE），估計精度更高。這是由于本文算法進行干擾相消運算的同時去除了噪聲分量，因此當信噪比變化時，本文算法的均方誤差（RMSE）小于文獻中算法。

5 結論

本文針對有源干擾背景下的測向問題，提出了一種基于約束最小冗余線陣和干擾相消技術的測向方法，消除了有源干擾及噪聲的影響，擴展了陣列孔徑，提高了陣列分辨力，大大提高了陣列在有源干擾背景下可分辨信源的個數，并抑制了約束最小冗余線陣陣元非均勻性產生的偽峰。仿真結果驗證了本文方法的有效性。

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