Stewart單三角平臺的機構參數標定

柴保明，王遠東，琚斌峰，郭新宇，華龍

(河北工程大學機電工程學院，河北邯鄲056038)

精度是評價機器人性能的一項重要指標，也是目前機器人研究領域尚未妥善解決的問題之一。提高并聯機器人的精度具體有兩種實現手段:一是直接提高機械零件的加工精度、安裝精度和表面質量;二是采用參數標定來識別并聯機構運動學模型中的關鍵參數。第一種方法成本巨大且缺乏可操作性;而第二種方法只需要對部分構件按照普通精度要求進行機加工，在安裝結束后通過運動學模型進行更精準的描述，與第一種方法方法相比，參數標定以其低成本和高效性的特點成為工程界所普遍采用的方法，并成為研究熱點。

在國內外，SOONS［1］提出了一種基于最小二乘法的標定算法。MASORY等［2］提出并研究了Stewart并聯機器人的簡化模型，研究其運動學精度問題，最后給出了標定的些許基礎結論。KHALIL等［3］在WAMPLER等研究的基礎上，提出了僅約束機構支鏈而不往支鏈上安裝附加傳感器的一種標定方法。高猛［4］研究了分步標定法和誤差建模法。

由于以上列舉的方法存在一些不適合于Stewart單三角平臺并聯機構精度標定的缺點，如:標定成本高，求解過程復雜等，故作者在研究多個有關機器人文獻資料的基礎上提出了一種新的方法——基于廣義力平衡原理的精度標定。

1 誤差分析與其對Jacobian矩陣的影響

文獻［5］提出了Stewart單三角并聯機構，其簡化誤差模型如圖1所示。裝配工藝的改善、現代機加工方法的改進，傳感器在現代工業中的大量應用，都使得簡化模型成為影響著整個并聯機器人位姿誤差的主要因素，運動學模型的每一參數都會影響機構終端的位姿。在模型中常常忽略支鏈移動副和支鏈兩端鉸鏈帶來的制造誤差，故誤差即它們的安裝誤差 (見圖2)之和，這些誤差共33個誤差量。

由于Stewart單三角平臺的Jacobian矩陣與操作空間運動存在著某種線性映射關系，Jacobian矩陣與機構的6個支鏈以及末端執行器 (動平臺)的運動速度無關，而僅取決于該機構的6個支鏈以及末端執行器 (動平臺)位形，所以從整個機構來分析，Jacobian矩陣誤差囊括了所有的機構誤差信息。

圖1 Stewart單三角機構

圖2 Stewart單三角機構支鏈的7項誤差

2 機構標定原理

基于文獻中影響系數與Jacobian矩陣的對偶關系［5］，故存在

式中:li是該機構中第i支支鏈的桿長，i=1，2，3，4，5，6;bi為機構上平臺鉸鏈點的空間坐標;ai為機構下平臺鉸鏈點的空間坐標。

由公式(2)可知，GFf的參數中含有各鉸鏈點的坐標。假設:

(1)以上平臺球鉸所在的平面為基準坐標面，則空間坐標aix等于0，坐標差Δaix也等于0;

(2)通過測量直接標定出在機構中實際的鉸鏈間距離Δli。

誤差模型簡化后剩余了30個機構運動參數，它們可以通過實驗標定出的一階靜力影響系數GFf來求解:

聯立式(2)和式(3)可求得30個無關方程組的解析式如下:

計算以上各個參數 aix、aiy、bix、biy、biz，即為剩余參數的標定值。很顯然:標定的關鍵在于標定一階靜力影響系數矩陣。

根據文獻［4］中的螺旋理論，對于Stewart單三角平臺機構，在其位姿固定時，欲求解其機構的螺旋方程必須考慮上平臺的平衡。因為支鏈6個移動副的螺旋之和與機構末端輸出的廣義6維力相平衡，故可以得到其相應的螺旋方程:

式中:fi為第i支桿受到的軸向力;

Si為第i支桿軸線的單位線矢;

R為機構末端輸出力的主矢量;

M則為機構動平臺對固定坐標原點的主矩陣。存在矩陣平衡方程:

4 標定實驗及其結果分析

標定實驗設備如圖3所示，該實驗設備是由廣義力加載測量儀器以及6-DOF電液伺服平臺組成。

實驗中，初始選取廣義力加載精度為0.08級，支鏈單缸上安裝的力傳感器精度置為0.1級，把光柵尺的測量精度置為0.05 mm。整個實驗系統通過編程語言的開發環境LabVIEW的測量模塊作采樣和記錄，并調用數學軟件Matlab內多元函數模塊中的最小二乘法擬合子程序來對動平臺進行現場標定。

圖3 標定加載實驗設備

4.1 廣義力加載的選取

由于實驗設備傳感器的某些通道在實驗結果輸出測量值時會存在隨機誤差，考慮到誤差的干涉，該實驗設定的標定加載矢量數目大于6。而對于不存在必然關系的標定加載矢量，它們的選取會影響靜力影響系數的值。故應取平臺的外加載力向量矩陣為次正交矩陣，從而為機構獲得更高更準的標定精度。

因為機構中各個鉸鏈之間存在必然的靜摩擦，摩擦就會干涉到鉸鏈上單杠的受力，所以為了減小測量誤差，應使鉸鏈副光滑且應施加一定的預載荷，從而抵消最大靜摩擦力的影響;另外，可以利用在實驗過程中測出的兩組單缸力來抵消靜摩擦力。

4.2 實驗結果

預置平臺的初始參數:機構上平臺鉸鏈點的可達半徑 R1=0.45 m，每兩個相鄰鉸鏈的夾角 θ1= 28.5°;機構下平臺鉸鏈點的可達半徑R0=0.6 m，每兩個相鄰鉸鏈的夾角θ0=28.5°;兩平臺垂直方向上相距H=1.6 m。最終得到標定結果如下:

將以上數據代入式 (4)即可得到表1。

表1 平臺理論參數與標定值的誤差分析

續表1

5 結論

(1)標定模型能夠反映Stewart單三角并聯機構運動學精度的誤差源，從而可以消除某些測量誤差。

(2)通過實驗標定出平臺參數，實驗結果證明了該標定方法可以有效地提高平臺的定位精度。

(3)由于基座球鉸存在同面性，故實驗應盡量保證基座球鉸的安裝性良好，從而可以增強該方法的適用性。

(4)實驗表明基于廣義平衡原理Stewart單三角平臺機構的標定方法完全適合于并聯機構參數的標定。這結論對同類并聯機構的相關研究和工程實踐具有重要意義。

【1】SOONS J A.On the Geometric and Thermal Error of a Hexapod Machine Tool［C］//Proc.of CIRP，1999:151-169.

【2】MASORY O，WANG J，ZHUANG H.On the Accuracyof a Stewart Platform.Part II.Kinematic Calibration andcompensation［C］//Proceedings of the 1993 IEEE International Conference on Robotics and Automation，Applied Automatic Control Principles and ApplicationsDivision，May 2-6，1993，Atlanta，GA，USA.Piscataway，NJ:IEEE，1993: 725-731.

【3】KHALIL W，BESNARD S.Self Calibration of Stewart-Gough Parallel Robots Without Extrasensors［J］.IEEE Trans.on Robotics and Automation，1999，15(6):1118-1121.

【4】高猛.少自由度并聯機構運動學標定［D］.北京:清華大學，2005.

【5】陳雄標，袁哲梭.機器人用六維腕力傳感器標定研究［J］.機器人，1997，19(1):7-11.

【6】劉大煒，王立平，關立文.一個特殊3自由度并聯機構的精度分析及標定［J］.機械工程學報，2010，46(9):46-52.

【7】黃真.空間機構學［M］.北京:機械工業出版社，1991.

【8】代小林，叢大成，韓俊偉，等.基于光學坐標測量機的STEWART機構標定研究［J］.機床與液壓，2007，35 (8):45-46.