數控龍門鏜銑床主傳動系統扭轉動力學分析

許昆平，嚴江云，彭梁鋒，肖寧

(沈機集團昆明機床股份有限公司，云南昆明650203)

主傳動系統是機床工作的重要組成部分。主軸箱的齒輪傳動系統經常處于高速、重載的運行環境，其傳動精度直接影響機床的加工精度。傳動齒輪在切削過程中極易因重載、高速等原因產生較大的振動和噪聲，從而導致主傳動系統的某些部位受損，進而影響機床的切削精度［1-3］。因此，開展XK(H)2740數控龍門鏜銑床主傳動系統的動態特性分析，對于減小主傳動系統的振動與噪聲，優化數控龍門鏜銑床主傳動系統的動態性能具有重要的指導意義。

XK(H)2740數控龍門鏜銑床主傳動系統齒輪傳動裝置主要采用寬斜圓柱齒輪，設計時一般將齒輪作為剛體處理，不考慮輪齒受載后的變形，因而齒輪在動態運轉過程中會出現振動大、噪聲大等問題［4］。作者通過分析齒輪副接觸線長度的變化，根據單位接觸線的嚙合剛度計算斜齒輪副的綜合嚙合剛度［5-6］，求解XK(H)2740數控龍門鏜銑床主傳動系統在剛度激勵及誤差激勵作用下的動態響應［7-8］，并對其動力學特性進行分析，對減少系統的振動和故障提供了依據，也為系統的動態性能優化奠定了基礎。

1 XK(H)2740主傳動系統傳動原理

圖1為XK(H)2740主傳動系統的傳動原理圖，其中軸Ⅰ為輸入軸，軸Ⅳ為輸出軸即銑軸。該傳動系統為三級兩擋斜齒輪傳動，電機通過聯軸器將運動輸入到齒輪軸Ⅰ，齒輪軸Ⅰ通過滑移齒輪2進行換擋并將運動傳遞到齒輪3，齒輪3帶動軸Ⅲ轉動，通過軸Ⅲ上的齒輪5將運動傳遞到銑軸Ⅳ，進而將運動輸出并進行切削。文中針對主傳動系統高速擋進行扭轉動力學研究。

圖1 XK(H)2740主傳動系統傳動原理

2 主傳動系統扭轉動力學模型

影響系統動態特性的因素主要有剛度激勵、誤差激勵、阻尼激勵以及沖擊力激勵，然而嚙合剛度和誤差激勵對傳動系統的動態性能影響最大，所以在建立系統的動力學模型時必須考慮各級齒輪副的嚙合剛度和誤差對振動的影響。利用集中參數法建立XK(H) 2740數控龍門鏜銑床主傳動系統的扭轉振動動力學模型，如圖2所示。

圖中，各個傳動軸的扭轉剛度和阻尼分別為K1、K2、K3和C1、C2、C3，各個齒輪副的嚙合剛度和阻尼分別為k1、k2、k3和c1、c2、c3，各個質量塊的轉動慣量分別為I1、I2、I3、I4、I5、I6和I7，各個質量塊的半徑分別為R1、R2、R3、R4、R5、R6和R7，輸入扭矩和負載扭矩分別為Ts和Tc，三個齒輪副的綜合誤差分別為e1、e2、e3。

圖2 主傳動系統扭轉動力學模型

根據圖2，利用Lagrance法建立其扭轉動力學方程，即:

令xi=Riθi，將角位移形式的動力學方程轉化為線位移形式的方程。同時令可得:

式中:M為質量矩陣;C為阻尼矩陣;K為剛度矩陣;P為載荷向量;X為位移向量。

3 主傳動系統扭轉動態響應分析

3.1 剛度激勵

剛度激勵是齒輪嚙合過程中單雙齒對嚙合交替出現引起的動態激勵。盡管斜齒輪在嚙合嚙合過程中齒輪的嚙合剛度不會發生突變，然而在不同的嚙合位置，輪齒的嚙合剛度也是不同的。

文中結合單齒單位長度的嚙合剛度的定義，根據齒輪接觸線的長度變化，求解主變速傳動系統中斜齒輪副的時變嚙合剛度。齒輪副的嚙合剛度可表示為:

式中:k0為單位接觸線長度的嚙合剛度;

L(τ)為齒輪副瞬時總接觸線長度，τ=t/Tz，Tz為嚙合周期。

該齒輪副瞬時接觸線總長度為:

Lm=bεα/cosβb，b為齒寬，εα為端面重合度，βb為螺旋角。

各級齒輪副嚙合剛度如圖3所示。

經過整理得到

圖3 各級齒輪副嚙合剛度

3.2 誤差激勵

在進行振動分析時，齒輪的誤差一般可以用實測的誤差數值或誤差曲線、傅里葉級數以及簡諧函數來表示。實測的誤差數值或誤差曲線能比較真實地反映實際情況，然而在實際測試中難以實現，因此采用簡諧函數來表示。在影響齒輪振動的各項誤差因素中，齒距誤差和齒形誤差影響最大，故齒輪誤差激勵可表示為:

式中:e0、er分別為輪齒誤差的常值和幅值;Tz為齒輪的嚙合周期;φ為相位角。

齒輪的精度等級為5LM，則時變誤差曲線如圖4所示。

圖4 各級齒輪副誤差曲線

3.3 主傳動系統動態特性分析

3.3.1 固有特性分析

為了減小主傳動系統的振動，避免產生共振，應使齒輪嚙合激勵的頻率遠離系統的固有頻率。由于系統的固有特性與外力無關，因此在求解系統固有頻率時可忽略外部載荷與阻尼的影響。主傳動系統無阻尼自由振動的運動方程為:

其對應的特征方程為:

式中:ωi為系統第i階固有頻率;ψi為對應的第i階振型向量，i=1，2，…，n。

對系統的無阻尼自由振動方程進行求解可以得到系統的固有頻率，如表1所示。

表1 主傳動系統前10階固有頻率 Hz

該主變速傳動系統輸入級轉速為3 445 r/min，嚙合頻率為490 Hz;中間級轉速為2 182 r/min，嚙合頻率為490 Hz;輸出級轉速為1 600 r/min，嚙合頻率為435 Hz。與表1中系統前10階固有頻率進行比較，各階嚙合頻率均遠離系統固有頻率，系統不會產生共振。

3.3.2 動態響應分析

根據建立的主傳動系統扭轉動力學模型，采用五階變步長自適應Runge-Kutta法求解系統方程，計算得出位移、速度和加速度的時域響應，通過快速傅里葉變換FFT得到其頻域響應。輸入級齒輪副主動輪的時域和頻域響應曲線如圖5所示，輸出級齒輪副從動齒輪的時域和頻域響應曲線如圖6所示。

由圖5和圖6可以看出:該主變速傳動系統各齒輪振動位移一般為02×10-3rad，最大振動速度為2 rad/s，輸出級齒輪副的振動位移較大，振動速度隨齒輪的嚙合速度增大而增大，振動的頻率以齒輪的固有頻率為主。

圖5 輸入級齒輪副主動輪的時域和頻域響應曲線

圖6 輸出級齒輪副從動輪的時域和頻域響應曲線

4 結論

針對XK(H)2740主變速傳動系統，考慮扭轉振動對系統動態性能的影響，采用集中參數法建立了XK(H)2740主變速傳動系統的扭轉動力學模型，并利用Lagrance法建立了系統的動力學方程，得到以下結論:

(1)計算XK(H)2740數控龍門鏜銑床主傳動系統的固有頻率，結果顯示輸入級和輸出級齒輪副的嚙合頻率與系統固有頻率相差較遠，表明主傳動系統不會產生共振現象，驗證了結構設計的合理性;

(2)綜合考慮齒輪接觸線的變化規律以及單齒單位長度的嚙合剛度，根據接觸線時變長度計算了齒輪副的時變嚙合剛度，該方法簡便可靠，提高了計算效率;

(3)綜合考慮剛度激勵和誤差激勵對系統的影響，計算了XK(H)2740數控龍門鏜銑床主傳動系統的動態響應，分析判斷該系統振動情況良好;

(4)文中動態響應分析為機床整機動力學研究及數值模擬奠定了基礎，對減少系統的振動和故障提供了依據。

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