關于數學分析課程教學改革的幾點認識

牛耀明

（包頭師范學院數學科學學院，內蒙古包頭014030）

關于數學分析課程教學改革的幾點認識

牛耀明

（包頭師范學院數學科學學院，內蒙古包頭014030）

本文討論在數學分析課堂教學中，通過改進教學理念和方法，能夠使學生更好地和更有效地掌握數學分析的教學內容和相關數學思想，培養學生的數學素養和提高學生解決問題的能力，從而提高數學分析課程的教學質量.

數學分析；課程；教學改革

由于“數學分析”側重于理論知識的研究，經常會使學生感到枯燥、對知識點理解不深刻，從而影響學習效果.如學生在一元函數微積分的學習中，對極限、導數和連續的概念理解不夠深刻，在學習多元函數的微積分時，學生學習會很吃力，學生會對多元函數微積分的相關定義理解不準確，從而不能很好地掌握相關內容，也導致學生很被動，不知學習數學分析的用處，從而教學質量受到嚴重影響.為了能夠使學生更好地和更有效地掌握數學分析的教學內容和相關數學思想，提高學生的數學思維能力和解決問題的能力以及提高數學分析的課程的教學質量.筆者提出以下幾點關于數學分析課程教學改革的建議.

1 培養學生學習數學分析的興趣

數學的歷史從某種角度來說可以看成是數學名人的歷史.在課堂教學中講到相關知識時可以介紹數學家的生平和研究經歷，有助于培養學生對數學的學習興趣，使學生在其中找到學習數學的精神動力.在數學分析的教材中的相關定義和定理涉及很多數學家，如在介紹預備知識時的數學符號正弦sin和余弦cos，虛數單位i以及自然底數e，這些數學符號都是歐拉命名的，并且歐拉是第一個使用函數來描述包含各種參數的表達式的人.于是在教學時可以向學生講述數學家歐拉的生平和研究經歷.歐拉1707年4月15日出生于瑞士，歐拉被描繪成“分析學的化身”，他使數學發生了徹底的變革，他擴展了數論、代數學和幾何學，同時創建了圖論、變分學和分拆論.歐拉是有史以來最多遺產的數學家，他的全集共計75卷.[1]在他生命的最后17年中，歐拉的雙目完全失明，對失明的到來卻很鎮定.但是他并沒有讓自己屈服于寂靜和黑暗，在最后一點光感消失之前，他就使自己習慣了用粉筆在大石板上寫公式，然后讓他的孩子們當抄寫員，他再口授公式的解釋.他的數學新作不僅沒有減少，反而增多了.在課堂教學中教師如果能在恰當的時候給學生介紹這些歷史名人的生平不僅可以傳遞數學思想，而且可以起到對所學知識的提升，增強學生學習數學分析的興趣.還比如在教學內容講到微積分基本公式時，可以介紹牛頓和萊布尼茨分別獨立發現微積分基本公式的相關歷史.于是課堂教學滲透數學史可以提高學生學習積極性、開闊學生視野，提高教學效果.

2 處理好數學分析與高中數學教學的銜接

由于數學分析教材和新的高中數學教材在內容上有很多重復的知識點，并有內容不連續的脫節現象.如果任課教師不能及時了解新的高中數學教學內容上有哪些改變，沒有及時更新教學理念，沒有針對這些變化調整教學方法，從而會影響教學效果.如在介紹預備知識時，講到幾類初等函數的性質時，三角函數可以簡單介紹，因為這部分內容中學數學已經系統地地介紹過，在課堂教學中重點介紹中學沒有學過的函數如符號函數、狄利克雷函數以及黎曼函數的性質，因為這幾類函數有著重要的分析性質.在處理極限和導數的教學過程中，計算數列極限、導數運算法則、求導公式以及這些知識的簡單應用已經被編寫到高中數學教材中.于是在課題教學中應該給學生少布置一些極限計算和求導數的習題，而應該多布置一些證明數列極限和極限存在的習題，以及高階導數與微分的習題，這樣才能讓學生更好地理解數學分析這門課的思想和培養解決問題的能力，深刻掌握相關知識點，為將來更高層次的學習打下扎實的基礎.

另一方面由于數學分析這門課程的定義和定理都是通過數學語言來刻畫的，這同中學數學完全不同，為使學生順利地過渡到大學數學學習中，因此在課題教學中應該加強學生數學語言方面的教學.由于數學語言表現出來的概括性、抽象性、簡潔性、精確性等特性，是文字所不能替代的.[2]任課教師在課堂教學中盡量多用數學語言來描述相關概念和定理，在上課時讓學生用數學語言回答所提問題，讓學生用數學語言解決問題.此外，應該引導學生從否定的意義上去理解數學分析的概念，熟練掌握這些概念否定的敘述形式，使學生能將一個命題及它的否命題進行文字語言與符號語言的互譯.如“極限存在、極限不存在”，如“級數一致收斂、級數非一致收斂”等.

3 提高學生解決問題的能力

教師在數學分析教學中應該提高學生解決問題的能力.筆者發現在每次的考試過程中學生如遇到的題目與與平時練習的題目變化比較大時，很多學生束手無策，不能解答，究其原因之一是學生對相關知識點沒有深刻理解和掌握.因此教師在數學分析教學中就應重視背景教學，抓住知識的實際背景，使學生不僅掌握數學理論知識，而且認識到數學來源于實際生活，從而為學生分析處理實際問題奠定基礎，培養學生分析、解決實際問題的能力.例如，在講授定積分、重積分以及曲線積分和曲面積分時，先介紹這些概念的物理背景，即不均勻的各種形狀的構件的質量問題.求質量的基本思路都是一樣的，都是“分割、近似代替、求和、取極限”，不同形狀的構件，分割的對象不同，求和的形式不同，抽象出來就是不同的積分.接下來在給出相關積分的嚴格定義和討論其性質，這樣讓學生既了解了這些積分概念產生的背景，又對這些積分有了比較系統和和深入的認識.[3]

筆者在教學中發現學生解題能力差的表現是學生對相關知識點不能靈活應用.眾所周知，數學概念的產生和發展都來源于對實踐的感性認識，如果教師在教學中能借助直觀的幾何圖形來引導和啟發學生觀察、分析，將有助于學生理解抽象的概念，如深刻理解函數的微分、定積分、二重積分等概念的幾何意義，能使學生對這些概念理解更深刻，能更靈活運用概念分析問題，提高學生的分析與解決問題的能力.數學分析中有些問題如果使用數形結合的方法來教學生解題，可提高解題效率，如在數學分析教學中，特別是計算重積分時應畫出積分區域，再確定積分的范圍.此外，教學中應注意避免大段的理論講授，盡可能講練結合，邊講邊練，并且要做到精講多練.例如由于定積分中值定理的形式比較多，且每個定理對函數的要求條件不同，筆者在教學過程中發現學生在學習定積分中值定理這部分內容時比較容易混淆這些定理的條件，在遇到問題時不知應用哪個定理.因此在教學過程中讓學生多做這方面的練習，多布置這方面的習題為作業，教師可以及時了解學生的學習中值定理的情況，并根據學生的練習反饋情況實施更有針對性的教學.這樣才能讓學生深刻理解每個積分中值定理中對函數要求的條件和靈活應用，從而提高學生的解題問題的能力.

總之，數學分析這門課程的教學是一個不斷探索與改進的過程.因此數學分析任課教師在教學中要注重數學思想方法的滲透，教學中應注意避免大段的理論講授，盡可能講練結合，邊講邊練，并且要做到精講多練，讓學生深刻掌握數學分析的相關知識點，培養學生的數學素養和提高學生解決問題的能力.

〔1〕Willian Dunham.微積分的歷程[M].北京:人民郵電大學出版社,2010.

〔2〕劉玉璉，傅沛仁.數學分析講義[M].北京，高等教育出版社，1992.

〔3〕陶哲軒.陶哲軒實分析[M].北京:人民郵電大學出版社,2007.

G642

A

1673-260X（2013）08-0227-02

內蒙古自治區高等學校科學研究項目資助（NJZZ12198）